В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(10.1.2) Действительно, так как / Ух(х) Ых = 1, то в силу (10.1.1) плотность 7(х) может быть представлена в виде +Ос г ОО ~(х) = 1+ ~~~ гх(х+л) — / гх(х)ох.  — 00 ОО (10.1.3) Зафиксируем х. Дла каждого целого й существует единственное хь такое, что, во-первых, хь = х + л при некотором целом и н, во-вторых, а + я < было так, нужно, чтобы было выполнено некоторое дополнительное условие. А именно, рассмотрим угол, на который повернулось колесо рулетки до полной остановки, как непрерывную случайную величину Х с плотностью гх(х) (мы допускаем углы поворота, превосходюцие 360'). Введем новую единицу измерения угла, юторую назовем, скажем, оборот.
Тогда случайная величина Х может быть представлена в внде Хгн Равномерное раенредененне. Занан Бен4орда хФ <а+ + . Огда й 1. Т соотношение (10.1.3) можно переписать в виде анен Х(х) — 1 = ~, / (Хх(хь) — Хх(У))лу не о (н~е-уьВФ~./ ~н(н~-у*О)Ф й=-ео Гньм + 1 (Хх(хг) — Хх(У)) Ф+ ~ / (Хх(хь) — Хх(У)) У /о го"" О< р= ~ ~~ (Хх(У) — Хх(ха))е1У+ l (Хх(у) — Хх(ха))ЫУ, А.н н ~ А.г рнН~ 0 < 9 = 1 (Хх(хн) — Хх®)ну+ ~~~ / (Хх(хг) Хх(У))еЬ. Т ~как Хх(У) ра етприу о, о а р < х~ 1~ (Хх(ха+~) — Хх(хь)) Ф+ / (Хх(а) — Хх(хь)) е(У е-! -г = ~ (Хх(хь+г) — Хх(хь)) .
1+ (Хх(о) — Хх(х-~)) = Хх(х-г) + (Хх(а) — Хх(х-~))(а — х ~) < Хх(н ь) + Хх(а) Хх(н — ь) = Хх(а) л-х г < 1. Аналогично можно показать, что у «Хх(а). Таким — « е га) и О < р < Хх(о) об агом, мы имеем Х(х) — 1 = 9-р, где О 9 Хх( Значат 1Х(х) — 1< х о =из — Ц < Х (а) = из, что и требовалось установить.
(Заметим, аналогичное 10.1.2), что в (Феллер, 1984), т. 2, с. 80 доказано неравенство, аналогичное ( но с вдвое большей правой частью.) 1.10. Равномерное Раенредевенне. Занан Бекфорда Неравенство (10.1.2) означает, что чем меньше т (то есть чем сильнее размазано распределение случайной величины Х), тем ближе плотность Г" (х) к равномерной, то есп тем "случайнее" результат вращения колеса рулетки.
Пгимн' 10.1.4. Заюл Бекфорда. Пусп Х вЂ” случайная величина, равная первой значащей (ненулевой) цифре наугад выбранного числа из произвольно взятых таблиц (логарифмов, степеней, нормального распределения, длин рек, площади озер, численности населения и т.п.). Казалось бы, в условиях полной случайности выбора таблиц и числа в таблицах случайная величина Х доюкна имеп дискретное равномерное распределение на множестве чисел (1, 2,..., 9): Р(Х = й) = ~~ - 0,111, А = 1, 2,..., 9.
Однаю на практике зта заюномерность отнюдь не наблюдается. Напро- тив, почти всегда наблюдается друпщ закономерность: Р(Х = к) ж ра = 1о81о(й + 1) — !ойю й, й = 1, 2,..., 9. Для наглядности приведем юнкретные значения чисел рь. р1 = 0 3010 рз = 0.1761 рз = 0 1249 р4 = 0.0969 рз = 0 0792 ре = 0 0669 ру = 0,0580 рз = 0,0512 рз = 0,0458 При зтом вероятность выпадения одной из цифр 1, 2, 3 или 4 совсем не равна ожидаемому числу 4~ нв 0,4444, а оказывается почти равной 0,7 (0,6992 — для любителей точности). Это обстоательспю может быль использовано при заключении пари подобно тому, как зто с успехом делал некий известный прикладной математик, о чем упоминается в (Феллер, 1984), т. 2, с. 80 со ссылкой на статью Ф.
Бекфорда, опубликованную в 1938 г. С тех пор описанная заюномерность носит название закона Бекфорда. Эта заюномерность настолько устойчива, что известен случай, югда на основании результатов ревизии прокурор Нью-Йорка возбудил уголовное дело в отношении неюей фирмы, в финансовом отчете которой данные не удовлетворяли заюну Бенфорда.
94 1.11. Многомерные случайные еелнчнны Известны многие попытки теоретического обоснования зтой змпиричесюй закономерности. В частности, таюе обоснование может быль дано с помощью рассуждений, приведенных в предыдущем примере. А именно, наудачу выбранное число из наугад взятых таблиц может рассматриваться как положительная случайная величина с неюторым (неизвестным) распределением. Первая значащая цифра Х таюй случайной величины У равна А в том и толью в том случае, югда при некотором целом л выполнено соотношение А 10" < Г < (1+1) 10". (10.1.4) Введем случайную величину У = 1ойю У.
Тогда соотношение (10.1.4) зквивалентно неравенствам л+1об1ой < Х < в+1оя„д + ц. (10.1.5) Как показано в предыдущем примере, если распределение случайной величины У очень сильно размазано по положительной полуоси, то распределение случайной величины (У) (дробной части величины 2) является приближенно равномерным. Но тогда для каждого х = 1, 2,..., 9 вероатность неравенств (10.1.5) оказывается приближенно равной Рь = 1ок1с()с + 1) — !ойю й, как и должно быль в соответствии с законом Бенфорда. 1.11. Многомерные случайные величины (случайные векторы) Пусть л ) 1 — некоторое целое число. В математике набор чисел (хп..., х„) привпо называть (и-мерным) вектором. По аналогии, в данном разделе мы определим понятие случайного вектора.
В разделе 1.5 мы уже приводили пример стохастической ситуации (опрос общественного мнения), в юторой каждому злементарному исходу со соответствует не одно, а несколью чисел Х1 (са), Хз(со),..., Хн(со), где л ) 1. В качестве других примеров таких ситуаций можно привести следующие. 95 1.1« Многомерные случайные еелнчнны ПгимкР 11.1.1. При клиническом анализе крови у каждого пациента (отождествляемого с элементарным исходом в) опредсваотся несколько характеристик: количество эритроцитов, лейвпцитов, тромбоцитов, свертываемость и так далее. Пгимну 11.1.2. При социологическом обследовании в каждом населенном пункте (отождествляемом с злементариым исходом в) определяются такие показатели, как численность населения, занятость, количество тех или иных предприятий, кинотеатров и так далее.
В этих примерах номер (иидекс) 1 у числа Х~(в) определяет иазваиие одной и той же коикрстиой характеристики для разиых элементарных исходов в. Вспоминая определение случайной величины как функции элементарного исхода (см. раздел 1.3), мы приходим к заключению, что при каждом фиксированном индексе 1 функция Х~(в) элементарного исхода в является случайной величиной. Условимся называть набор Х = Х(в) = (Х1(са), Хз(в),..., Хн(в)) случайных величин многомерной (точиее, и-мерной) случайной величиной, или и-мерным случайным веюнарам. По отношению к случайному вектору Х составляющие его случайные величины Х1(в), Хз(в),..., Х„(в) ивзываются компонентами.
В дальиейшем для краткости мы будем опускать аргумент в у компонент случайного вектора. В разделе 1.5 мы позиакомились с такими случайными векторами, компоиеиты которых стохастически независимы и рассмотрели простые числовые характеристики — ковариацию и козффициеит корреляции,— описывающие тесноту попариой линейной зависимости компоиеит. Чтобы более полно охарактеризовать совместные статистические свойства компоиеит случайного вектора Х, каждому возможиому набору и чисел х = (хп..., хн) поставим в соответствие число р«, «„(хп..., хн) по правилу Гхь , «„(х1,...,х„) = Р((в: Х1(в) < х~) Г1...Й(в: Хн(в) < хн)) нк Р(Х1 < х1,..., Х„< хн).
Указаииое соответствие определяет числовую функцию рх(х) = р«,..,х„(хп...,хн) 96 1.11. Многамерниг случайные величины на множестве всевозможных наборов х = (хь..., х„). Эта функция называется совместной функиией распределения случайного вектора Х. Совместная функция распределения обладает следугощыми свойствами. 1. Для любого 1 = 1, 2,..., и, если х,' < х!!, то Рхь ..., хь..., х„(«1 ° ° ° «1 ° ° хл) л РХ ° Х Х (Х! ''' «1 '' Хл) 2. Для любого г = 1, 2... и 1йп Рх,,..,,хь...,х„(хь " хь" хл) = О; м-+-оо 3. Для любого г = 1, 2,..., и РХЬ...,Х~ ЬХЬХЫЬ...,Хг(«1 ° ° ° ~«1-1 ХЬ «1+Ь ° ° ° ХЛ) тг-++ос = Рхь...,х~ ьхыь...,х„(хь ° ° ° «1-1 хг+ь - ~ хл).
Если все аргументы совместной функции распределения одинаковы тоесть«1 = ... =х„юх,то Рх, х„(х,...,х) =Р(Х1 <х,...,Х„<х) = Р(пгак(Хь " ° Хп) < х). Пусть Ь вЂ” малое положительное число. Если на множестве ноево: можнык наборов к = (хь..., х„) определена неотрицательная функцв 1'(к) = У(хь..., х„), такая, что для любого набора к = (хь..., х„) Р(«1 < Х1 < «1+ А,...,х„< Х„< х„+ Ь) 1пп 1(«Ь..., х„), й-~0 11и (11.1.: то случайный вектор Х = (Хь..., Х„) называется непрерывным, а фук ция 1(хь..., х„) называется совместной плоюносвью (распределею вероятностей) компонент случайного вектора Х.
1.11. многвнерные случаянме аеамчмны Чтобы проиллюстрировать смысл понятий совместной функции распределения и совместной плотности, рассмотрим ситуацию, когда случайный вектор Х состоит из двух компонент: Х = (Хь Хз), причем обе компоненты — Х~ и Хз — неотрицательны. В таком случае областью возможных значений случайного вектора Х = (Хь Хз) является первый квадрант координатной плоскости. Пусть х~ и хз — два произвольныл полоиительных числа. Тогда значение Гк(хп хз) совместной функции распределения в точке с координатами (хь хз) равно вероятности того, что случайный вектор Х = (Хь Хз) попал в прямоугольник, ограниченный отрезками, последовательно соединяющими точки (О, 0), (хь 0), (хп хз) и (О, хз). Для некоторого Л ~ 0 найдем вероятность попадания определенного вылив случайного вектора Х = (Хп Хз) в квадрат с вершинами (х~, хз), (х~ + Ь, хз), (х~ + Ь, ха+ Ь) > (х~, ха+ Ь).
Обозначим этот кмдрат через Я, прямоугольник с вершинами (О, 0), (х~, О), (хп хз), (О, хз) — через Яп прямоугольник с вершинами (О, хз), (хы хз), (хы хз + Ь), (О, хз + Ь) — ' через Яз, прямоугольник с вершинами (хь О), (х~ + Ь, О), (х~ + Ь, хз), (х~, хз) — через Яз. Тогда Я = (Я 0 Яь 0 Яз () Вз)ИЯь 0 Яз) О % 0 уз)). Но так как Гк(х~ + Ь, хз + Ь) = Р(Х е Я 0 5~ 0 Вз 0 Яз), Гк(хп ха+ Ь) = Р(Х и Я) 0 Яз), Ех(х] + Ь, хз) = Р(Х е Я~ 0 Яз), Ех(хп хз) = Р(Х н Я~) = Р(Х н ((Яь () ~) г1 (Яь () Яз)). .у ф р 1 Р(АОВ) =Р(А)+Р(В) — Р(АПВ) мыполучаем, что искомая в~р~~т~~~~~ Р(Х н Я) равна Р(Х е Я) = Р(х~ < Х~ < х~ + Л, хз < Хз < ха + Ь) = рк(х~ + Ь, хз + Ь) — Гк(хь хз + Ь) — гк(х1+ Ь, хз) + Гк(х1, хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
