В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При этом автор старался сделать особый акцент на особенностях применения результатов и методов теории вероятностей и матемвгичесюй статистики к анализу случайных явлений, наблюдаемых на практике, и по возможности разрушить неюторые вредные стереотипы, связанные с практическим применением результатов и методов этих наук. Книга в первую очередь рассчитана на тех читателей, которые не получили высшего математичесюго образования, но которым приходится сталквваться с необходимостью примененвя методов теории вероятностей и математичесюй статистики для решения их практических проблем, скажем, в области эюномики, биологии, психологии, физики, юриспруденции.
Данная книга, естественно, не дает готовых рецептов на все случаи жизни. Оиа предназначена для заинтересованных читателей, юторым она может помочь самим разобраться в том, что теория вероятностей может и чего не может в их конкретных задачах, связанных с теми или иными юнкретными ситуациями. В данной книге разобрано много примеров. В отличие от многих учебнвюв по теории вероятностей и математической статистике, автор старался по возможности максимально приблизить приводимые в данном курсе примеры к практвю. При этом многие примеры взяты из реальных прикладных задач.
Дла понимания материала книги достаточно хорошего знания математики в пределах шюльной программы и желания разобратъся в предмете, которому данная книга посвящена. Необходимые понатия из области высшей м1ьтематики вводятся по ходу изложения на том уровне строгости, который не должен испугать читателя, не знакомого с дифференциальным и интегральным исчислением. Для лучшего поннманиа неюторых разделов книги желательны графики или рисунки. Однаю в книге их нет. Это сделано умьппленно.
Изложение построено так, что в случае необходимости читателю не составит болыпого труда самостоятельно выполнить соответствующие упражнения и нарисовать нужные графики или чертежи. Для дальнейшего ознакомления с предметсве заинтересованному читателю рекомендуются книги, включенные в список литературы. Основные понятия прикладной теории вероятностей 1.1. Вероятность как мера случайности 1.1.1. Понятие о предмете теории вероятностей. Стохастические ситуации Окружающая нас действительность поспжнно порождает неопределенные ситуации, исходы нзгорых невозможно заранее предсказать с исчерпывающей точностью.
Иногда зто связано просто с недостатком информации. В таких случаях получение дополнительной информации может существенно уменьпппь неопределенность и даже совсем ее устранить. Однаю иногда неопределенность принципиально нельзя устранить совсем, например, в лотереах нли биржевых играх.
Но даже в тех ситуациях, в которых неопределенность принципиально не устраннма полностью, ее часто можно существенно уменьшить за счет лучшего понимания, уточнения самих механизмов проявления неопределенности. В часпюсти, для зтнх целей можно использовать математические методы. Математика предоставляет средства описания окружающей действительности, которые являются универсальными в том смысле, что они с одинаковым успехом могут быть использованы в самых разных областях — от физики, техники, биологии и медицины до страхования, финансов и юриспруденции. К разделам математики, изучающим механинаы проявления принципиально неустранимой неопределенности, можно отнести и теорию вероятностей.
10 1.1. Вероянтость как мера случайности Теория вероятностей изучает свойства математических моделей случайных явлений или процессов. Под случайностью мы будем понимать принципиально неустранимую неопределенность. С помощью понятий и утверждений теории вероятностей можно описать сами механизмы пррянления неопределенности, выявить закономерности в проявлениях случайности. Любая математическая теория устроена следующим образом. Фундаментом каждой такой теории является набор аксиом, то есп не противоречащих друг другу утверждений или принципов, заведомо считающихся верными и принимаемых без доказательств. Из зтвх аксиом с помощью логических переходов конструируются понятия и утверждения соответствующей теории. Разные наборы аксиом ведут к разным математическим теориям, юторые могут описывать одни и те же процессы и явления. При зтом практическая полезность или зффективносп той или иной математической теории определяется удобством ее применения и ее адекватностью, то есть степенью согласованности получаемых с ее помощью выводов со свойствами описываемой ею реальности, наблюдаемыми на практике.
Имеется довольно много математических теорий, описывающих свойства математических моделей случайных явлений или процессов. В каждой из этих теорий так или иначе присутствует понятие вероятности как числового выражения меры возможности осуществления того или иного события, связанного с,неопределенной ситуацией. Другими словами, имеется несколыю теорий вероятностей.
В нашем курсе мы будем иметь дело с теорией вероятностей, основанной на системе аксиом, юторая была предложена в 20 — 30-х годах ХХ столетия великим русским мигематигюм Андреем Николаевичем Колмогоровымг. Как правило, имйнно зта теория и называется собственно теорией вероятностей. За г[1) А. Н Колмогоров. Общая теория меры н исчисление всрапиостей. Т1гудм Коммунистической академии.
Раздел матеитяики. 1929, т. 1, с. 8-21; такие см. А. Н. Колмогоров. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука", Москва, 1986, с. 48-58. [2) А. КоьноаогоЕ бгилддеачфе йег МаЛтзяьетИсЛЛещгесдяиля. Вег1нч Бргщят, 1933; такие см. А. Н. Колмогоров. Осноеные каналия лгеорни ееротнностей. ОНТН, Москва-девингрвд, 1936; 2-е издание: "Наука", Москва, 1974; 3-е изданит "Фазис", Москва, 1998. 1.1.1. Свниасвачаские савуацаа другими теориями вероятностей закреплены особые названия, например, теория субъективных вероятностей, интервальная теория вероятностей и т.
п. Этот курс предназначен для нематематиков, и потому мы, естественно, не будем скрупулезно описывать сами колмогоровскне аксиомы. Мы лишь опишем те свойства, нзгорые должны быть присущи реальной неопределенной ситуации, чтобы ее можно было успешно математически описать на языке теории вероятностей. Другими словами, мы выделим те неопределенные ситуации, описание юторых с помощью теории вероятностей ведет к адекватным выводам. Итак, назовем стохлстической такую ситуацию, которая характеризуется следующими свойствами или условилми: ° иепредсиазуемосп:. исход ситуации невозможно заранее предсказать с абсолютной точностью; ° веспреизведимееп".
имеется по крайней мере теоретическая возможность воспроизвести рассматриваемую ситуацию как угодно много раз в остающихся неизменными условиях; ° устойчивость частот: каким бы ни.было интересующее нас собыпю, связанное с рассматриваемой ситуацией, при многократном воспроизведении втой ситуации частота события (то есть отношение величества случаев, в юторых наблюдалось рассматриваемое событие, к общему числу воспроизведений ситуации) нзлеблется возле неюторого числа, приближаясь к нему все ближе и блюке по мере увеличения числа воспроизведений ситуации.
Поясним сказанное. Свойство непредсказуемости доволыю очевидно. Бели исход ситуации прогнозируем однозначно, то вообще нет никакой необходимости в привлечения аппарата теории вероятностей. Свойство воспроизводимости ситуации является ключевым для того, чтобы быль уверенным в успехе применения аппарата теории вероятностей к ее опнсанню. Именно зто свойство имеют в виду, когда говорят, что теория вероятностей и математическая статистика направлены на изучение массовых явлений. В связи с условием воспроизводимости следует весьма осторожно относиться к попыткам применения теории вероятностей к аналвпу уникальных явлений илн систем. Например, известны многочисленные попытки дать количественный ответ на вопрос о том, 12 1.1.
Вероятность аи мера случайиоси~и какова вероятность существовании во Вселенной других планет, населенных разумными существами. Однако пока нет достаточных оснований считать, что наличие других планет н, тем более, существование на ннх разумной жизни является массовым явленнем. Позтому существующне прогнозы весьма разноречнвы н потому неадекватны. Наконеп. свойство устойчивости частот позволяет связать математнческое определение вероятностн собьпня с ннтунтнвным представленнем о ней как о поннмаемом в определенном смысле пределе частоты осуществлення события прн неограниченном воспронзведеннн соответствующей ситуации. Перейдем к рассмотренню прнмеров стохастнческнх ситуаций н опнсывающвх нх вероятностных моделей. 1.1.2.
Классические вероитностные модели Начнем со следующей класснчесюй задачи. ЗАдАчА 1.2.1. Предположим, что в некотором сосуде (урне) имеется Ж шаров, разлнчающнхся лишь цветом: нз зтнх шаров М вЂ” красные (М < Ж) н Ф вЂ” М вЂ” белые. Из сосуда случайно взвлекаются л шаров так, что искдый вынутый шар не возвращается обратно. Пусть ш — незпторое целое число, О < ш ( в. Каюва вероятность того, что среди в вынутых шаров окажется ровно ш красныху Для решення атой задачи нам понадобятся некоторые поняпи нз комбннаторнкн. Рассмотрим совокупность, содержащую я элементов. Сколько существует способов упорядочнть зтн к злементов, то есть перенумеровягь нх7 Первый номер может быть присвоен любому нз я злементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
