Главная » Просмотр файлов » В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика

В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 10

Файл №1115266 В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика) 10 страницаВ.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266) страница 102019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

(4.3.2) хз С помощью неравенств Маркова и Чебьппева можно оценивать вероятности больших значений неотрицательных случайных величин или вероятности болыпик отклоненйй случайных величин от' своего среднего значения. Иеравеиство Иенееиа и его частные случаи. Опгидвлвнин 4 3.1. Фунция я(х) называется вылукхой, если ее график лежит еыии касательной к нему проведенной в любой его точке. Фуиция л(х) называется еоглугио», если ее график лежит ниже касательной к нему, проведенной в любой его точке. Примераыи выпуклых функп;вй служат функции я(х) = хз (-оо < х < оо), я(х) = 1/х (х > О).

Примерами вогнутых функций служат функции Ь(х) = .,/х (х > О), Ь(х) = 1ояа х (а > 1, х > О). Пусть Х вЂ” случайная величнна, я(х) — произвольная выпуклая функция, а Л(х) — произвольная вогнутая функция. Неравенство Нансена устаивали ваетэ Ея(Х) > я(ЕХ), ЕЬ(Х) «л(ЕХ). В частности, применяя неравенство Иенсена для выпуклых функций к произвольной случайной величине У и функции я(х) = !х !, мы получаем !ЕУ! < Е!У!. (4.3.3) С помощью неравенства Иенсена мы можем получить следующие полезные соотношения между характериспшами "центр~~" случайной величины и характеристиками ее разброса. Пусть Х вЂ” произвольны случайная величина.

Применим неравенство (4.3.3) к случайной величине 1.4. Числовые леректерислпаю случейныл величин У = Х вЂ” шед Х. Вследствие линейности математичесюго ожидания мы при этом получим 1ЕХ вЂ” шейХ! < Е1Х вЂ” шейХ!. (4.3.4) Пусть Х вЂ” произвольная случайная величина. Применим теперь неравенспю Иенсена для выпуклых функций к случайной величине У = ~Х вЂ” ЕХ! и функции Х(х) = хз. Мы получим (Е~Х вЂ” ЕХ!) с Е(Х вЂ” ЕХ)з или, что то же самое, Е!Х вЂ” ЕХ~ < /ОХ. (4.3.5) Соотношение (4.3.5) принято называть неравенством )еянунова. Вспомним Задачу 4.1.2, согласно юторой Е!Х вЂ” шеб Х! < Е1Х вЂ” а! для любого а, в частности, при а = ЕХ мы получаем Е~Х вЂ” шеб Х~ < Е1Х- ЕХ~.

Используя последнее неравенство как связующее звено между (4.3.4) и (4.3.5), мы получаем неравенство 1ЕХ вЂ” шейХ! < ч/ЬХ. 1.4.4. Аналитические средние Помимо введенных выше характеристик "центра" распределения случайной величины (математическое ожидание, медиана, мода), юторые мы будем условно называть струнвурныыи средними, в эюнометрических задачах традиционно используют так называемые аналюннческне средние значения, примерами юторых являются среднее арифметичесюе, среднее гармоничесюе и среднее геомстричесюе. Все аналитические средние определяются единообразно. А именно, пусть Х вЂ” полояопельная случайная величина, а Д(х) — неюторая функция, имеющая обратную функцию Д 1(х) (если у = Д(х), то х = Д 1(у)). С помощью функции Д(х) и операции вычисления математичесюго ожидания Д-среднее значение случайной величины Х, обозначаемое МаХ, определяется как МоХ = Д ~(ЕД(Х)).

В частности, если Д(х) т х, то Д 1(х) т х н мы получаем "обобщенное среднее арифметичесюе" М11Х т тл(Х) = ЕХ. Если Д(х) т 1/х, то Д 1(х) 1/х и мы получаем "обобщенное среднее гармоничесюе" 1 МдХ т тн(Х) = Е(1/Х). Если д(х) т 1оя х, то д 1(х) т н" и мы получаем ообобщенное среднее геом ическоео етр — тСх(Х) ОЕ1оаа Х Неслояшо убедиться, что, если случайная величина Х принимает полонительные значения хп..., х„с равными вероятностями Р(Х = хг) = 1, Е = 1,..., л, то мы соответственно получаем традиционные средние арифметичесюе, гармоничесюе и геометрическое: 1,~ 1 .~о - - Г'а, мх~ = „х.,~х) -"„о, -;;; х;. л~ 1а1л т' а 1 ла Г=1х„х С помощью неравенства Иенсена мы получаем следующее соотношение менду средним арифметическим, средним гармоническим и средним геометрическим: тн(Х) < то(Х) ( 1лл(Х).

(4.3.б) Действительно, если основание логарифма в определении среднего геометричесюго болыпе единицы (то есть а > 1), то функция 1ойо х вогнута и по неравенству Иенсена для вогнутых функций мы имеем Е 1ой, Х ( 1ой, ЕХ. то(Х) = а~1оя' < а~оа'Ех = ЕХ = тл(Х), (4.3.7) то есть имеет место правое неравенство в (4.3.6). Обозначим У = 1/Х. Тогда по неравенству Иенсена для вогнутых функций 1 тн(Х) о-ичаег ~ о-е1оа'У ое1оа'х то(Х) (43 8) ЕУ 1.е. сеислаеые «арааиенисеили случайных величин то есть верно левое неравенство в (4.3.6). Если же основание логарифма в определении то(Х) меньше единицы, то функция 1ой х выпукла и по неравенству Иенсена Е 1ойе Х ) 1ой, ЕХ.

(4.3.9) Следовательно, оЕ1оа,х ( 1ог Ех то есть имеет место (4.3.7). Из (4.3.9) вытекает, что -Е 1ой, Х ( — 1ойе ЕХ, откуда мы заключаем, что и соотношение (4.3.8) сохраняет свою силу при а < 1. 1.4.5. Числовые характеристики формы распределении случайных величин Пусть Х вЂ” случайная величина и ЕХ и 0Х вЂ” соответственно ее мкпяаатичеснзе ожидание и дисперсия. Рассмотрим случайную веричнну Х вЂ” ЕХ Несложно убедиться, что ЕХ = О, 0Х = ЕХз = 1. Этн соотношения выполняются для любой случайной величины Х, у жлорой существует (конечна) дисперсия.

Однако математические ожидания более высоких степеней случийной величины Х уже будут разными для разных случайных величин Х и несут в себе нензгорую ннформашпо о форме распределения случайной величины Х. Опгидилвниж 4.5.1. Предположим, что существует Е~Х!з. Число хз=ЕХ =Е называется козффиииентам асилемешрии случайной величины Х.

Ь 4 5. Харакварастака 4ормм раанраааааааа 5а Если нз < О, то левый "хвост" распределения случайной величины Х тяжелее правого. Если при этом случайная величина Х непрерывна, то в этом случае левый "склон" ее плотности более пологий, нежеяи правый. Если нз ) О, то левый "хвост" распределения случайной величины Х легче правого. Если при этом случайная величина Х непрерывна, то в этом случае левый "склон" ее плотности более круг, нежели правый. Если случайная величина Х симметрична, то есть распределения величин Х и -Х совпадают, то нз = О.

Опглднлпнил 4.5.2. Предположим,что существует ЕХа. Число ЕХ4 4 /Х вЂ” ЕХ~ Е(Х вЂ” ЕХ)4 ~ ДЕ ) (1)Х) называется коэффициентом эксцесса или коэффициентам островерэиин- ности случайной величины Х. Чте больше коэффициент островершинности, тем более остра вершние плотности соответствующей случайырй величины.' Наоборот, если коэффициент островершинности мал, то график плотности соответствующей случайной величины имеет тупую вершину. В матемапше известны многие замечательные числа. Например, всем хорошо знанэмо число л = 3,141592б54..., равное отношению длины окружности к диаметру этой окружности.

Не менее замечательную роль играет также число е = 2,718281829..., равное так называемому второму замечательному пределу: можно показать, что 11+ 1) — + е при н -+ оо. Это число будет играть очень важную роль во многих приводимйх ниже формулах.

При этом мы часто будем исполыовать обозначение ехр(х) для числа е В качестве эталона "островершинности'* традиционно принимают так называемое нормальное распределение, задаваемое плотностью 1 / р(х) = — е ', -со < х < со. -аэ/З ,/Ы Коэффициент эксцесса случайной величины, имеющей "эталонную" стан- дартную нормальную плотность (р(х), равен 3. 54 1.5. Независимость авуиайних величин 1.5. Независимость случайных величин 1.5.1. Незавнснмые случайные величины Напомним, что в разделе 1.2.1 мы ввели понятие независимых событий.

Мы назвали два события А и В, связанные с некоторой сгохастической ситуацией, независимыми, если Р(А П В) = Р(А) Р(В). Это поюпие, равно как и понятие независимости в совокупности можно распространить и на случайные величины. В неюторых стохастическнх ситуациях с каждым элементарным исходом связано значение не одной, а нескольких случайных величин.

К примеру, прн проведении социологнчесюго опроса из интересующей категории населения случайно выбирается неюторое заранее заданное число, скажем, л респондентов. Для простоты предположим, что каждому из них задается один и тот же единствснный вопрос, например, предлагается по десатнбалльной щкале оценить эффективность работы каюго-либо государственного органа, скажем, органов охраны общественного порядка. Тогда формалъный результат опроса имеет вид Хы Хз,..., Х„, где Х;— ответ (-го респондеита на заданный вопрос.

Здесь элементарнъгй исход— это выбор л ювжретных респондентов. Каждому таюму элементарному исходу соответствует не одно, а л чисел, то есть с рассматриваемой стохастичесюй ситуацией связаны л случайных величин, значения юторых зависят от выбора юнкретных л респондентов. Опглдлллнил 5.1.1. Случайные величины Х и Г, связанные с неюторой стохастичесюй ситуацией, называются независимыми, если, какими бы нн были числа х и у, независимы события (в: Х(вз) ( х) и (вз: у(ги) < у). Для дискретных случайных величин критерий независимости принимает более простой вид.

А именно, пусть Х и У вЂ” дискретные случайные величины, принимающие соответственно значения хы хз,... и уы уз,... Тогда случайные величины Х и У независимы тогда и только тогда, югда для всех 1 и 1 независимы события (аз: Х(и) = х~) и (щ: Г(вз) = у ). Можно показать, что если случайные величины независимы, то ЕХу = ЕХ Еу. 1.5.2. Коверивния Квэ4финиент квррезенш 55 Опрпдлллиил 5.1.2. Случайные величины Хп Хъ..., Х„иазываются независимыми в совокупности, если, какими бы ии были числа х1, хз,..., х„, события (ге: Х~ (со) < х ), 1 = 1,..., п, независимы в совокупиости.

Опрлдлллнив 5.1.3. Пусть Хп Хз... — бесюиечиая последовательность случайных величин. Мы будем говорить о ией как о последовательности независимых случайных величин, если при каждом и > 2 составляющие ее случайные величины Хп..., Х„независимы в совокупности. Вообще говоря, поиятие иезависимдсти примеилтельио-к разным объектам можио понимать и трактовать по-разиому.

Например, иезависимость может быть политической, эюиомичесюй и т. п, Более того, это поиатие интуитивно связано с поиятием зависимости. В приведенных выше определеииях мы говорим о стахастической независимости. При этом понятие зависимости мы ие юиаретизируем и ие будем называть зависимыми те случайные величины, которые ие являются стохастически независимыми. Дело в том, что, как мы увидим, в теории вероягиоетей известны случайные величины (см.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее