В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В таком случае функция распределения Гх+г(г) = Р(Х + У ~ г) суммы Х+ У его юмпоневт имеет вид 105 1.1Х Формулы свврмкв Более того, посюльку ((Х, У): Х + У < Х) = ((Х, У): — 00 < Х < 00, У < Х вЂ” Х), для последнего интеграла справедливо равенспю Кл,у): л+у«л) Предположим теперь дополнительно, что случайные величины Х и Т независимы. В таюм случае ух,г(х, у) = Ух(х) 1г(у).
Поэтому пРиведенная вьппе формула примет вид в во l вл-л Гвв РХ+Г(Х) — 1Х(х),УГ(У)аУ ах = РГ(Х вЂ” Х)УХ(х) йх. (12.1.3) Посюльку в приведенных выше рассуждениях случайные величины Х н У абсолютно равноправны, мы точно так же получаем н формулу р (е) рх(х у) УГ(у) ау (12.1.4) Соотношения (12.1.3) н (12.1.4) называют формулами свертки для функций распределения Исходя нз геометрических построений, лелю убеднться, что для любого числа Ь > О < 1л Ь1 х <Х <х+ —,у — х < Г <у — х+— 2' 21 с (х < Х < х+ Ь, у < Х+ У < у+ Ь) С (х < Х < х + 2Ь, у — х — 1л < У < у — х + Ь). Поэтому, с одной стороны, нз определенна (11.1.1) вытекает, что Р(х < Х < х + Ь, у < Х+ г < у + 1л) 4 Ь Ь'1 > йш — Р(х < Х <х+ —,у-х < л' < у — х+— Ь-+О Ь 2' = ~'х г(х, у — х), 1.И.
Формулы свороым 106 а с другой стороны, из того же соотношения (11.1.1) мы получим Р(х < Х < х+ Д, у < Х+ Г < у+ Д) йш а 0 дз Р(х < Х < х+ 2Д, у — х — Д < Г < у — х+ Д) < Иш 4дз а-+0 = гх т(х, у — х). (12.1.6) Из неравенств (12.1.5) и (12.1.6) вытекает, что Р(х < Х < х+ Д,у < Х+ У < у+ Д) Еш — Ух,т((,У- ). а 0 дз Но в силу определения (11.1.1) последнее соотношение означает, что совместная плотность случайных величин Х и Х + У выражается через совместную плотносп случайных величин Х и У как Ух,х+т(».У) = Ухт(» У вЂ” «) (12.1.7) Таким образом, чтобы теперь найти плотность суммы Х+ у, нам надо проинтегрировать совместную плотность ух ».1.т(х, у) по Их, откуда мы получаем 1х+т(у) = Ух,х+т(х, у) ~(х = Ух,т(х, у — х) в(х. Если при зтом случайные величины Х и У независимы, то из последнего соотношения мы получаем форь1улу (12.1.8) от,т(у) = ут(у — х) ух(х) Йх.
Поскольку в приведенных выше рассуждениях случайные величины Х н 1 У абсолютно равноправны, мы точно так же получаем и формулу Ух+т(х) = Ух(х — у)Л (у) ду. (12.1.9) Соотношения (1 2.1.8) и (12.1.9) называются 4ормулами свертки для ллот- ностей. 1. 12. Формулы оеервяи 107 Примят 12.1.1. Пусть Х и à — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное распределение с параметром А. Тогда (О, у~О, Ае "( у), у<», Ух(» — У) = О, у>х. Поэтому при х > О мы имеем ух+у(х) = / ух(х — у)уг(у)оу = / ух(х — у)Б(у) зу л-оо ~о 7„2е-л1 -у)е ху,(у 12е лл 1,(у »22е-»л Уо ./о д а1р и ельн кхфу книлУх+г(х)1 в Лю уоо 1 1 ( )21 Ух+у(х) = „~ екр -оо ~Ыа1 2а1 екр — — + — —— 2 1а2- ~ 21 а1 21 2аз 22 22 аз азх азу 1 — — + — + — (у 2а2 а2 а2 ~ 2 2 2 ехр — — — — ' — — + 2л;а1аз 2аз 2а2 2а2 а2 2 х екр У2 †' + †' у '1 + '2 + х ,( Пгимнр 12.1.2„Пусть Х и У вЂ” независимые случайные величавы, имеющие нормальные распределениа с параметрами ап о1 и аз, аз~ соответственно.
Тогда по формуле (12.1.9), использул обозначение екр(2) = е*, мы получим 108 1. 13. Усамаые расщмделееи 1 а'а' ~ х' а' а' а х 1 2 ~ 1 2 2 2ЕХР 2 2 2+ 2 ~/2~га1С~ о1 + о'2 1 2аз 2а, 2аз а2 '+ ' 2('+ат) а'+ ' О.;:! а1 + а2 2а1а2 + а1 (2а2+х) 2о.заз 1, 2(,гз+о.з) 1 (х — (а1 + аз))2 ~ 2 2 2н(аз+аз) 1 2(о1 +аз) поскольку интеграл в предпоследней строке, как несложно видеть, равен единице, так как подынтегральная функция является плотностью нормального распределения с параметрами 2а1аз + о"1 (2а2 + х) 2 а1 а2 а иа 2(аз + па) а2 + а2' Таким образом, распределение суммы независимых нормально распределюных случайных величин снова оказывается нормальным, причем параметры нормального распределения суммы оказываютса равными суммам соответствующих параметров нормальных распределений слагаемых.
1.13. Условные распределения В зтом разделе мы снова будем иметь дело с двумерными случайными векторами Х = (Х, у). 1.13.1. Дискретные условные распределения Сначала предположим, что и компонента Х, и юмпонента К дискрепны. Возможные значения юмпоненты Х обозначим «1, х2,.... Возможные 1.13.1. Деслуеюнме усзоеиие маюемаюечеснее аюидаюи 109 значения компоненты У обозначим уз, уз,....
Такие обозначим р;1=Р(Х =хну =у1), 1,1=1„2,.... Здесь р;,1 — зто безусловная (априорная) вероатносп того, что одновременно будут наблюдаться значения х; компоненты Х и у компоненты У. Найдем условную (апостериорную) вероатность того, что компонента Х примет значение хп если известно, что значение компоненты У рвано у . По определению условной вероятности мы имеем Р(Х=х,чУ= у1) ра) ц) Р(Х = х!! У = у))— — — а.
Р(У = у1) р.1 (мы используем введенное в предыдущем разделе обозначение р 1 = ~, ра1 = Р(У = у1)) 8 Просуммировав вероятности е,'1~ по всем ( мы получим Р1 Р1 ; Р1 Таким обриюм, при каждом 1 ) 1, набор чисел 0) 01 , ай задает дискретное распределение вероятностей. Это распределение называется условным раснределением случайной величины Х при условии Г= У1.
1.13.2. Дискретные условные математические Ожидании Число Е(Х ! У = уу) = ~х;~1~~1 по 1.13. Условные уеснуедеаеиее называется условным математическим ожиданием случайной величины Х нри условии У = у . Если множество значений случайной величины Х бесюнечно, то для существования условного математичесюго ожидания зтой случайной величины при условии У = у необходимо и достаточно, чтобы "~ ~х;!д, с со.
1 Если указанное условие выполнено, то определена дискретная случайная величина Е(Х ~ У), юторая принимает значения Е(Х ~ У=уз), Е(Х ~ У:уз)... сооп ен осверо ос я ирч =Р(у=у1),ра =Р(У=)ч) " Р(Е(Х ~ У) = Е(Х ! У = у))) = Р(У = уу) т р.~, )' ~ 1. Определенная таким образом случайная величина Е(Х ~ У) называется условным математическим ожиданием случайной величины Х относителано случаюет" величины У. Как н обычное математнчесюе ожидание, условное математическое ожидание обладает свойством лиит1иости: если Х = аХ1 + рХз, зде и и р' — числа, а Хз и Хз — случайные величины, то Е(Х ! У) = аЕ(Х ! У) + ФЕ(Хз! У). Математичесюе ожидание условного математнчесюго ожидания равно "безусловному" математичесюму ожиданию: ЕЕ(Х ~ У) = ~ р..
~х;й~~) = ~~~ ху ~~~ рой~(л / 1 1 / = ~~Г, хю ~~Г р.~ — '~ = ~ к~а = ~~~, к~Р(Х = х.) = ЕХ. 1 1 р) 1 $ Пгими' 13.2.1. В разделе 1.7 мы рассматривали задачу о риске лейкемии в двух городах. При ее решении мы установили, что если Х1 и Хз — две независимые случайные величины, нмеющие распределение Пуассона с параметрами соответственно А1 и Хз, то условное распределение 1. 13.3. Усвоение елотнее(лн случайной величины Х! при условии Х1+Х2 = л является бнномнальным с параметрами л н р = Л1/(Л! + Л2). Следовательно, условное математическое ожидание случайной величины Х! лри условии Х1 + Х2 = л имеет внд лЛ! Е(Х1 ! Х! + Х2 = л) = Л1+ Л2 Но, как мы выяснили прн решении той же задачи, случайная величина у = Х1+Х2 имеет распределение Пуассона с параметром Л1+Л2. Позтому условное математическое ожидание Е(Х! ! Х1+ Х2) случайной величины Х! относительно случайной величины Х1+Хз — зто случайная величина, распределение которой задается соотношением Р Е(Х! ! Х1+Х2) = ) =ехр(Л1+Л2) лЛ! (Л1 + Лз)" Л1+ Л2 л! л =0„1,2...
Отсюда легю видеть, что в рассматриваемом случае е(х ( х (- х ( = Л1(Х1+ Хз) Л1+Л2 1.13.3. УЕЛЕВНЫЕ ПдотНЕСтзз Теперь перейдем к рассмотрению ситуации, в юторой случайный вектор Х = (Х, У) имеет непрерывное распределение, задаваемое совместной плотносп ю ух г(х, у). В втой ситуации, как мы убедились вьппе, плотносп уг(у) случайной величины у можно выразить в виде интЕграла от совместной плотности: Я (у) = ух,г(х, у) Их. К сожалению, в таком случае нельзя непосредственно выписать условную вероятность немпорого события Х < х при условии У = у, какими бы нн были х н у, поскольку прн формальном подходе, основанном на определенни условной вероятности, мы получим неопределенность вида Р((Х < х) П (У = у)) 0 Р(Х<х!У=у) Р(У = у) 1.13. Условные расвределеиал 112 Чтобы обойти зто препятствие, зафиксируем произвольное положитель- ное число е и рассмотрим условную вероятносп* события (Х < х) при условии у < У < у+ е. Мы получим Р(Х < х, у < Г < у+ е) Р(Х < х ! у < Г < у + е) = Р(у < у < у+ е) Ев1л.т) (13.3.1) в+в Л (т)е(х У где Я,(х, у) = Нх1, хз): — оо < х1 < х, у < хз < у+ е).
При этом из определения плотности вытекает, что у+в Ыг)И = ей(у)+Ю(е), У (13.3.2) где б(е) — некоторая функция, обладающая свойством (пп — = О 8(е) о е (13.3.3) (в этом легю убедип си, отталкиваясь' от геометрической интерпретации интеграла как площади некоей криволинейной трапеции). Аналогично, ~х,г(х1, хз) е(х1 в(хз = е! Ул,г(х1, у) Их1+ В~(е), (13.3.4) Яв(л,у) Р(Х < х ~ У = у) = )йп Р(Х < х 1 у < У < у + е), вяо где Ю'(е) — неизторая функция, обладающая свойством (13.3.3), Таким образом, если мы, желая избавиться от описанной выше не-" определенности, под условной вероятноспю Р(Х < х ! У = у) будем понимап предел 1.13.Я. Уаюииме вютиоиию то на основании соотношений (13.3.1К13.3.4) мы получим Р(Х < х 1 У = у) = Иш Р(Х < х ! у < Г < у + г) и~о ух,т(х1, хз) ох1 охз З~(и,у) Л (х) й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
