В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Башелье построил основы теории вычисления так называемой рациональной или справедливой цены некоторых ценных бумаг, связанных с акциями. Ключевым принципом в этой теории является нормальносп . распределения приращений биржевых цен. Более того, за большой вклад в развитие теории Башелье в 1997 г. Нобелевская премия в области экономики была присуждена М. Шоулзу и Р. Мертону, чьи работы были осповалы опять-таки на уже упоминавшемся принципе нормальности.
Эта теория широко признана и активно используется, хотя уже с 1915 г. многие исследователи обратили внимание на то, что реальное распределение приращений биржевых цен довольно далеко от нормального, имея более острую вершину и более тяжелые хвосты. Ясно, что, зная хвосты зтих распределений, можно точно оцешпь вероатности больших изменений биржевых цен (которые на самом деле больше тех, которые соответствуют нормальному закону), а значит, более аккуратно построить стратеппо биржевых игр и, следовательно, больше выиграть. При зтом разработки аналитических отделов финансовых компаний представшпот собой секреты, хранимые в большей тайне от конкурентов, нежели знаменитые секреты атомной бомбы. Наблюдается интересная ситуация: "официально", для того чтобы по возможности ввести конкурентов в заблуждение, признается принцип нормальности, в то время как на самом деле финансовые расчеты, связанные с биржевыми играми, ведутся на совсем других основаниях.
Центральная предельная теорема — зто собирательный термин, при-, менямый к любому конкретному утверждению об асимптотической нормальности сумм случайных веяичин. Каждое из таких угвержд<жий применяется к конкретной структурной модели. Например, в качестве математических моделей некоторых обьектов могут выступать суммы как неслучайного, так и случайного числа слагаемых. Предельное поведь 1.д 4ентральнав предвльнал теорема ние сумм случайного числа слагаемых намного многообразнее, чем то, которое описывается приведенной выше центральной предельной теоремой. В частности, вместо нормального, случайные суммы одинаково распределенных независимых слагаемых с конечными дисперсиями могут в качестве предельного иметь распределение Коши.
Фактически суммы неслучайного и случайного числа слагаемых являются разными структурными моделями. Более того, каждое из утверждений типа центральной предельной теоремы справедливо при определенных условиях. Например, по стандартным курсам теории вероятностей наиболее хорошо известен вариант центральной предельной теоремы, в ютором рассматриваются сгюахасгнически независимые одинаково распределенные слагаемые с конечным вторым моментам.
Именно зтот вариант был сформулирован вьппе. Если основываться на таюм утверждении, то по крайней мере надо допускать, что в реальной ситуации. слагаемые действительно независимы, действительно одинаково распределены и действительно имеют конечную дисперсию. Если же достаточных оснований для таких допущений или возможности для проверки выполнения зтих условий нет, то увы, ссылки на центральную предельную теорему могут бьйь несоспательнымн. С нормальным распределением связано так называемое правило трек сигм.
Это "правило'* заключается в том, что если случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией оз, то Р(~Х вЂ” а! < Зо') с" 0,997 (другими словами, нормально распределенная случайная величина может отклониться от своего среднего значения более чем на три средне- квадратических отклонения с вероятностью примерно равной 0,003). В справедливости зтого утверждения легю убедиться, заметив, что Р ЦХ вЂ” а~ < Зо') = 2Ф(3) — 1, и отыскав значение Ф(3) в специальных таблицах. Реально "правило трех сигм" означает, что практически всегда а — Зо < Х < а + Зо. К сожалению, "правилу трех сигм" довольно часто придают некий универсальный смысл, забывая о том, что оно справедливо только длл нормально распределенных случайных величин.
Если же нет оснований однозначно считать распределение случайной величины Х нормальным, то все, что 1.10. Равномерное раанрвдвн ение. Занан Бвнфорда 88 можно сказать, зто то, что 8 Р(~Х вЂ” а! < Зп) > — - 0,889 9 (в зтом легю убеднться с помощью неравенства Чебышева). Другими словами, интервал 1а- Зо, а+ Зо) может не накрыть значение случайной велнчнвы Х в среднем менее чем примерно в одиннадцати случаях нз 1.10.
Равномерное распределение. Закон Бенфорда Равномерное распределение выступает в качестве математнчесюй моделн макснмально неопределенной стохастнчесюй снтуацнн. Рассмотрим стонастнческую ситуацию с и возможными элементарнымн исходами ац, ..., а~. Предположнм, что зтн исходы равноверояпаы: 1 р(( « = ... = Р(( « = -. и 1 11,д1(х) —, если х н ~а, Ь), ~(х) = ' = Ь вЂ” о О, если х ф (а, Ь). Из этого определения, в частностн, видно, что равномерное распределение не может быть задано на бесюнечном ннтервале.
Волн случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке 1о, Ь), то ее функция распределения Гх(х) имеет внд О, х — а Ь вЂ” а 1, если х < а, еслно <х < Ь, если х > Ь. Ех(х) = В таюм случае говорат, что задано дискретное равномерное роспределепие вероятностей.
Непрерывное равномерное распределение вероятностей на неютором отрезке 1о, Ь] задается с помощью плотности, имеющей внд 89 1.10. Роеномериое раенределениа Зонин Беифордо При этом Го хИх 1 /а+Ь ~ а+Ь ЕХ=! = — ~ (Ь вЂ” а)~ = —, / Ь вЂ” а Ь вЂ” а1, 2 / 2 (Ь -а)з 12 Прими' 10.1.1. Пусть Х вЂ” случайная величина, функция распределения Гх(х) юторой строго монотонна (напомним, что функция г(х) называется строго монотонной, если для любых х и у таких, что х < у, выполнено неравенство Г(х) < г" (у)).
Построим новую случайную величину у, положив У = гх(Х). Найдем функцию распределения случайной величины Г. Во-первых, заметим, что 0 < у < 1, поскольку любая функция распределения принимает значения между нулем и единицей. Во-вторыл, заметим, что поскольку по условию функция рх(х) строго монотонна, определенаобратная функция Гл (у), ставицая каждому числу у н ((й 1) в соответствие решение уравнения Гх(х) = у.
Более того, ошпъ-таки, в силу строгой монотонности функции Гх(х) события (ю: Рх(Х(ш)) < х) и (ш: Х(ю) < г„~(х)) оказываются эквивалензиыми. Поэтому прн х н [О, Ц нег(х) = Р(У < х) = Р(Гх(Х) < х) = Р(Х < Р 1(х)) = Гх(р'» (х)) х Таким образом, О, солих <О, Гх(х) = х, еслиО<х <1, 1, если х > 1, что соответствует равномерному распределению на отрезке [О, Ц с плотносп ю 1х(х) =11о,ц(х). Л10. Равномерное роенреоеленое. Занан Бенрорда Прими' 10.1.2.
Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [О, Ц, Г(х) — произвольная строго монотонная функция распределения. Как мы видели в предыдущем примере, в таком случае определена обратная функция Г 1(х). Построим новую случайную величину У, положив У = Г ~(Х). Найдем функцию распределения Гг(х) случайнсй величины У.
Имеем Гг(х) = Р(У < х) = Р(Г 1(Х) < х) = Р(Х < Г(х)) = Гх(Г(х)) яа Г(х). Как известно, в любой современной системе программирования имеются стандартные процедуры, генерирующие так называемые псевдослучайные числа. Такие псевдослучайные числа можно считать независимыми реализациями случайных величин, имеющих равномерное распределение на отрезке [О, Ц. В то же время может возникнуть потребность в имитировании не равномерно распределенных случайных величин, а случайных величин, имеющих заданную функцию распределения. Приведенные выше рассуждения показывают, как это можно сделать. В частности, случайная величина У, построенная из равномерно на [О, Ц распределенной случайной величины Х с помощью преобразования 1 У = — -1ойХ, Л где Л вЂ” некоторое положительное число, будет иметь показательное распределение с плотностью Д(х) = Ле "* и функцией распределения Гг(х) = 1 — е ~ (х ) 0).
Пример 10.1.3. Равномерное раслределение на окружности. В примере 5.2.1 мы уже встречались с дискретным равномерным распределением, сосредоточенным в равноотстоящих точках охружности. Рассмотрим непрерывный аналог таюго распределения. Свернем отрезок [О, Ц в окружность единичной длины. Будем говорить, что случайно выбираемая точка на окружности имеет равномерное распределение, если вероятность ее попадания в любую дугу окружности равна длине этой дуги. Такое распределение должно иметь место при игре в рулетку. Однаю чтобы это 1.1П Равномерное расиределвниа Закон Бенфорда 9! Х = [Х)+(Х), где [Х) — число полных оборотов колеса рулетки, повернувшегося на угол Х, а (Х) = Х вЂ” [Х). Так как длина окружности считается равной единице, то, очевидно, 0 с (Х) ( 1.
Величина (Х) называется дробной частью величины Х, а [Х) называется целой частью. Можно показать (см., например (Фолдер, 1984), т.2, с. 79), что для х н [О, Ц плотносп у(х) случайной величины (Х) имеет внд г"(х) = ~~[ 7х(х+л) = )пп ~~~ ~х(х+л) (10.1.1) а=-со а -л и У(х) = 0 для х 11 [О, Ц. Оказывается, что для того, чтобы плотность ,г" (х) была "примерно равномерной*', нужно, чтобы плотность гх(х) исходной случайной велнчища Х имела малый максимум, то есть чтобы распределение случайной величины Х было "сильно размазано" по положительной полуоси. А именно, пусть максимум плотности ух(х) равен, скажем, т н достигается, скажем, в точке х = а, причем прн х с а функции ух(х) возрастает, а прн х ) а — убывает. Тогда можно показать, [г(х) — Ц ( ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
