В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из соотношения (11.1.1) вытекает, что если случайный вектор Х = 1.11. Многамерные сеучайиые ееаичины 98 = (Хп Хз) непрерывен, то Р(Х н Я) = Р(х1 < Х1 < х1 + Ь, хз < Хз < хз + д,) = Ь~у (х1, хз) + 6(Аз), где 6(х) не~кУгорая функпия, обладающая сюйством 6(х) )пп — = О. х-+О х Таким образом, при малых Ь можно записать РД н Я) я~ Ь~,~(х1, хз). (11.1.2) Но правая часть соотношения (11.1.2) равна объему параллелепипеда, основанием жпорого является квадрат Я, а высота равна 1(хпхз).
В трехмерном пространстве рассмотрим ьшожество всех точек (хп хз, хз), удовлетворяющих соотношению хз = .1(х1.хз). Таюе множество задает поверхность, юторая по аналогии с одномерныи случаем называется графиком функции 1 (хп хз). Пусть теперь А — неюторое множеспю на плосюсти хз Охз. Предпаложвм, что множестве А можно представить в виде объединения одннаювых квадратиюв Ф>, стороны юторых параллельны юординатным осям и равны малому чис. лу йс А=~ ~Ф), 1 причем площадь фигуры, получающейся прн пересечении любых из этю квадратиюв, равна нулю. В таком случае множество А называется хлад. рируеиым. Пус~ь (х1, хз ) — координаты одной нз вершин квадратню р) р) Ф>.
Так как пересечение квадратиюв Хй1 имеет нулевую площадь, то 1 соответствии с формулой (11.1.2) Р(Х Е А) = ~~~ Р(Х Е ЯЕ~) т Я А ~(х1О, хт ). 1.11. йГивгаицвиыв виучайиыв вваичииы Но при стремлении Ь к нулю последняя сумма стремится к объему тела, ограниченного "снизу" множествам А на плосюсти х1 Охз, "сверху"— графиюм функции 1(хм хз), а "с боюв" — поверхностью, содержащей все прямые, перпеншшулярные плоскости х1 Охз н проведенные через все тачки границы множества А. По анаюгнн с одномерной ситуацией объем таюго тела называется интегралом функции ~(х1, хз) ио множеству А и обозначается символом ~(хм хз) в(х1 йхз.
Таким образом, для непрерывного случайного вектора Х = (Хп Хз) мы можем записать Р(Х н А) = У(хь хз) в(х1 Ихз. л Пусть М вЂ” неюторое положительное число и А = А(Я) = ((хп хз): !х1! < М, !хз! < М). Под юггегралом фуизл~ии 1 (х1, х2) по всей плоскости Й вЂ” х10х2 мы будем понимать предел я(я) Прн этом, очевидно, у (хп хз) ох1Ыхз = Ьш РОХ1! < М, !ХЫ < 1г) = Р(Х н ы~) = 1. Если зафиксировать каюе-либо значение хп а переменной хз при этом разрешить пробегать все свои возможные значения, то из функции двух переменных ~(х1, хз) мы получим функциш одной переменной, юторузо мы обозначим яв1(хз), я„,(хз) = ~(х1, хз). Аргументом этой функции ется х2, а х1 прн этом можно считать парамеЧ'о - — — — й ! м.
ФУшщш (х2) неотрицательна, стало быль, мы можем рассмотреть ее (одномерный) интеграл (значение которого, очевидно, зависит ат х1). Другими словами, интеграл функции я„, (х2) по их2 сам является функцией от х1. 00 гм йл (х2) лх2 = )пп / йк1(х2) ох2 =- л1(х1).
'~> -л Функция Ь1(х1), очевидно, неотрицательна, и мы, в свою очередь, можем рассмотреть ее интеграл. При этом, в силу того, что у (х1, хз) — плотность, принимая во внимание равенство ях1(х2) = Г" (х1, хз), для любого А > О мы получим Для произвольных А > О и Ю > О обозначим Я(А, Ю) = [(х1, х2): ]х1~ < А, ~х2~ < Я). Тоща, исходя нз геометрического определения двумерного интеграла кал объема некоего тела, продолжая начатую выше цепочку соотношений, мы л Ь1(х1)Их1 = Ьш 1 (х1, х2)Их2 Ихг — Иш г (х1, х2) лх1 Ихз з(л,л) = Иш Р(Х н Я(А, Я)) = йш Р(!Х1~ < А, ~Х2~ < Ю) = Р(~Х1! < А, — оо < Х2 < оо) = РЦХ1~ < А).
1.П. Многеиерние случайные еелмчиии Таким образом, функция А1(Х1) является плотностью вероятностей случайной величины Х1. Аналогично можно убеднзъся, что функция йз(Х2) = Г (х1, х2) ЫХ1 является плотностью вероятностей случайной величины Хз.
Таким образом, если известна совместная функция распределения Рх,х (хь хз) Случайного вектора Х = (Хь Х2), то для того, чтобы найти функцию распределения одной нз юмпонент зтого вектора, скажем, Хь следует аргумент, соответствующий другой компоненте (в данном случае зто х2)ю полоизггь Рав11ьпе +со' рх,(х1) = рх,,х,(хь+оо). Аналогично, рХ,(Х2) = рХ, Хз(+Ос, Хз). Если же известна совместнал плотносгь ве(ймтностей Ухьхз(хь х2) слУ- чайного вектора Х = (Хь Х2), то для того, чтобы найти пвотность распределения одной из юмнонент зтого вектора, скажем, Хь следует проинтегрировать совместную плотносп по аргументу, соответствующему другой юмпоненте (в данном случае зто хз), от -оо до +со: Ух~(х1) = 1хьхз(х1, х2) ах2. Аналогично, ~хз(хз) = Ххьхз(хь хз) ах1.
По отношению к двумерному распределенню непрерывного случайного вектора (Х1, Х2) обе плотности Ух, (х) и ~х, (х) нкзывакпся маргинальными нлониюсн1ями. Они определяют маргинальные распределения юмпонент этого вектора: плотносп 2"-х,(х) задает распределение юмпоненты Х1 в то время как плотность Ух,(х) задает распределение юмпоненты Х2.
102 1.11. Млогалерлые саучаллыл величины Вектор, составленный нз математических ожиданий случайных величин Хь Хз,..., Хл, называется математическим ожиданием случайного вектора Х = (Хь Хъ Хл): ЕХ = (ЕХь ЕХ2, ..., ЕХл). Для случайного вектора Х = (Хь..., Х„) составим таблицу из л строк и л столбцов по следующему правилу. В клетку этой таблицы, стоялГую на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, поставим число са1, равное ковариации случайных величин Х; и Х".
с;, = сои(Хь Х ) = Е(Х1Х ) — ЕХ~ ЕХ.. Так как, очевидно, сои(Хь Х1) = сои(Х1, Х1), то с; 1 = с гь При этом с;,; = ЕХ2 — (ЕХ1)2 = 0Хь Такая таблица называется ковариациокной митри ней случайного вектора Х = (Хь..., Хл). Рассмотрим поподробнее ситуацию, в юторой юмпонеиты случайного вектора Х = (Хь..., Х„) независимы в совокупности. В таюм случае все элементы ювариационной матрицы, стоящие вне диагонали указанной выше таблицы, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний ее угол (зта диагональ называется главной), равны нулю. В таюм случае юваривционная матрица называется диагональной.
Эту же структуру ювариацнонная матрица, очевидно, сохраняет и в более общих ситуациях, когда компоненты случайного вектора Х = (Хь..., Хл) попарно независимы или просто неюррелированы. Бели юмпоненты случайного вектора Х = (Хь..., Хл) независимы в совокупности, то совместная функция распределения такого случайного вектора равна произведению одномерных функций распределения его юмпонент: Рхь ..х„(хь..., хл) = Р(Х1 < кь..., Хл < кл) = Р(Х1 < х1).... Р(Хл < Хл) = РХ,(Х1) ... ° РХ„(кл). Аналогично, в таюй ситуации совместная плотность случайного вектора Х = (Хь..., Хл) равна произведению одномерных плотностей его измпонент: ХХ,,...,Х„(КЬ".,Кл) = ХХ,(К1) " УХ„(хл). 1.П. Формулы сверили 1.12.
Формулы свертки Рассмотрим случайный вектор Х = (Х, Т). Нашей целью в данном разделе будет изучение распределения суммы Х + Т его компонент. Предположим вначале, что случайные величины Х и Т дискретны и принимают соответственно значения хо, хы хз,... и уо, уы уг,..., причем Р(Х = хп Т = уу) = рау. 1. 1 = О 1 2 При этом так как события (Х = хп Т = у ), 1, у = О, 1, 2,... не пересе- каются то Р(Х = ху) = Р ~ )(Х = хп Т = у ) ! = ~ Р(Х = х;, Т = у)) = ~ р~ 1 ш рь.
Аналогично, Р(Т = у)) = Р ( )(Х = х;, Т = у1) 8 ж ~~~ Р(Х ахи Т = у1) = ~» ра> ю р.). Так как ,'»" р;,; =1, а! ч~ рь = ~'р.у = 1, то есть как набор чисел (рь); и так и набор чисел (р. ) нт являются дискретными распределениями вероатностей. По отношению к двумерному распределению дискретного случайного вектора (Х, Т) оба указанных выше набора чисел называются лиргинальными раслредехемиямв. Они определяют распределения компонент этого вектора: набор (рьЬ>~ 1.12. Фаумулм еее)заки — зто распределение юмпопевты Х в то время как набор (р.у)1 ) — зто распределение юмпоиенты У. Для произвольного числа х мы имеем Р(Х + У < х) = Р Ц (Х = хо У = у)) Ц: и+у)<к Р(Х = х;, У = у.).
Ц:ч+п<е Пусть далее, х) = (, уу = ) при всех (, ) = О, 1, 2, .... Тогда возмово(ые значения х) + у суммы Х + У составляют множество целых неотрица- тельных чисел, причем для любого целого л ) О Р(Х+г =л) = ~~) Р(Х=(,У= )) и:)+)=к 00 СЮ Р(Х =(, г =л — () = ~р;„о (-с (=0 (12.1.1) Если при этом случайные величины Х и У независимы, то для любых ( иу РЬ) = Рьр.у'. Позтому в ситуации, югда случайные величины Х и У независимы, формула (12.1. 1) принимает вид Р(Х+ Г = л) = ~~) рьр.(,;). (12.1.2) Рх+г(г) = Ух,г(х у)охе(у Соотношение (12.1.2) называется формулой свертки последовательностей (Рьл>о и (Р.у)1>е. Теперь предположим, что случайный вектор Х = (Х, у) непрерывен и имеет совместную плотность ~х,г(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
