В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(4.3.2) хз С помощью неравенств Маркова и Чебьппева можно оценивать вероятности больших значений неотрицательных случайных величин или вероятности болыпик отклоненйй случайных величин от' своего среднего значения. Иеравеиство Иенееиа и его частные случаи. Опгидвлвнин 4 3.1. Фунция я(х) называется вылукхой, если ее график лежит еыии касательной к нему проведенной в любой его точке. Фуиция л(х) называется еоглугио», если ее график лежит ниже касательной к нему, проведенной в любой его точке. Примераыи выпуклых функп;вй служат функции я(х) = хз (-оо < х < оо), я(х) = 1/х (х > О).
Примерами вогнутых функций служат функции Ь(х) = .,/х (х > О), Ь(х) = 1ояа х (а > 1, х > О). Пусть Х вЂ” случайная величнна, я(х) — произвольная выпуклая функция, а Л(х) — произвольная вогнутая функция. Неравенство Нансена устаивали ваетэ Ея(Х) > я(ЕХ), ЕЬ(Х) «л(ЕХ). В частности, применяя неравенство Иенсена для выпуклых функций к произвольной случайной величине У и функции я(х) = !х !, мы получаем !ЕУ! < Е!У!. (4.3.3) С помощью неравенства Иенсена мы можем получить следующие полезные соотношения между характериспшами "центр~~" случайной величины и характеристиками ее разброса. Пусть Х вЂ” произвольны случайная величина.
Применим неравенство (4.3.3) к случайной величине 1.4. Числовые леректерислпаю случейныл величин У = Х вЂ” шед Х. Вследствие линейности математичесюго ожидания мы при этом получим 1ЕХ вЂ” шейХ! < Е1Х вЂ” шейХ!. (4.3.4) Пусть Х вЂ” произвольная случайная величина. Применим теперь неравенспю Иенсена для выпуклых функций к случайной величине У = ~Х вЂ” ЕХ! и функции Х(х) = хз. Мы получим (Е~Х вЂ” ЕХ!) с Е(Х вЂ” ЕХ)з или, что то же самое, Е!Х вЂ” ЕХ~ < /ОХ. (4.3.5) Соотношение (4.3.5) принято называть неравенством )еянунова. Вспомним Задачу 4.1.2, согласно юторой Е!Х вЂ” шеб Х! < Е1Х вЂ” а! для любого а, в частности, при а = ЕХ мы получаем Е~Х вЂ” шеб Х~ < Е1Х- ЕХ~.
Используя последнее неравенство как связующее звено между (4.3.4) и (4.3.5), мы получаем неравенство 1ЕХ вЂ” шейХ! < ч/ЬХ. 1.4.4. Аналитические средние Помимо введенных выше характеристик "центра" распределения случайной величины (математическое ожидание, медиана, мода), юторые мы будем условно называть струнвурныыи средними, в эюнометрических задачах традиционно используют так называемые аналюннческне средние значения, примерами юторых являются среднее арифметичесюе, среднее гармоничесюе и среднее геомстричесюе. Все аналитические средние определяются единообразно. А именно, пусть Х вЂ” полояопельная случайная величина, а Д(х) — неюторая функция, имеющая обратную функцию Д 1(х) (если у = Д(х), то х = Д 1(у)). С помощью функции Д(х) и операции вычисления математичесюго ожидания Д-среднее значение случайной величины Х, обозначаемое МаХ, определяется как МоХ = Д ~(ЕД(Х)).
В частности, если Д(х) т х, то Д 1(х) т х н мы получаем "обобщенное среднее арифметичесюе" М11Х т тл(Х) = ЕХ. Если Д(х) т 1/х, то Д 1(х) 1/х и мы получаем "обобщенное среднее гармоничесюе" 1 МдХ т тн(Х) = Е(1/Х). Если д(х) т 1оя х, то д 1(х) т н" и мы получаем ообобщенное среднее геом ическоео етр — тСх(Х) ОЕ1оаа Х Неслояшо убедиться, что, если случайная величина Х принимает полонительные значения хп..., х„с равными вероятностями Р(Х = хг) = 1, Е = 1,..., л, то мы соответственно получаем традиционные средние арифметичесюе, гармоничесюе и геометрическое: 1,~ 1 .~о - - Г'а, мх~ = „х.,~х) -"„о, -;;; х;. л~ 1а1л т' а 1 ла Г=1х„х С помощью неравенства Иенсена мы получаем следующее соотношение менду средним арифметическим, средним гармоническим и средним геометрическим: тн(Х) < то(Х) ( 1лл(Х).
(4.3.б) Действительно, если основание логарифма в определении среднего геометричесюго болыпе единицы (то есть а > 1), то функция 1ойо х вогнута и по неравенству Иенсена для вогнутых функций мы имеем Е 1ой, Х ( 1ой, ЕХ. то(Х) = а~1оя' < а~оа'Ех = ЕХ = тл(Х), (4.3.7) то есть имеет место правое неравенство в (4.3.6). Обозначим У = 1/Х. Тогда по неравенству Иенсена для вогнутых функций 1 тн(Х) о-ичаег ~ о-е1оа'У ое1оа'х то(Х) (43 8) ЕУ 1.е. сеислаеые «арааиенисеили случайных величин то есть верно левое неравенство в (4.3.6). Если же основание логарифма в определении то(Х) меньше единицы, то функция 1ой х выпукла и по неравенству Иенсена Е 1ойе Х ) 1ой, ЕХ.
(4.3.9) Следовательно, оЕ1оа,х ( 1ог Ех то есть имеет место (4.3.7). Из (4.3.9) вытекает, что -Е 1ой, Х ( — 1ойе ЕХ, откуда мы заключаем, что и соотношение (4.3.8) сохраняет свою силу при а < 1. 1.4.5. Числовые характеристики формы распределении случайных величин Пусть Х вЂ” случайная величина и ЕХ и 0Х вЂ” соответственно ее мкпяаатичеснзе ожидание и дисперсия. Рассмотрим случайную веричнну Х вЂ” ЕХ Несложно убедиться, что ЕХ = О, 0Х = ЕХз = 1. Этн соотношения выполняются для любой случайной величины Х, у жлорой существует (конечна) дисперсия.
Однако математические ожидания более высоких степеней случийной величины Х уже будут разными для разных случайных величин Х и несут в себе нензгорую ннформашпо о форме распределения случайной величины Х. Опгидилвниж 4.5.1. Предположим, что существует Е~Х!з. Число хз=ЕХ =Е называется козффиииентам асилемешрии случайной величины Х.
Ь 4 5. Харакварастака 4ормм раанраааааааа 5а Если нз < О, то левый "хвост" распределения случайной величины Х тяжелее правого. Если при этом случайная величина Х непрерывна, то в этом случае левый "склон" ее плотности более пологий, нежеяи правый. Если нз ) О, то левый "хвост" распределения случайной величины Х легче правого. Если при этом случайная величина Х непрерывна, то в этом случае левый "склон" ее плотности более круг, нежели правый. Если случайная величина Х симметрична, то есть распределения величин Х и -Х совпадают, то нз = О.
Опглднлпнил 4.5.2. Предположим,что существует ЕХа. Число ЕХ4 4 /Х вЂ” ЕХ~ Е(Х вЂ” ЕХ)4 ~ ДЕ ) (1)Х) называется коэффициентом эксцесса или коэффициентам островерэиин- ности случайной величины Х. Чте больше коэффициент островершинности, тем более остра вершние плотности соответствующей случайырй величины.' Наоборот, если коэффициент островершинности мал, то график плотности соответствующей случайной величины имеет тупую вершину. В матемапше известны многие замечательные числа. Например, всем хорошо знанэмо число л = 3,141592б54..., равное отношению длины окружности к диаметру этой окружности.
Не менее замечательную роль играет также число е = 2,718281829..., равное так называемому второму замечательному пределу: можно показать, что 11+ 1) — + е при н -+ оо. Это число будет играть очень важную роль во многих приводимйх ниже формулах.
При этом мы часто будем исполыовать обозначение ехр(х) для числа е В качестве эталона "островершинности'* традиционно принимают так называемое нормальное распределение, задаваемое плотностью 1 / р(х) = — е ', -со < х < со. -аэ/З ,/Ы Коэффициент эксцесса случайной величины, имеющей "эталонную" стан- дартную нормальную плотность (р(х), равен 3. 54 1.5. Независимость авуиайних величин 1.5. Независимость случайных величин 1.5.1. Незавнснмые случайные величины Напомним, что в разделе 1.2.1 мы ввели понятие независимых событий.
Мы назвали два события А и В, связанные с некоторой сгохастической ситуацией, независимыми, если Р(А П В) = Р(А) Р(В). Это поюпие, равно как и понятие независимости в совокупности можно распространить и на случайные величины. В неюторых стохастическнх ситуациях с каждым элементарным исходом связано значение не одной, а нескольких случайных величин.
К примеру, прн проведении социологнчесюго опроса из интересующей категории населения случайно выбирается неюторое заранее заданное число, скажем, л респондентов. Для простоты предположим, что каждому из них задается один и тот же единствснный вопрос, например, предлагается по десатнбалльной щкале оценить эффективность работы каюго-либо государственного органа, скажем, органов охраны общественного порядка. Тогда формалъный результат опроса имеет вид Хы Хз,..., Х„, где Х;— ответ (-го респондеита на заданный вопрос.
Здесь элементарнъгй исход— это выбор л ювжретных респондентов. Каждому таюму элементарному исходу соответствует не одно, а л чисел, то есть с рассматриваемой стохастичесюй ситуацией связаны л случайных величин, значения юторых зависят от выбора юнкретных л респондентов. Опглдлллнил 5.1.1. Случайные величины Х и Г, связанные с неюторой стохастичесюй ситуацией, называются независимыми, если, какими бы нн были числа х и у, независимы события (в: Х(вз) ( х) и (вз: у(ги) < у). Для дискретных случайных величин критерий независимости принимает более простой вид.
А именно, пусть Х и У вЂ” дискретные случайные величины, принимающие соответственно значения хы хз,... и уы уз,... Тогда случайные величины Х и У независимы тогда и только тогда, югда для всех 1 и 1 независимы события (аз: Х(и) = х~) и (щ: Г(вз) = у ). Можно показать, что если случайные величины независимы, то ЕХу = ЕХ Еу. 1.5.2. Коверивния Квэ4финиент квррезенш 55 Опрпдлллиил 5.1.2. Случайные величины Хп Хъ..., Х„иазываются независимыми в совокупности, если, какими бы ии были числа х1, хз,..., х„, события (ге: Х~ (со) < х ), 1 = 1,..., п, независимы в совокупиости.
Опрлдлллнив 5.1.3. Пусть Хп Хз... — бесюиечиая последовательность случайных величин. Мы будем говорить о ией как о последовательности независимых случайных величин, если при каждом и > 2 составляющие ее случайные величины Хп..., Х„независимы в совокупности. Вообще говоря, поиятие иезависимдсти примеилтельио-к разным объектам можио понимать и трактовать по-разиому.
Например, иезависимость может быть политической, эюиомичесюй и т. п, Более того, это поиатие интуитивно связано с поиятием зависимости. В приведенных выше определеииях мы говорим о стахастической независимости. При этом понятие зависимости мы ие юиаретизируем и ие будем называть зависимыми те случайные величины, которые ие являются стохастически независимыми. Дело в том, что, как мы увидим, в теории вероягиоетей известны случайные величины (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
