В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть й — совокупность всех исходов рассматриваемой стохастической снгуации, элементарных в том смысле, что каждый из иих нельзя разбить иа более мелкие исходы. Под событием мы будем понимать любое подмножество А элементов совокупности й. При этом вероятность собьпия А определим как суммарную вероятносгь элементарных исходов, его составляющих. Более формально, пусть й = (ео1,..., ео„) и вероятность исхода ео1 равна ри 1 = 1,..., л. Пусть А — нежпорое событие. Тогда вероятность события А, обозначаемая Р(А), определяется как Р(А) = ~~1 рп (1.3.1) где суммирование идет по всем номерам( элементарных исходов, составляющих событие А. При этом должно выполюпься естественное условие нормировки н рв =1.
1=1 Заметим, что в этой модели допускается возможность бесконечного числа элементарных исходов стохастической ситуации (и = оо), а вероятности рв совсем ие ойианы быль равны между собой. Классическая вероятностная модель, рассмотренная в ц. 1.1.2, явлж1тся частным случаам дискретной модели, в иэгором р1 = „-, 1' = 1,..., и. 1 1,1.4. Геометрические вероитиостиые модели Обе вероятностные модели, рассмотренные в предыдущих подразделах, характеризуются тем, что есе элементарные исходы соответствующих сюхастических ситуациИ можно занумеровать, поставив каждому исходу в соответствие натуральное число так, что разным исходам будут соответствовать разные числа. Именно зто свойство позволяет определить вероятность собьпия по формуле (1.3.1).
Однаю зачастую исходы стохастичесвой ситуации не могут быль перенумерованы разумным образом. В качестве примера рассмотрим следующую задачу. ЗАдАчА 1.4.1. Два человека, назовем их, скажем, Х и У, договорились всгреппься в условленном месте между 12п1 и 13Ж. Согласно обоюдной 18 1.1. Вероятность кая мера сяучайностн договоренности, пришедший первым ждет второго лишь в течение 20 минут (например, чтобы не привлекать излишнее внимание окружающих). Считал, что каждый из Х н У может прийти на место встречи в любой момент указанного интервала времени с одинаковой возможностью, найти вероятность того, что встреча состоится.
Чтобы репппь эту задачу, сначала построим модель множества возможных злементарных исходов данной стохастической ситуации. Совокупность возможных моментов появления Х на месте встречи — зто отрезок длиной 1 час. Аналогично, другой точно такой же отрезок является совокупностью моментов появления У на месте встречи.
Отложим зги отрезки на соответствующих перпендикулярных координатных осях, резервируя горизонтальную ось за временем прихода Х, а вертикальную — за временем прихода У. Пусть х — момент появления Х, у — момент появления У. Тогда каждый исход стохастнческой ситуации характеризуется парой чисел (х, у). Если мы отождествим каждую такую пару с точкой, имеющей координаты (х, у) на плоскости с указанными координатными осями, то станет ясно, что совокупносп исходов данной стохастической ситуации можно представить в виде квадрата с вершинами (О, 0), (О, 1), (1, 0) и (1, 1).
Теперь найдем совокупность тех исходов, в результате каждого из юторых наступает встреча Х и У. Если х отстоит от у более чем на ~1 (20 минут составшпот ~1 часа), то встреча Х с У не может состояться, и наоборот. Таким образом, совокупность исходов, "благоприятствующих" встрече Х с У, содержит те и голыш те точки с координатами (х, у), которые, во-первых, попадают внутрь увязанного квадрата и, во-вторых, удовлетворяют условию ~х — у~ < ~1. С учетом того, что по условию все исходы равновозможны, искомая вероятность будет равна отношению площади шестиугольника, задаваемого условиями'0 < х < 1, 0 < у < 1, )х — у! < ~~, и равной, как несложно подсчитать, ~8, к площади всего квадрата, равной, очевидно, единице.
Таким образом, искомая вероятность Равна 9. 5 Подобные рассуждения вполне применимы и в другах задачах, где оказывается возможным отождествить совокупность всех элементарных исходов стохастнческой ситуации с каким-либо одно-, дву- или трехмерным множеством и все исходы считаются равноаозможными. Тогда вероятность события, отождествляемого с каким-либо подмножеством сово- 1.С5.
Струкауре ввролтностньп моделей 19 купностн всех элементарных нсюдов, будет определятьсл как отношение длин в первом случае, площадей во втором н объемов в третьем случае. Такие вероятностные модели прннято называть геометрическими. Зтн моделн являются частными случаями так называемых непрерывных вероятностных моделей, связанных с описанием поведения непрерывных случайных величин, см. раздел 3. 1.1.5. Структура вероятностных моделей стохастических ситуаций В каждом нз примеров, рассмотренных в этом н предыдущнх разделах, каждая еерояеностиая модель той нлн иной стохасгнчесюй ситуации имеет внд тройки объектов (й, л$, Р), где й — совокупность всех элементарных исходое стохастнчесюй снтуацнн, каждое возможное событие является неизторым мнакеством элементарных исходов, то есп подмножеством множества й, так по за — совокупность всех возможных событий (юторая в первых двух примерах совпадала с совокупностью всех подмножеств совокупности й), Р— неотрнцательная фушщня, областью определенна юторой является множество т", а областью значеннй — отрезок [О, Ц.
Каждому событию А е ез функция Р ставит в соответствие число Р(А), понимаемое квк вероятность события А. Прн этом Р(й) = 1. Каждая такая тройка является математнческнм описанием (математнчесюй моделью) соответствующей стохастнчесюй снтуацнн. Условимся в дальнейшем отождесгаля1ь термин еероятиостиал модель с юнкретной тройюй (й, зз, Р). Выбор правильной, адекватной вероятностной модели в юнкретном случае очень важен н иногда очень не прост. Дело в том, что иногда стохастнческая снтуацня, юторая, казалось бы, вполне конкретно, однозначно опнсыааетсл словами, допускает нескслью разных вероятностных моделей, как показывает следующий пример.
Пгнмвг 1.5.1 (парадокс Бертраназ). Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется окружность, в югорую вписан равносторонний треугольннк с вершинами, скажем, А, В н С. Спрашивается: каюва вероятность зк ВввлвтЕ Са1ви! Ит РвеьаЬП1тв. Рапз, 1899. зо 1.1. Вараюииоаиь азк мара саучайиюаи того, что наугад (случайно) выбранная хорда данной окружности окажет- ся длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника? Первое решение.
Так как хорда выбирается случайно, то каждый ю ее юнцов может попасть в любую точку окружности. Предположим, что один из юнцов хорды попал в точку А, являющуюся одной из вершин треугольника. Это предположение никак ие ограничивает общность наших рассуждений, посюльку в противном случае мы всегда можем так повернуть треугольник, чтобы его вершина А совместилась с одним ю юнцов хорды (вопрос, сформулированный в задаче, никак не ограничивает взаимное расположение хорды и треугольника). Теперь ясно, что для того чтобы хорда была длиннее стороны треугольника, необходимо и достаточно, чтобы другой ее юнец (напомним, что один из ее юнцов совмещен с точюй А) попал на дугу В С, соелиняющузо две другие вершины треугольника. Вспоминая геометрическое определение вероатности, мы заюпочаем: так как хорда выбирается случайно, наугад, то каждый ее юнец может с равными возможностями попасть в любую точку окружности. Следовательно, нсюмая вероятность будет равна отношеншо длины дуги ВС, каждая- точка которой "благоприятствует" наступлению интересующего нас события, к длине всей окружности.
А так как треугольник А В С вЂ” равносторонний, то это отношение равно ~~. Второе реигелие. Так как хорда выбирается случайно, то она может быль сориентирована произвольным образом по отношению к стороне АС треугольника Предположим, что хорда оказалась параллельна этой стороне. Это предположение никак не ограничивает общность наших рассуждений, посюльку в противном случае мы всезца можем так повернуть треугольник, чтобы его сторона АС оказалась параллельна хорде (вопрос, сформулированный в задаче, никак не ограничивает взаимное расположение хорды и треугольника).
Заметим, что середина всех хорд, параллельных стороне АС, обязательно попадает на диаметр окружности, перпендикулярный стороне АС. Более того, так как треугольник АВС вЂ” правильный, то точка пересечения этого диаметра со стороной АС, скажем, точка Р, делит радиус пополам. Пусть Р' — точка, симметричная точке Р относительно центра окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
