В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ЗлдлчА 4.1.2. Предположим, что некий человек на перемещение из точки а в точку Ь заграчнвжт усилия, равные ~Ь вЂ” а~. Это означает, что его затраты на перемещение пропорциональны длине пути. Скажем, мы рассматриваем делового человека, для которого фактор времени имеет решающее значение и который может перемещаться в любую точку с постоянной скоростью. Пусть Х вЂ” случайная величина, характеризующая 1.4.1. Харатнернетннн центра енучайнтн еелнчнн 43 координату точки, куда необходимо перемеспггься этому человеку Спра- шивается: где должен жить этот человек, чтобы минимизировать свои ожидаемые усилии, связанные с перемещениями? Сведем решение этой задачи к доказательству неравенства Е)Х вЂ” шейХ! < Е!Х вЂ” И), (4.1.3) справедливого для любого числа И.
Это будет озлачать, что решением задачи является медиана случайной величипы Х. Сначала рассмотрим случай И > щей Х. Тогда !Х вЂ” Ы~ — )Х вЂ” шей Х[ = шейХ вЂ” Й при Х и [И, оо), д+ шей Х вЂ” 2Х при Х и (шей Х, Ы), Й вЂ” шейХ при Х е, (-00, шейх). Так как е(+ шей Х вЂ” 2Х > шей Х вЂ” И при шей Х < Х < е(, то Е!Х -4 — Е[Х вЂ” шейХ! = Е[~Х вЂ” 4 — !Х вЂ” шейХП > (шей Х вЂ” Й) Е114,ен1(Х) + (шей Х вЂ” И) Е1(нна Х„О(Х) + (Й вЂ” шей Х) Е1(-еч,нна х1(Х) = (шейХ-Й)Р(Х > Й)+(шейХ-е()Р(шейХ < Х < Й) + (Й вЂ” шей Х) Р(Х < шей Х) = (Ы вЂ” шей Х) [Р(Х < шей Х) — Р(Х > щей Х)] ~ О.
Последнее перавепспю вытекает из определения медианы. Но зто и означает справедливосп (4.1.3) для случая И > шейХ. Случай И < шейХ рассматривается аналогично. Таким образом, медиана характерпзует целтр раснределелия случайной величины Х (определяет центр населенного пулхта в терминах Задачи 4.1.2) в смысле фуякцил потерь, имеющей вид абсолютной велпчвпы. В отличие от математического акидания, медиана всегда определена, но пе всегда единственна. Повелим сказанное ла пркмере случайной величины Х, принимающей значения О л 1 с равными вероягностями. Тогда, как легко видеть, определению медианы удовлетворяет любая точка отрезка [О, Ц (вилочка концы).
В то же время, очевидно, ЕХ = ~~. 1.4. Числовые ларактерестееи случайны«ееличнн Опендллниин 4.1.3. Модой нвнрерывной случайной величины Х, име. ющей плотность распределения г'(х), называется число шой Х, удовлет. воряющее условию ,г"(х) < У(шойХ) Другими словами, мода непрерывной случайной величины Х вЂ” зтс такм точка, в юторой плотность распределении случайной величины Х приниммт наиболыпее значение. Опенднлннин '4.1.4.
Модой дискретной случайной величины Х, принимающей значения хь хэ,..., называетсл такое ее значение хг„которое удовлепюряет условию Р(Х = хе) < Р(Х =«г,) для любого к = 1, 2, . Из этих определений вытекает, что моду случайной величины Х можно интерпретировать как наиболее вероятное ее значение. Каждм из введенных вьппе числовых характеристик — математичесюе ожидание, медиана и мода — описывает "центральную" тенденцщо в поведенни случайной величины. Однаю эти характеристики совсем не обязаны совпадать. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующую весыва поучительную задачу.
ЗАдАчА 4.13. Предположим, что вероятность того, что среднегодовой доход наугад выбранного жителя некоторой страны превосходит уровень х, равна а', где а — неюторое число, 0 < а < 1. Другими словами, доля индивидуумов, чей среднегодовой доход превосходит уровень х, во всем населении страны, составляет а" 100%. Каюэв средний доход жителей этой страпыу Эта ивжущеися очень простой задача весьма знакома. Однако на самая деле эта задачн не является тривиальной, но все затруднения не пшпотся магвэвпяческимл, Главная особенносп связана с интерпретацией понятия среднего дохода. Пусть Х вЂ” случайная величина, раним среднегодовому доходу наугад выбранного жителя. Тогда Р(х) = Р(Х < х) = 1 — а .
Такая функция 45 распределения соответствует непрерывной случайной величине с плотностью вероятностей у(х) = С а", ще число С ) О определяется из условия у'(х) Их = С / а'*Их = 1 о го (см. соотношение 3.2.1), то есп С= 1 а пх Можно показать, что С = И 1, где И вЂ” зто так называемый натуральный логарифм (логарифм по основанию е, см.
ниже). Тогда гОО ЕХ = С / ха"Нх = —. А Медиана случайной величины Х находится как решение уравнения 1- а' = ~~ н оказываетсл равной пик1Х =1ой ~й. В то же время, мода случайной величины Х, то есп та точка, в юторой плотность у (х) = С а' максимальна, равна нулю, то есп, шобХ = О. Пусть, к примеру, а = л. Тогда 1 ЕХ т 1,4427, шеб Х = 1, шоб Х = О. Таким образом, если мы по какой-либо причине желаем приукрасить ситуацию (скажем, мы готовим отчет правительства перед парламентом), но ле хотим лодтасовывать донные, то, юнечно же, мы будем характеризовать средний доход как математичесюе ожидание, юторое в данном случае почти в полтора раза (а зто весьма существенно!) превосходит медиану.
Бели же мы хотим дать более пессимиспгческнй ответ (свяжем, готовя аналитическую записку для умеренной оппозиции в парламенте), то мы будем характеризовать средний доход как медиану. Ну а если мы, 1.4. Чесеоеые еертоееристыки сеучаяиых еееечее к прямеру, представляем ультрарадикальиую оппозицяю, то яа митяягах мы будем, опять-таки, не лсдвассеыеаз данные, говорить о среднем доходе, имея в виду моду случайной величины Х. Анализируя решение приведенной выше задачи, следует иметь в виду следующее обстоятельство.
В определении математичесюго ожидаииз в равной степени учитываются как верозтяости значений случайяой величавы, так и сами значелиз. Поэтому наличие одного-двух мультимиллиардеров довольяо заметио повьппает средний доход граждан страны, характеризуемый математическим ожиданием. В определении же медиавы, грубо говоря, величина больших значений рассматриваемой характеристики яе играет большой роли. Важно лишь вх юличество. Поэтому наличие яесюльких мультвмиллиардеров практически яе влияет яа средяий доход граждан страны, характеризуемый медианой.
1.4.2. Характеристики разброса случайных величин Наряду с характерисппвй "цевтра" распределения верозтяостей случайяой величины, определенную информацию об этом распределении несет параметр, харалтеризующяй степеяь разброса возможяых значений случайной величавы вокруг "центрального" зиачеииз. Как и "цепгр", разброс могут опясывагь различвые характеристики. Опрдцллвнни 4.2.1.
Дислерсией случайной величины Х яазывается число ОХ, определяемое как ПХ = Е(Х вЂ” ЕХ)2. Словами дисперсию можяо определить как среднее значение квадрата отклонения случайной величины от своего математичесюго ожидавиз. Дисперсия характеризует "цевтр" распределевия квадратов отклонения случайной велячияы Х от ее "цеятра" при многократном воспроизведеявя стохастичесюй ситуации, с которой связана случайяаз велячияа Х. Дисперсию иногда бывает удобно вычислять по формуле ПХ ЕХ2 (ЕХ12 Перечислим осиоише свойства дисперсии. 47 1.4.2.
Ха7ннонврнсмннн разброса случайных величин ° Неслучайный юзффицнент можно выносить из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: 0(сХ) = сз 0Х. а Дисперсия любой случайной величины неотрицательна. ° Дисперсия случайной величины равна нулю тогда и толью тогда, югда зта случайная величина всегда (с вероятносп ю единица) принимает одно и то же значение (естественно, равное ее математичесюму ожиданию). Длл унификации единиц измерения степени разброса с единицами юмерення самбй случайной величины используют понатие среднеквадратичного отклонения, определяемого как кващ>атный юрень из дисперсии: о = ~/0ХХ.
Несложно видеть, что 0Х = Е(Х вЂ” ЕХ)з = шш Е(Х вЂ” а)з (см. Задачу 4.1.1). Позтому, вспоминая Задачу 4.1.2, мы заключаем, что наряду с дисперсией степень разброса значений случайной величины может характеризовать также таюй параметр, как Е!Х вЂ” шебХ~ = шшЕ1Х вЂ” а~. а Однаю таюзя характеристика используется редю из-за отсутствия у нее удобных аналитических свойств. Однако в описательной статистике довольно часто используется еще одна характеристика степени разбросанности возможных значений случайной величины. Опрпдпллнпл 4.2.2.
Пусть х174 и кз74 — кваитнпи случайной величины Х порядзззв з и 4 соответстВенно. разность язв х174 называется интеркаартмльнымраэмахом случайной величины Х. Можно сказать, что интерквартильный размах в той же мере характеризует степень разброса возможных значений случайной вепичинь1, в каюй медиана характеризует ее центральное значение: внутрь интервала 1.4. Члелоеые хараюверисеилл елучамных величин 48 (х~ул, хил) слУчайнаЯ величина Х попаДает с веРоатностью ~~. ПРи этом среди всех возможных интервалов с таким свойством (легко видеть, что все такие интервалы имеют своими концами квантили случайной величины порядков ч т и ч + т при 4 < ч < 4) интервал [х1(4 хз!4] занимает "срединное" положение, поскольку вероятность того, что случайная величина Х попадет левее этого интервала равна вероятности того, что случайная величина Х попадет правее этого интервала (при этом обе эти вероятности равны 4).
Поэтому длина этого интервала вполне может быть принята в качестве меры разброса случайной величины. 1.4З. Неравенства дли характеристик центра и разброса случайных величин Неравенство Маркова. Пусть Х вЂ” неотрицательная случайная величина. Тогда, используя свойства математического ожидания, для произвольного положительного числа х мы можем записать: Еппп(х, Х) = Е [Х1(О л1(Х) + х11л ес)(Х)~ = Е [Х11ол1(Х)~ + Е [х11л,ел)(Х)] = хЕ11л ес1(Х) + Е [Х11О, >(Х)~ > хЕ11л,„1(Х) =хР(Х > х), Еппв(х, Х) Р(Х>х) < х справедливое при любом х > О. Вытекающее из (4.3.1) неравенспю ЕХ Р(Х >х) <— х называется нера венппвом Маркова.
Неравенство з1ебышева. Пусть Х вЂ” произвольная случайная величина. Применим неравенспю Маркова к случайной величине Х = (Х вЂ” ЕХ)з н откуда, сравнивая левую и правую части этого соотношения, мы получаем неравенство (4.3.1) 1.43. Нерааеисева получим гт Е(Х вЂ” ЕХ)з 0Х Р(!Х вЂ” ЕХ! > х) = Р ((Х вЂ” ЕХ) > х ) < хг хз Соотношение между левой и правой частями этого неравенства называют нераеенапаа» Чебыьиева: ОХ Р(!Х вЂ” ЕХ! > х) < — з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
