В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

После тотб, как первый номер присвоен, второй номер может быть прнсвоен любому нз оставшнхся я — 1 злементов. После того, как присвоены первый н второй номера, третий номер может быль присвоен любому нз оставшихся я-2 элементов н так далее. Таким образом, общее число упорядоченных перестановок я злементов, составляющих рассматриваемую совокупность, равно й. (й — 1) (й — 2) ....2.1 — И (чнтаетсл "я факториал").

Только что рассмотренный вопрос является 1.1.2. Кгвсснчвскив вероанностннв моделе частным случаем другой чуп более общей задачи. Из совокупности, содержащей й элементов„по одному извлекаются без возвращения г элементов, образующие унорядочвнную выборку обьема г. Сколью существует возможных различных упорядоченных выборок объема г ю совокушюсти, состоящей из х злементову Рассуждая как и выше, мы замечаем, что первым может быть извлечен любой из й элементов. Вторым может быть извлечен любой ю оставшихся й — 1 элементов. Третьим,— любой из оставшихся я — 2 элементов и так далее до выбора г-го элемента.

Таким образом, мы приходим к заключению, что число упорядоченных выборок объема г из совокупности, состоящей из й элементов, равно я! й. (я — 1) (я-2) .... (я — г+ 1) = — т (я)г. (й — г)! Очевидно, что (й)ь = я! (по определению мы считаем, что О! = 1). Число (я), называетса чнсяаы иврвстановок (или чнслан размен!сноб) нз я элементов по г элементов. В толью что рассмотренной задаче две выборки одинаювого объема г, содержащие одни и те же элементы, но.отличающиеся их порядюм, считались разными. Рассмотрим еще одну юмбинаторную задачу. Теперь, пренебрегая порядюм элементов в выборке, мы будем любые две выборки, содержащие одни и те же элементы, но отличающиеся, быть мажет, их порядкам, считать одинаювыми.

Такие выборки мы будем назревать нодмнозсеснмами совокупности, соспнпцей из й элементов. Рассмотрим вопрсс о том, сюлью различных подмножеств по г элементов имеет со-, вокушюсть, содержащая й > г элементов. Используя приведенные выше. рассуждения, мы заметим, что, так как элементы подмножества, содержащего г элементов, можно упорядочить г! способами, то число упорядоченных выборок обьема г из совокупности, содерлащей я элементов, в г! Раз больше, чем число ее подмножеств объема г, которое мы будем обозначать Сг.

Другими словамн, (я), = г! С~, откуда Ф)г г! г!(Ус — г)! Число С~ называется числом сочетаний из й элементов по г элементов. Легю видеть, что С„' = Сь ". 1.1. Вераятнасть гак мара саучайиосма 14 Се.сл ю м ж-м щ Си и (1.2.1) Казалось бы, данная задача в том виде, ввк ова сформулирована, имеет чисто познавательный интерес. Однаю, квк толью мы зададим юнкретные значения для параметров 1т, М, н и ю, то сразу можем заметить, что зта задача очень важна для практики.

Пусть, например, У = 49, М = б, н = б. Тогда при и = 4, и = 5 и яз = б с помощью формулы (1.2.1) мы получаем правило вычисления вероятностей угадать соответственно 4, 5 и б номеров в лотерее типа Спортлото "б из 49'*. Набор чисел рм, определяемых по формуле (1.2.1) для ю = О, 1,..., л, называется гинерггометричгским расяредглгнием вероятностей. Задача 1.2.1 является примером использования так называемой классической вероятностной модели, которая характеризуется тем, что рассматриваемая стохаствческая ситуация имеет юнечное число равновероятных исходов. В таюй модели под вероятностью события понимается отношение юличества всходов, каждый из которых влечет осуществление этого событвя, к общему числу возможных исходов.

Теперь у нас есть все необходимое для решения Задачи 1.2.1. По смыслу задачи ясно, что нам безразличен порядок шаров в выборке. Поэтому общее число разных способов, юторыми мы можем извлечь и шаров нз совокупности, содержащей М шаров, то есть общее число возможных исходов ситУацни, Равно Сна. ПРи этом все эти исходы Равновероятны. Найдем число исходов, в результате каждого из хоторых наступит интересующее нас событие. Выбрать ш шаров нз вмеющихся М красных можно Сми способами. При этом остальные н — ги шаров в выборке должны быть белыми.

Выбрать л — ~и шаров иэ имеющихся л1 — М белых можно Сй м способами. Ясно, что каждому набору из т красных шаров в выборке может соответспювать любой из С" м наборов белых шаров. Таким образом, общее число "благоприятных" исходов равно См С~к м. Поавльку все возмозные исходы равновероатны, в качестве исюмой вероатности разумно взять отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов, а именно 15 1.1.3. Дисеретные вероятностные модели 1.1.3. Дискретные веронтностные модели Классические вероятностные модели приводят к самому простому и хорошо согласующемуся с интуитивными представлениями определению вероятности.

Однаю далею не каждая стохастическая ситуация имеет равновероятные исходы, не говоря уже о том, что исходов может быль бесюнечно много. Поэтому нужны более общие и более гибкие подходы к определению вероятности. Для иллюстрации рассмотрим еще одну классическую задачу, известную как задача о слраведливом дележе ставки. Решение именно этой задачи было найдено в ходе знаменитой переписки великих ученых ХУП столетия Блеза Паскаля (1623-1662) и Пьера Ферма (1601-1665), в юторой, как считает болылинство историюв науки, и были заложены основы теории вероятностей. ЗАдлчА 1.3.1.

Два игрока (назовем их, скажем, А и В), поставив одинаювые суммы денег, играют в игру, состоящую вз отдельных последовательных партий. В каждой партии возможны лишь два исхода: вьппрыш игрока А или выигрыш игрока В. Вся игра считается выигранной тем из игроюв, кто первым выиграет 6 партий (не обязательно подряд). Однако при счете 5:3 в пользу игрока А игра прервана и не может быть продолжена.

В каюй пропорции следует разделить ставку между А и В7 Ясно, что речь идет о наиболее справедливом способе дележа, ведь всего способов довольно много. Например, поровну — 1:1. Однаю таюй способ не устраивает первого игрока, который к моменту прекращения игры уже выиграл больше партий, чем юрок В. Можно было бы разделить ставку в отношении 1:О, отдав все игроку А, юторый выиграл больше партий. Но таюй способ, очевидно, не устраивает игрока В, ибо таюй дележ предусмотрен лишь для случая, югла весь матч заюнчен, в то время как матч не закончен, и игрок В все-таки выиграл 3 партии. Кажется, что дележ ставки в отношении 5:3 будет справедливым, ведь таюй дележ пропорционален юличеству выигранных партий. Однако и он не является идеальным, поскольку на самом деле ничем не лучше дележа в отношении 3:1, обратно пропорциональном числу партий, которые осталось выиграть игрокам до оюнчательной победы.

Паскаль и Ферма пришли к обоснованному выводу, что делить ставку следует пропорционально шансам игроюв на оюнчательную победу, то 16 Ь Ь Вероятность нан мара сяучайностн есть пропорционально вероятностям того, что матч закончится победой соответствующего игрока, если бы он был продолжен. Найдем этн вероятности.

Сначала опишем все возможные исходы данной стохастической ситуации. Победу игрока А в отдельной партии условно обозначим а, победу игрока В в отдельной партии обозначим Ь. Если первую после возобновления игры партию выигрывает игрок А, уже вьпправший до этого пять партий, то весь матч (играющийся до шестой победы одного из игроков) заканчивается победой игрока А, выигравшего нужные шесть партий. Если эту партию выигрывает игрок В, то матч продолжается. Если следующую парппо выигрывает игрок А, то весь матч заканчивается победой игрока А.

Если же следующую парппо выигрывает В, то в мягче должна быль сыграна еще одна, решающая, партия. Если зту партию выигрывает А, то он побеждает в матче. Но если же зту парппо выигрывает В, то весь матч заканчивается победой игрока В. Таким образом, возможные пути развития событий в матче, то есп возможные исходы рассматриваемой стохастической ситуации имеют вид а, Ьа, ЬЬа и ЬЬЬ. Особо отметим, что здесь мы используем термин "исход" не для описания резульеллела партии или матча, но для описания того процесса, который привел к тому или иному результату матча.

Будем считать, что игроки одинаково сильны в этой игре и, отложив математическую конкретизацию сказанного до следующих разделов, предположим, что результат каждой последующей партии не зависит от того, как закончились предыдущие. Тогда, очевидно, вероятность исхода л равна ~, вероятность исхода Ьа равна З, 1 1 а вероятности каждого иэ исходов ЬЬа и ЬЬЬ равны ~8. Событие "игра выиграна игроком А" состоит из исходов а, Ьа и ЬЬа. В качестве вероятности этого события следует взять сумму вероятностей элементарных исходов, в результате каждого из юторых наступает рассматриваемое событие.

Таким образом, вероятность события "игра выиграна игроком А" равна ~~ + ~~ + ~~ = 81. В то же время, вероятность события "игра выиграна игроком В" равна 8~. Следовательно, оптимальная пропорция, в юторой следует поделить ставку, как зто ни странно, составляет 7:1. (Выбранные для рассмотренного примера числа соответствуют памятному любителям шахмат матчу между Карповым и Каспаровым, скандально прерванному в 1985 г. Этот матч игрался по регламенту Фишера: до шести побед одного из соперников и без учета ничьих.) 17 1.1.4. 1 еомтирииесиие вероятностные модееи Рассмотренная задача приводит нас к следующей конструкции дискретной вероялвиосгииой модели.

Характеристики

Список файлов книги