В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Л4 — ЛВ ив лд 100% лв 35% 25% 20% 17.25% 15.4% 10.8% 7.55% 4.72% 3.33% 100 135 200 250 300 360 400 469 500 577 1000 1108 2000 2151 5000 5236 10000 10333 Наименьшим нйтуралъным числом, удовлепюряющим последнему неравенству, является пл = 136. Таким образом, если в городе А зарегистрировано более 135 случаев лейкемии, то с 99-процентной уверенностью можно говорить о том, что в городе А имеется дополнительный фактор риска. В общем случае для определения порога лл, превышение юторого числом больных лейкемией в городе А позволяет нам с надежностью у 100% сделать вывод о наличии в городе А дополнительного фактора риска (О ~ у < 1), вместо (7.2.1) надо восполъзоваться соотношением 1.7.2.
Теорема Муаера-Лаиеаеа. Нормане ное ра енреоаеение 75 При осмыслении зтой таблицы необходимо учитывать, что она имеет смысл лишь тогда, когда пуассоновская аппроксимация для распределе-, ния количества больных лейкемией имеет приемлемую точность, то есть когда число жителей в каждом городе не менее чем в 100 раз превьппает число случаев лейкемии. ЗАдАчА 7.2.2. Общеизвестны книги америввнского врача Бенджамена Спока о воспитании детей. Доктор Спок известен не толью свимн книгами, но и своими антивоенными убеждениями. Он неоднократно участвовал в антивоенных акциях, в том числе во время войны, которую США вели во Вьетнаме, и был судим по обвинению в антиконституционной деятельности. Однажды он был арестован в Бостоне за участие в очередной антивоенной демонстрации. Его дело должен был рассматривать суд присяжных.
Присяжные отбираются из дееспособного населения Бостона с помощью многоступенчатой процедуры, на очередном зтапе которой было отобрано 300 человек (из числа которых потом и должны были быль выбраны 12 присяжных). Однако среди ргнх 300 человек оказалось лишь 90 женщин. Это обстоятельство послужило причиной того, что адвокаты доктора Спока подали протест (воопвтанием детей в США, как и в Россви, в основном занимаются женщины и поэтому ясно, что в рассматриваемой ситуации при прочих равных женщины с ббльшим сочувствием отнесугся к подсудимому).
Насколько обоснован протест7 Доля женщин в дееспособном населении Бостона составляет примерно 50%. Позгому если вероятность случайного выбора женщин в число 300 кандидатов обозначить р, то при абсолютно беспристрастной процедуре выбора должно быть р = ~. Проверим, так ли зто на самом деле. Для зтого, предполагая, что р = ~, найдем вероятность того, что будет отобрано 90 или еще меньше женщин.
Другими словами, найдем вероятность того, что наблюдаемое отклонение числа отобранных женщин от ожидаемого их числа 150 обусловлено чистой случайносп ю. Если зта вероятность окажется исчезающе малой, то мы придем к выводу о том, что осуществилось событие, которое в сделанном предположении произойти практически не может. Это будет означать, что сделанное предположение не верно. (Такая логика рассуждений характерна для проверки сталеистмческих гилоиеэ, о изторой фактически речь шла в Задаче 7.1.1 и о которой мы будем говорить в разделах 2.3.2, 2.5.1 и 2.5.2.) Б 7. Нсиьииаиии Бернулли: аредильиые иыоиииы Итак, пусть Х вЂ” количеспю отобранных женщин. Мы можем считать Х числом успехов в 300 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной р.
В предположении полной случайности выбора (р = ~1) искомая вероятность извет вид . --9О 1 90 Р(Х < 90) = ~~~ С~~Р (1 — Р)" ~ = — ~~~ Сзлщ. к=с А=о Вычисление этой вероятности затруднено. Чтобы приближенно оценить зту вероятность, применим теорему Муавра-Лапласа и получим Х вЂ” 150 90 — 150 90 — 150 ~/75 5/75 ба~7 55 = Ф( — б 9282) < 0 Обе 74 < 2 3 10-щ (7.2.4) Эта вероятность может быть расценена как ничтожно малая. Так что, скорее всего, исходное предположение о том, что отбор присяжных беспристрастен, то есть что р = 59 не является справедливым. Более того, мы можем заюпочить, что и вероятность ошибочно отвергнуть предположение о беспристрастности отбора по имеющимся данным не превосходит 2.3 10 1г.
К сожалению, книга Г. Кимбла "Как правильно полыоваться статистикой", из юторой взят только что рассмотренный пример, умалчивает о том, чем закончилось рассмотрение протеста. К сожалению, ответ на важнейппкй в рассматриваемом случае вопрос о том„можно ли считать зту вероятность пренебрежимо малой или нет, не является прерогативой теории вероятностей. Следует иметь в виду, что пользоваться теоремой Муавра-Лапласа для вычисления малых вероятностей, подобных той, которая фигурирует в цепочке (7.2.4), следует весьма осторожно, так как погрешность соответствующего приближенного равенства может во много раз превьппать оцениваемую вероятность. К вопросу о точности нормальной аппроксимации мы вернемся в разделах 1.9 и 2.2.4. 1.7.3. Теорема Репьи. Показательное распределение Пусть Х вЂ” случайная величина с геометрическим распределением Р(Х=л)=р" 1(1 — р), 1=1,2,..., 1.7.3.
Теорема Ренье. Поназавальнаа раанреаааенна О < р < 1. В этом случае, как мы уже видели в Разделе 1.6.2, ЕХ = 1/(1 — р). Поэтому, если р -+ 1, то ЕХ -+ оо. Однаю если одновременно со стремлением р к нулю производить нормировку рассматриваемой случайной величины, деля ее на ее математичесюе ожидание, то можно убедиться, что, каково бы ни было х > О, Р ~ — < х~ = Р ((1 — р)Х < х) — ~ 1 — е /Х и ~ЕХ Это утверждение является частным случаем так называемой теоремы Репьи. Лелю видеть, что предельная функция является функцией распределения.
Талое распределение называется стандартным показательным. В общем случае, вводя параметр масштаба А > О, можно определить показательное рапчмделение с параметром Х как задаваемое соответствующей функцией распределения )г(х), равной О при х < О и равной 1 — е и при х > О.
Если у — случайная величина с показательным распределением с параметром А, то ЕУ=-, 0У- —. 1 1 Аз Показательное распределение часто исполыуется в качестве модели распределения продолжительности жизни или длительности безотказной работы. Однаю такие модели весьма грубы и, вообще говоря, являются идеальными, посюльку не учитывают эффект старения. Действительно, в предположении о том, что время Х безотказной работы навторого устройства имеет показательное распределение с неюторым параметром А, рассмотрим условную вероятность того, что после того как устройство проработало в течение времени г, устройство проработает еще как минимум время т. Эта вероатиость имеет вид Р(Х > г+ т; Х > г) Р(Х > г+ т) Р(Х > г+ тих > ю)— Р(Х > г) Р(Х > г) -О+т) = е ' = Р(Х т), е-с то есть зта условная вероятносп не зависит от г и совпадает с безусловной вероятностью того, что устройство проработает как минимум время т.
1.8. Заюи бааыиих чисат 78 1.8. Закон больших чисел Пусть Х вЂ” число успехов в л испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в отдельном испытании, равной р.-основываясь на результатах п. 1.6.1, мы можем сказать, что слутаййая величина Х имеет биномиальное расцределение с параметрами л н р. Тогда под часитотой усиеха следует понимать дробь.Х/л.
Бще очень давно было замечено, что прн увеличении л частота успеха сближается с вероятностью р. Формально зто сближение можно установить, например, с помощью неравенства Чебышева. Зафиксируем какое-либо произвольно милое положительное число е и рассмотрим вероятность Р(1Х/л — р! ) е) того, что отклонение частоты успеха от вероятности успеха превзойдет я по абсолютной величине. Так как ЕХ = ир и 0Х = лр(1 — р) то Е(Х/л) = р и 0(Х/и) = л ~0Х = р(1 — р)/л. Тогда по неравенству Чебышева р е < 0 при и -+ оо. Это соотношение является частным (и, по-видимому, самым простым) случаем заюиа Йиьтаих чисел, юторый устанавливает сближение среднего арифметичесюго случайных величин со средним арифметическим нх математических ожиданий. Известны многие варианты закона больших чисел.
Мы приведем наиболее наглядную формулировку. Пусть Хп Хз,... — независимые одинаюво распределенные случайные величины и ЕХт = а. Тогда с вероятностью'единица выполняется соотношение 1 )пп — ~~т Хь = а. и-+ос л а=1 Закон больших чисел является основанием для использования среднего арнфмстичесюго наблкщаемых значений одинаково распределенных случайных величин в качестве приближения для вх (общего) математичесюго ожидания.
Более подробно об атом и, в частности, о точности подобной аппроксимации мы поговорим во второй главе. 79 Ь9. Центральная предельная теорема 1.9. Центральная предельная теорема Теорема Муавра-Лапласа является частным случаем так называемой центральной предельной теоремы, устанавливающей асимптотическую нормальность распределения суммы независимых случайных величин. Известны многие варианты центральной предельной теоремы.
Мы приведем наиболее наглядную формулировку. Напомним, что в разделе 1.6.2 была введена стандартная нормальная функция распределения гя Ф(х) = — / е г ~~о(у. ~/2~г -оо Пусть Х1, Хз,... — независимые одинаюво распределенные случайные величины, ЕХ1 = а и 0Х1 = оз, причем О с от с оо. Тозца при л -ь оо наибольшее по х значение величины р 2.й1 1-~~ ф() стремится к нулю, Из центральной предельной теоремы вытекает, что при больших л н любых х можно пользомться приближением Р Ч~1 Х, ' (9.1.1) Другими словами, при болыпих л распределение суммы л независимых случайных величин можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами ла и и /л. Центральную предельную теорему часто используют для обоснования того, что распределение погрешностей измерений предполагается нормальным.
Действительно, погрешность измерения является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов. Позтому вследствие центральной предельной теоремы погрешность можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону. С помощью центральной предельной теоремы можно получить представление о том, какова сюросгь сходимости в заюне больших чисел, то 80 1.У. Центрельиая иредееьиеи аеорема есть о,4ом, как быстро средние арифметические независимых одинаюво распрбделенных случайных величин сближаются с математическим ожидаю~ем.
Действительно, пусть, как и ранее, Хп Хт,... — независимые одинаково распределенные случайные величины с ЕХ1 = а и 0Х1 = о з, причем О < о з с оо. В силу закона больших чисел при зтом последователъносп неотрицательных случайных величин 1 Ху — а л 1=1 ги ее (9.1.2) Иш Р(Е, < х) = Г(х) = 10, хсО, (9.1.3) и-+оо " ~1, х > О. Предельная функция распределения Г(х) в (9.1.3) имеет единственный единичный скачок в нуле. Функции распределения, имеющие единствен- с вероятносп ю единица стреьппся к нулю при л -+ оо. Под скоросшью сходнмости последовательности случайных величин Уи при л -+ оо условимся понимать такую неслучайную функцию г(л), которая ведет себя при л -+ оо в определенном смысле так же, как случайная последовательность (Еи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
