В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Например, число угаданных номеров в лотерее "Спортлото", количество пострадавших при очередном пожаре и т.и. Даже тогда, когда фактически числа не участвуют в определении исходов (например, диагноза, который врач поставит своему очередному пациенту) (в таком случае говорат о номинальной иааые наблюдаемых характеристик), исходы можно искусственно оцифровать (например, в предыдущем примере о враче — заиумеровав все известные болезни).
Если каждому элементу 32 1З. Случайные аеличииы некоторой совокупности ставится в однозначное соответствие чис говорят, что на данной совокупности определена фуикция. При это обще говоря, соответствие не обязано быть взаимно однозначным, т разным элементам может соответствовать одно и то же число, но о1 элементу может соответствовать лищь одно число.
Опгидилпнип 3.1.1. Случайной величиной называется фущщия, деленная на множестве элементарных исходов в вероятностной мс описывающей стохастическую ситуацию. Из этого довольно формального определения вытекает, что кенар< значение случайной величины опрсдслается тем, какой исход сток ческой ситуации будет реализован. 1З.2. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Функции распределении. Плотности вероятностей Рассмотрим версатностную модель (й, аз, Р), описывающую некотс стохастическую ситуацию, с которой связана неюторая случайная в чина Случайную величину как функщпо элементарного исхода в мы будем обозначать Х(ес), иногда для краткости опуская аргумег у функции Х. Сначала предположим, что все возможные значения чайной величины Х можно перенумеровать. В такой ситуации случа) величина Х называется дискретной.
Возможные значения случайной личины Х мы обозначим х1, хз, °... Заметим, что, вообще говоря, случайная величина может приниь одно и то же значение для разных элементарных исходов. Например, е абитуриенту предстоит сдавяп четыре конкурсных экзамена, каждыа которых оценивается по пятибалльной системе, то до начала экзаменов ~ можную сумму набранных баллов разумно считать случайной величзп реалиэукицейся в результате стохастической ситуации, элементарным ходом которой является цепочка (аап..., ас4), где еи — результат 1 экзамена. Прн этом такая случайная величина — сумма баллов — мо: лринать, скажем, значение 19 как на цепочке (оЧ = 4, саз = 5, вз = ес4 = 5), так и на цепочке (оаз = 5, вз = 5, вз = 5, са4 = 4).
ЬХ2. Функции росиредеяения. >свинин>си>и вероятностей зз > Под символом Р(Х = хе) мы будем понимать вероятность события (о>: Х(со) = хв), состоящего из всех элементарных исходов, в результате каждого из которых случайная величина Х принимает значение хь. Для краткости обозначим ре = Р(Х = хь). Опгвдвлвнип 3.2.1. Набор пар ((х», рв), А = 1, 2,... ) называется рас, пределением (или распределением вероятностей) дискретной случайной величины Х.
Однако далеко не всегда множество всех возможных значений случайной величины можно перенумеровать разумным образом. Во многих ситуациях зти значения заполняют непрерывное или, как еще говорят, котпинуальное множество, например, отрезок (конечный или бесконечный) на прямой или часть плоскости или пространства. В таких случаях говорят о непрерывных случайных величинах. Длл таких случайных величин, вообще говоря, нельзя ввести понятие распределения вероятностей по схеме, использовавшейся нами выше для дискретных случайных мличин, посколыку, как мы увидим впоследствии, как зто ни парадоксально, почти каждое свое конкретное значение любая непрерывнак случайная величина принимает с вероятностью, равной. нулю. Однако для описания вероятностно-статистических свойств как дискретных, так и непрерывных случайных величин макло использовать следующий подход, основанный на рассмотрении не вероятностей того, что случайная величина примет значение, равное нешторому числу, а вероягностей того, что случайная величина примет значение, мвныиее (или бопыиве) некоторого числа.
Пусть ~'(х) — непрерывная неотрицательная функция вещественного аргумента х. Пусп, а и Ь вЂ” два числа, -оо < а < Ь < оо. Символом ь у(х) в>х мы будем обозначать площадь фигуры на плоскости, ограниченной снизу горизонтальной юзординатной осью (осью иксов), сверху — графиком функции у (х), слева — перпендикуляром к оси иксов, опущенным вз точки с координатами (а, 3'(а)), и справа — перпендикуляром к оси иксов, опущенным из точки с координатами (Ь, у (Ь)). Это обозначение для указанной площади называется ин>пвгралом функции у (х) по е(х от а до Ь. 1.3.
Случайные величавы Для бесюнечных значений а и (или) Ь понятие интеграла можно ввести следующим образом. Пусть, к примеру, а = — оо, но !Ь! < оо. Тогда для каждого натурального л = 1, 2,... положим гь А, =/ г(х)Их ь- ' и интеграл ь У(х) Ых определим как предел числовой последовательности (А„)„",: ь )'(х)е(х = Иш А„. -оо н~оо Последовательность А„, как легю видеть, монотонно не убывает, так как при каждом л ~ 1 фигура, ограниченная сверху графиюм неотрицательной функции У(х), справа — прямой х = Ь, снизу — осью иксов, а слева — прямой х = Ь вЂ” и целиюм вложена в фигуру, ограниченную сверку графиком той же функции у(х), справа — прямой х = Ь, снизу — осью иксов, а слева — прямой х = Ь вЂ” (л + 1).
Поэтому указанный предел существует, нр может быть бесюнечным. Аналогично, если ~а! ( со, но Ь = оо, то для каждого натурального л = 1, 2,... положим Га+н В„= „( у(х) ох е У(х) Ых ОПРЕДЕЛИМ КаК ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (Вн)нооыз. у"(х)ох = Иш В„. В силу приведенных выше соображений этот предел также всегда существует, но может оказаться бесюнечным. Если же оба предела интегрирования а и Ь бесюнечны, то для каждого натурального л = 1, 2,...
ЛЗ.З. Фуиииии рооирооиаоииа 1?лотиооти вероитиоотой положим )3и = ~(х) Ых ~(х) ах определим как предел числовой последовательности ЩЦ" 1: Г(х)ах = )йп )3и. Р(а < Х < Ь) = / г"(х) ах. о (3.2.1) Опгндвпния 3.22. Ясли соотношение (3.2Л) выполняется для любых а и Ь (а < Ь), то функция г'(х), фигурирующая в этом соотношении, называется плотностью вероятностей или илотностъю раснределения вероюнностей или илотностъю распределения нли просто нлотностъю случайной величины Х. Этот предел опать-таки существует, но может бъпь бесконечным. По аналогии со связанными с дискретными случайными величинами вероятностями Р(Х = х) событий (со: Х(ю) = х), включающих все элементарные исходы го, для которых Х(ю) = х, где х — произвольное число, рассматривая непрерывные случайные величины, для произвольных чисел а н Ь таких, что а < Ь, символом Р(а < Х < Ь) мы будем обозначать вероятность события (ю: а < Х(ю) < Ь), включающего все элементарные исходы ю, для юторых а < Х(ю) < Ь.
Другими словами, символ Р(а < Х < Ь) — зто краткое обозначение вероятности Р((ю:. а < Х(со) < Ь]). Во всех указаннных вырюкениях знаки неравенств могут быть заменены на строгие неравенства. При этом Р(Х < х) = Р(-оо < Х < х). В подавляющем числе встречающихся на практике стохастнческих ситуаций для каждой непрерывной случайной величины Х существует такая неотрицательная функция У(х), что, какими бы ни были числа а и Ь (а < Ь), вероатность Р(а < Х < Ь) того, что случайная величина примет значение из интервала [а, Ь), может быть записана в виде 36 Из соотношения (3.2.1) вытекает, что поскольку Р(й) = 1, мы обил тельно имеем Условимся в дальнейшем называть непрерывными только те случа$ ные величины, которые удовлетворяют соотношению (3.2.1) с некоторо функцией Дх).
Вероятностно-статистические свойства любой дискретной нли непре рывной случайной величины полностью определяются ее фулклией рас лределелия Г(х), которая для каждого значения ее аргумента х определя ется взк Р(Х = хь), если случайнаа величина Х ы.ч<х дискретна, Г(х) = Р(Х < х) = | х ,)'(х) Их, Любая функция распределения Г(х) обладает следующими свойства а) )йп Г(х) =О, )пп Г(х) =1; Ь) функция Г(х) монотонно не убывает: если х~ < хз, та Г(х~) < Г(хз); с).функция Г(х) непрерывна слева, то есть если х — произвольное число и при л -+ оо числовая последовательность (х„)ак~ неограниченно сблюкается с х, не превосходя х, то последовательность соответствующих значений Г(х„) неограниченно сближается с Г(х). Разным случайным величинам могут соответствовать одинаковые функция распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
