В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Так как И = А 0 А и А П А = И, каково бы ни было событие 26 1.2. Незавиоимхть А, то по свойству (2.2.1) аддитивности вероятности мы имеем Р(А) = 1 — Р(А). Очевидно, что й = Й 0 !2!, причем П й И = И. Поэтому по свойству аддитивности вероятности мы имеем Р(И) = 1 — Р(й) = 1 — 1 = О. Чтобы не путать понятия независимых и непересеюпощихся событий, рассмотрим следующую задачу. Зядячя 2.2.1. В каком случае несовместные события А и В независимыу С одной стороны, события А и В независимы, то есть Р(А й В) = = Р(А) Р(В). С другой стороны, поскольку события А и В несовмеспш, Р(А !' ! В) = Р(!2!) = О. Таким образом, Р(А) Р(В) = О. Другими словами, несовместные события независимы тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них имеет нулевую вероятность. В связи с понятием независимости рассмотрим еще одну полезную задачу.
Злдячл 2.2.2. Пусть А!, Аз,..., А„— независимые события в вероятностной модели (й, Ы, Р) (л > 2), Какова вероятиосп того, что произойдет хотя бы одно из этих событийу Эту задачу удобно решать в терминах противоположных событий. Обозначим А = А! 0 Аз 0...
0 А„. Событие А как раэ и заключается в том, что произойдет хотя бы одно иэ событий А!, Аз,..., А„. Событие, противоположное А, заключается в том, что не произойдет ни одно из событий А!, Аз, ", А„, то есть А=А!0Аг0...0А„=А!Г)АгО...Г!Ал. (222) Формулу (2.2.2) называют заюлом деойсв!вевлосл!и. Так как события А!, Аз,..., А„независимы, то независимы и события А!, Аз,..., А„.
Поэтому мы окончательно получаем Р(А) = 1 — Р(А) = 1 — Р(А! г! Аэ О ... О А„)= я л =1-ПР(А!) =1-П( -Р( )) !ея ю=! 1.2.3. Усеоеоые ееооявноово Весьма часто в иемвгемагичесюй (художественной или популярной) литературе встречаются фразы вроде "по закону больших чисел это должно было обязательно произойти". Под этим обычно подразумевается, что, как бы мала ни была вероятность некоторого события, скажем, А, связанного с некоторой стохастической ситуацией, при многократном (неограниченном) воспроизведении этой стохастической ситуации событие А обазательно произойдет хотя бы раз. На самом деле это утверждение не имеет никаюго отношения к заюну больших чисел.
Оно является следствием Задачи 2.2.2. Действительно, пусть л > 1 — некоторое число. Тогда вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз при л (независимых) воспроизведениях стохастичесюй ситуации, равна 1 — (1 — Р(А))". Эта вероятность не стремится к единице при л -о оо толью тогда, югда Р(А) = О. Легко видеть, что во всех остальных случаах, какой бы маленьюй ни была лоложшлельлая вероятность события А, мы имеем Еш (1 — (1 — Р(А))"] = 1. л-+оо 1.2.3. Условные вероятноети Иногда бывает полезно вычнслзпь вероятность события с учетом информации о том, что осуществилось каюе-либо другое событие.
Опгнднлннин 2.3.1. Пусть А и  — события, причем Р(В) ~ О. Условной ввроаллосзлью А при условии В называетсл величина Р(А П В) в(А) = Р В С помощью Определения 2В.1 мы можем перейти от вероатностной модели (12. Ф, Р) к вероятностной модели (В, о1в, Рв). Здесь символом е1в обозначена совокупность всех событий вида А й В, где А н ез. Таюй переход означает, что мы как бы считаем, что событие В уже произошло, и учитываем зто обспительство при вычислении вероатносгей, относящихся к рассматриваемой ситуации.
Если события А и В независимы, то из Определения 2.3.1 следует, что Ря(А) = Р(А). 1.2. Незееесимосвь 28 Вз Определения 2.3.1 сразу вытекает формула Р(АПВ) =Р(В) Рв(А) Эту формулу иногда называют законом умнажения вероятностей. 1.2.4. Формула полной вероятности В неюторой вероятностной модели (й,з8, Р) рассмотрим событии Аы А2,..., А„(л ) 2), которые обладают следующими свойствами: а) события Аы Аз,..., А„несовместны, то есть никакие два из них не могут произойти ошювременно; Ь) одно из событий Аы А2,..., А„обязательно произойдет, то есть А1 0 А2 0... 0 А„= й, причем Р(А~) ) О, 1 = 1,..., л. Если собьггия А1, А2„..., А„обладают свойствами а) и Ь), то говорит, что они образуют ловкую груллу.
Пусть  — неюторое событие, а события Аы Аз,..., А„образуют полную группу. В таюм случае справедлива формула с Р(В) = ~~) Рл (В)Р(Аь). (2.4.1) Соотношение (2.4.1) называется формулой волной вероятности. В качестве примера применения формулы полной вероятности рассмотрим следующую задачу. ЗАдАчА 2.4.1.
Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р (О < р < 1). Предположим, что "живучесть" цели описывается числом д (О < 4 < 1): при попадании в нее она с вероятностью д сохраняет свои свойства, то есть не поражается. Каюва вероятность того, что цель поражена, если в нее произведено л выстрелову Пусп Ае — событие, заключающееся в том, что ровно к выстрелов попали в цель, к = О, 1,..., л. Несложно убедиться, что события Ао, Ап..., А„образуют полную группу.
Будем считать, что выстрелы производятся независимо 1йзуг от друга. Можно подсчитать, что Р(Ас) = (1 — р)", Р(Аь) = С~р~(1 — р)™, й = 1,..., л 1.д4. Формула полной вераптноааа (о том, как вычислить этн вероятности, мы подробно поговорим в разделе 1.6). Пусть  — событие, заюпсчающееся в том, что цель поражена. Вероятность поражения цели при к попаданиях в нее равна 1 — ~?" (см. Задачу 2.2.2), то есп Ря„(В) = 1 — дг, к = 1,..., л, и очевидно, что Р !,(В) = О.
При этом по формуле (2.4.1) мы получаем Р(В) = ~ Ра„(В)Р(А!) = ЯРя,(В)Р(Аа) !=с ь=! л = ',! '(1 - д')С„'р'(1 — р)"-' ь=! л а = ~ с„'р'(1 - р)™ - ч, с„'(рй)'(1 - р)"-'. Первая сумма в правой части здесь равна 1 — Р(Ас) = 1 — (1 — Р). Используя формулу бинома Ньютона, для второй суммы мы получаем = (1 — р(1 — й))" — (1 — р)". Подставив найденные выражения в (2.4.1), мы окончательно получаем Р(В) =1- (1 - р(1 -0))". Злдхчх 2.4.2, Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом.
Какова вероятность того, что выбранное наугад лицо является дальтоником? Другими словами, катвва доля лиц, страдающих дальтонизмом, во всем населении? зо В качестве полной группы событий возьмем события А1 = "выбран мужчина" и Аз = "выбрана женщина".
Будем считать, что мужчины составляют 48% населения, а женщины, соответственно, — 52ти то есть Р(А1) = 0,48, Р(Аз) = 0,52. Пусть 1г — событие, заюпочающееся в том, что выбранное наугад лицо является дальтоником. По условию Рл, ()3) = 0,05 и Рлз(Р) = 0,0025. Тогда по формуле полной вероятности Р(1)) = Рл,()3)Р(Аь) + Рл,(О)Р(Аз) = 0,05. 0,48+ 0,0025 0,52 = 0,0253 = 2,53%. 1.2.5.
Формула Байееа Пусть  — некоторое событие, имеющее положительную вероятность (Р(В) > О), а события Ап Аг,..., А„образуют полную группу В таком случае справедлива формула Рл (В)Р(Аь) Ей=1 Рл1(В) Р(Аь) Соотношение (2.5.1) называется формулой Байеса. Формула Байеса позволяет уточнить представление о вероятности любого из событий, составляющих полную группу, с учетом информации об осуществлении некоторого события. В качестве примера применения формулы Байеса рассмотрим следующую задачу, являющуюся продолжением Задачи 2.4.2. Злдлчл 2.5.1. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25'А всех женщин страдают дальтонизмом. Выбранное наугад лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчинИ В обозначениях, введенных при решении Задачи 2.4.2, искомая вероятнос1ь — зто Ро(А|).
Используя данные, полученные прн решении Задачи 2.4.2, по формуле Байеса мы получим Рл,()З)Р(А1) 0,05. 0,48 Рл,(гг)Р(А1) + Рлз(гг)Р(Аз) 0,0253 Следующая задача весьма примечательна. 1.3. Свучайные еелнчннм ЗадачА 2.5.2. При контроле правдивости показаний подозреваемого на "детекторе лжи" вероятность признать ложью ответ, не соответствующий действительности, равна 0,99, вероятность ошибочно признать ложью правдивый ответ равна 0,01. Известно, что ответы, не соответствующие действительности, составляют 1% всех ответов подозреваемого. Какова вероатность того, что ответ, признанный ложью, и в самом деле не соответствует действительности? Пусть а — вероятность признать ложью ответ, не соответствующий действительности, ф — вероятность ошибочно признать ложью правдивый ответ, у — доля ответов, не соответствующих действительности, среди всех ответов подозреваемого.
Тогда по формуле Байеса искомая условная вероятность р равна пу 0,99 0,01 1 Р ау+ Ф(1 — у) 0,99 0,01+0,01 0,99 2 Другими словами, на самом деле лишь половина признанных ложью ответов не соответствуют действительности, хотя, казалось бы, выбранные значения параметров контроля а и б явлиогси довольно жесткими. Более того, лепю подсчитать, что если не соответствующим действительности является в среднем люль один ответ подозреваемого из двухсот, то иа самом деле не соответствующими дейспппельности будет менее трети ответа, признанных ложью. 1.3. Случайные величины 1.3.1. Определение случайной велнчнны Большинство стохастических ситуаций характеризуются тем обспмтельством, что каждому их элементарному исходу соответствует некоторое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
