В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы можем теперь переформулировать определение непрерывной случайной величины в терминах функцли распределения. А именно, случайная величина с функцией распределения Г(х) непрерывна, если для любого х справедливо равенство Г(х) = /,|'(х) Их. ЬЗ.З. Функции рисиреденанип Иютииснт ееринтностей и При этом из геометрической интерпретации интеграла ясно, что плотность у (х) характеризует сюросп возрастания Г(х) при увеличении х. Если х — произвольное число и прн л -+ оо числовая последовательносп (х„)„>1 неограниченно сближается с х, оставаясь больше или равной х, то предельное значение последовательности соответствующих значений Г(хн) мы будем обозначать символом Р(х+ 0). Из определения функции распределения вытекает, что г (х + 0) = Р(Х < х).
Для любой случайной величины справедливо соотношение Р(Х =х) = Г(х+0) — Г(х). Чтобы убедиться в его справедливости, заметим, что (3.2.2) (в: Х(в) < х) = (в: Х(в) < х) 0(в: Х(в) = х), причем события в правой части не имеют общих'элементарных исходов. Поэтому Р(х + 0) = Р(Х < х) = Р(Х < х) + Р(Х = х) = Р(х) + Р(Х = х), откуда вытекает требуемое. При этом, если случайная величина Х Ъискрегна и х — одно из ее воняожных значений, то есть Р(Х = х) ) О, то Р(х+ 0) — Р(х) ~ О. Если же случайная величина Х непрерывна и у — произвольное число, то /У Г(у+0) — Г(у) = / у(х)с(х =О, а значит, Р(Х = у) =О.
Р(а < Х < Ь) = р(Ь+ 0) — Г(а), Р(а < Х < Ь) = Р(Ь+ 0) — 7(а + 0), Р(а < Х < Ь) = Г(Ь) — г (а), Р(а < Х < Ь) = Г(Ь) — г (а + 0). Другими словами, как мы уже отмечали, непрерывная случайная величина принимает каждое юнкретное свое значение с вероятностью, равной нулю. Поэтому для таких случайных величин имеет смысл говорить о вероатностях их попадания в интервалы. Вероятности попадания любой случайной величины в любые интервалы могут быль записаны в терминах ее функции распределения: если а и Ь вЂ” произвольные числа, а < Ь, то 38 1.4.
Чиелаеые лерантерипинни ечучайныл величин Справедливость этих соотношений устанавливается точно так же, как мы доказали равенство (3.2.2). 1.4. Числовые характеристики случайных величин 1.4.1. Характеристики центра случайных величин Весьма часто при анализе той или иной стохастичесюй ситуации основной интерес представляет даже не распределение вероятностей наблюдаемой случайной величины, а лишь такое число, вокруг юторого концентрируются возможные значения этой случайной величины при многократном воспроизведении стохастичесюй ситуации. Примером может служить непосредственное измерение некоторого параметра, югда вследствие случайных погрешностей каждое новое измерение отличается от предыдущего, йо вместе с тем ясно, что все результаты измерения группируются вокруг некоторого "центрального" значения.
Возмвкными синонимами понятия "центральногон значения случайной величины являются "среднее", "ожидаемое", "наиболее вероятное*' значение. Мы увидим, что, несмотря на интуитивно кажущуюся простоту, понятие "центрального" значения случайной величины является довольно тонким, и каждому из словесных описаний, приведенных выше, можно придать свое математически строгое определение. Эти определения, вообще говоря, приводят к розныле понятиям и, соответственно, к разным числам.
Опгцдллвнив 4.1.1. Пусп Х вЂ” дискретная случайная величина, принимающая значения хь хз,... с вероатностями соответственно р1, 1~,.... Математическим'ожиданием дискретной случайной величины называется число ЕХ = х1р1+хзрз+ .. (4.1.1) Смысл математичесюго ожидания становится ясным, если мы предположим, что случайная величина может с равными вероятностями принять одно из коне пюго числа значений хп..., х„. Тогда ре = 1, я = 1,..., л, и математическое ожидание таюй случайной величины совпадает со сред- 1.4.1.
Хеениаиерисвииеи венера свучайньвв вевичин 39 ним арифметическим чисел х~,..., х„: в ЕХ = — ~~~ хв. п ь=! Таким образом, мы можем заюпочить, что в общем случае математическое ожидание дискретной случайной величины, определенное формулой (4.1.1), является обобщением понятия среднего арифметичесюго на случай (возможно, бесюнечного числа) неравновероятнык возможных значений. Чтобы определить математичесюе ожидание непрерывной случайной величины, нам понадобится обобщение понатня интеграла, определенного вьппе.
Напомним, что выше мы определили интеграл от неотрицательной функции. Сейчас, используя это уже известное нам определение, мы определим интеграл от произвольной функции я(х), принимающей как положительные, так и отрицательные значения. С функцией я(х) мы свяжем два множества 6+ (х: я(х) > О) и 6 = (х: я(х) < О).
Множество 6+ содержит те и толью те значения аргумента х, для юторых функция я(х) неотрицательна, а множество 6 содержит те и толью те значения аргумента х, для ютсрык функция я(х) отрицательна. Если А — неюторое множество, то символом 1А(х) мы будем обозначать индикаторную функцию множества А: ~1, если х н А, 1л(х) = (О, ес~жх ф А. Тогдафункциил+(х) = я(х)1о+(х) ил (х) = ~й(х)~1о (х) неотрицательны и, стало быть, определены ннтегралы /~~ я+(х) с(х и / я (х) с(х. более того, справедлива следующая формула для функции я(х) я(х) ие я+(х) — я (х). Поэтому мы естественно приходим к определению интеграла ст произвольной функции я(х), обозначаемого / «(х) с(х, как разности интегралов от функций я+(х) и я (х): 1.4.
Числовые шрактвристики случайиил величин 40 Теперь мы можем определить математнчесвое ожидание непрерывной случайной величины. Опгвдвлинии 4.1.2. Пусть Х вЂ” непрерывнм случайная величина, имеющм плотность |'(х). Математическим ожиданием ненрерывной случайной величины называется число ЕХ = х ~(х) Их.
(4.1.2) Свойства математических ожиданий дискретных и непрерывных случайных величин совпадают. Основным из них можно считать его линейность: если а и Ь вЂ” два числа, а Х и à — две случайные величины, то Е(аХ+ЬУ) =аЕХ+ЬЕТ. Отсюда, в частности, вытекает, что: ° математичесвое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических аанданвй этих случайных величин; ° неслучайный аоэффициент при случайной величине можно выносить за знак матемвпзчесхого ожидания.
К числу свойств математического ожидания можно отнести и следующий факт. Пуоп Х'- случайнм величина, А — нензторое подмножество ее значений. Пусп 14(х) — индикаторная функция множества А. Тогда 14(Х) — случайнм величина, принимающм значение 1, если Х н А, и значение О, если Х 1( А, причем Р (14(Х) = 1) = Р(Х и А) = 1 — Р (14(Х) = О) . Тогда в соответствии с определением математического ожидания дискрет- ной случайной величины мы имеем Е14(Х) = 1 Р(Х н А) + О Р(Х ф А) = Р(Х н А). Смысл математического ожидания пояснжт следующая задача. ЗАДАЧА 4.1.1.
Предположвм, что некий человек на перемещение из точки а в точку Ь затрачивает усилия, равные (Ь вЂ” а)з. Это означает, 1.4.1. Характеристики центра елучайтен величин 41 что он легко перемещается на малые расстояния, но большие перемещения даются ему с большим трудом. Скажем, мы рассматриваем пакилого немощного человека. Пусть Х вЂ” случайная величина, характеризующая координату точки, в иэгорую необходимо перемесцпъся этому пожилому человеку (скажем, он может пойтн нли поехать в поликлинику, в собес, в магазин, к внукам и т.п.). Спрашивается: где должен жить этот человек, чтобы минимизировать свои ожидаемые усилия, связанные с перемеще- ниямиу Е(Х вЂ” х)з.= Е(Хз — 2хХ+ ха) = хз — 2хЕХ+ ЕХЗ.
Пратш часть этого выражения как функция "от х представляет собой хорошо знакомую квадратичную параболу. Бе минимум находится в точке хс еи ЕХ. Таким образам, математическое аиидание характеризует щвгр распределещш случайной величины Х (или, в терминах данной задали, опредешют "среднюю" или "центральную" точку населенного пункте) в смысле квадратичной функции потерь.
Математическое ожидание не всегда определено, но если оно определено, то всегда единственно. Поясним сказанное на примере случайной величины Х, имеющей так называемое раслраденение Кинли, задавашаое плотностью 1 1'(х) = -оо < х < оо. л(1+ хз) Тогда в соответствии с определением интеграла, приведенным вьппе, мы имеем !х! Ых 1 ее х Нх 1,=' 1с л(1+ хз) Решение этой задачи таково. Интуитивно ясно, что если этот человек будет жить в "средней", "центральной" точке между возможными конечными пунктами своих перемещений, то его усилия в среднем будут невелики.
Подкрепим зту догадку строгими рассуждениями. Средние усилия, затрачиваемые этим человеком на перемещение из неслучайной точки х в случайную точку Х, имеют вид 1.4. Чисяовые характеристики случайных ееекчкк 42 и следовательно, в соответствии с определением математического ожида ния непрерывной случайной величины мы получаем неопределенность | хЫх = 1+ — 1 = оо — оо. к(1+ х2) Таким образом, математичесюе ожидание случайной велмчины, имеющей распределение Коши, не определено.
ОпРвдкланйн 4.1,3. Пусть Ч вЂ” некоторое число из интервала (О, 1). Квантилью норлдка а (или а-квантилью) случайной величины Х называется число хв таюе, что одновременно Р(Х <хе) >а и Р(Х>хв) >1 — Ч. Опрвдллнкйн 4.1.4. Медианой случайной величины Х называется ее квангиль порядка к. 1 Медиана случайной величины Х обозначается шед Х.
По определению медианы, одновременно выполняются неравенства Р(Х < шедХ) > ~~ и Р(Х > шейХ) > 1. Д>утими словами, медиана случайной величины Х характеризует "центр" ее распределения в том смысле, что случайная величина Х может с раве ными возможностями быть как меньше медианы, так и больше нее. Медиану нвнрерывной случайной величины можно вычислить как юрень уравнения Р(х) = 2, где Р(х) — функция распределения случайной величины Х. Смысл поняпи медианы поясняет следующая задача, являющаяся в неютором смысле дополнением к Задаче 4.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
