В.Ю. Королев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115266), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Теперь ясно, что для того чтобы хорда была длиннее стороны треугольника, необходимо и достаточно, чтобы ее середина попала внутрь отрезка РР'. Вспоминая геометрическое опре- 1.1.5. Струевпра вервятноетиьи моделей деление вероатностн, мы заключаем: так как хорда выбирается случайно, наугад, то ее середина может с равными возможностями попасть в любую точку диаметра, перпендикулярного стороне АС. Следовательно, исюмая вероятность будет равна опюшению длины отрезка вЮ', каждая точка которого "благоприатствует" наступлению интересующего нас события, к длине всего диаметра Но из сказанного выше вытекает, что длина отрезка 1Ю' составлает ровно половину длины диаметра окружности. Таким образом, исюмая вероятность равна ~~. метье реивение.
Так как хорда выбирается случайно, то ее середина может попасть в любую точку крута ограниченного рассмщриааемой окружноспю. Используя построения, аналогичные проведенным в ходе второго решения, легю убедиться, что для того чтобы хорда была длиннее стороны треутолыпша необходимо и достаточно, чтобы ее середина попала внутрь окружности, вписанной в треугольник А В С, радиус которой, как.нееловою видеть, равен половине радиуса окружности, описанной окало этого же треугольника Вспоминая геометричесюе определение вероятности, мы заключаем: так как хорда выбирается случайно, наугад, то ее середина может с равными возможностями попасп в любую точку круга, ограничиваемого описанной окружностью. Следовательно, исюмая вероятность будет равна отношению площади круга, ограниченного вписанной окруиностью, каждая точка юторого "благоприятствует" наступлению интересующего нас события, к плошдди круга, ограничиваемого описанной окружностью.
А так как это отношение равно отношению квадратов радиусов окружностей, то исюмая вероятность равна ~. 1 Налицо явный парадокс: одна задача имеет сразу три решения„и каждое из этих решений, будучи полученным логически непротиворечивым путем, является верным! Однако с млтематичесюй точки зрения здесь нет парадокса. Дело в том, что исходная задала была сформулирована довольно нестрого, неоднозначно, так сказать, неюрректно. Это проявилось в том, что понятие "случайного выбора хорды" допускает несюлью математических конкретизацнй.
Данная стохастическая ситуация может быль описана несюлькими разными вероятностными моделями. При первом решении была использована модель (й, е$, Р), в которой множество элементарных исходов й отождествлено с окружностью, совокупность событий М включает в се- 22 1.1. Вероятность как мера сяучайности бя все дуги, а функция Р, определенная на й, каждой дуге приписывает число, равное отношению длины этой дуги к длине всей окружности. Прн втором решении была использована модель (П, й, Р), в которой множество элементарных исходов й отождествлено с диаметром окружности, совокупность событий й включает в себя все отрезки, лежащие на этом диаметре, а функция Р, определенная на,4, каждому отрезку приписывает число, равное отношению длины этого отрезка к диаметру.
Прн третьем же решении была использована модель (й, М, Р), в юторой множеспю элементарных исходов П отождествлено с кругом, ограниченным описанной окружностью, совокупность событий М включает в себя все подмножества этого круга, площадь которых можно измерить, а функция Р, определенная на оФ, каждому подмножеству указанного круга ставит в соответствие число, равное отношению площади этого подмножества к площади круга. Кстати, автор регулярно разбирает эту задачу на вводной лекции в курсе "вероятностные модели", читаемом им студентам третьего курса факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ нм. М.
В. Ломоносова. Обсуждение задачи завершается "социологическим опросом" аудитории, в ходе которого нз года в год с большим отрывом "наиболее правильным" нз приведенных выше трех правильных решений признается первое решение. По-видимому, соответствующая вероятностная модель (согласно юторой случайный выбор хорды отождествляется со случайным, равновероятным размещением двух точек на окружности) наиболее адекватно соответствует пснхологнчесюму восприятию понятия случайного выбора.
Кстати, справедливости ради можно отметить, что приведенные выше три решения отнюдь не исчерпывают все возможные подходы к задаче о случайном выборе хорды. На самом деле, каким бы нн было наперед заданное число р нз интервала (О, 1), можно уяазать такую (разумную!) вероятностную модель, решая вышеуказанную задачу, в соответствии с ватррой в качестве ответа можно получить число р. В данной задаче самым сложным является адекватный выбор конкретной вероятностной модели. Далее уже, как говорят, дело технлкн. Такая снтуацня типична длл практики.
Большинство задач, выдвигаемых жнзнью, явлшотсл некорректными, допускают неоднозначную математическую ннгерпретацню. Ниже мы еще столкнемся с примерами подобных задал. 21 Можно сказать, что настоящий парадокс заклкяается в том, что выбор адекватной математической, вероятностной модели часто связан с нематематичесхими обстоятельствамн. Еще в Х1Х веке велнкнй русский математик П. Л. Чебышев говорил, что правильно поставить математнческую задачу — значит наполовину ее репппь. 1.2. Независимость 1.2Л. Независимые события Рассмотрим какне-лнбо два события А н В, связанные с некоторой вероятностной моделью (й, М, Р).
Опрнднлннин 2.1.1. События А н В называются независимыми, еслн вероятносп нх одновременного осуществленна равна пронзведенню вероятностей каждого вз ннх. Событие, заюпочающееся в одновременном осуществлении событий А н В, принято называть лересечением событий А н В н обозначать А Г1 В, нлн просто АВ. Тогда Определение 2.1.1 мснсно формально записать так: события А н В называются незавнснмымн, если Р(А и В) = Р(А) Р(В).
Пусть теперь А~, Аз,..., А„— незпторые события в вероятностной моделн (й, з$, Р) (л ~ 2). Опрндвлннин 2.1.2. Событня А~, Аз,..., А„называются лезаанснмыми е соеокулности, если для любого й ( л н любых индексов 1ь..., ц (1г ,"й 1ч прн р Ф е и 1 < гр ( л, р = 1,..., Й) Р ПА; = ПР(А; ). г=! Р=1 Определение 2.1.1 прн этом можно трактовап как определение лоларлой независимости событий. Очевидно, по нз независимости событий в совокупности вытекает попарная независимость.
Обратное утвержденна, 1.2. Независимость 24 вообще говоря, неверно. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующий пример. Пгимнг 2.1.1 (тезлраэдр Бернштейна). На горизонтальную плоскость случайно бросается тетраэдр (правильная треугольная пирамида), грани юторого раскрашены следующим образом. Одна грань — красная, вторая — синяя, третья — белая, а четвертая выкрашена в красно-сине-белую полоску.
Пусть  — событие, заключающееся в том, что на нижней грани тетраздра есть красный цвет,  — событие, заклкяающееся в том, что на нижней грани тетраздра есть синий цвет, зУ вЂ” событие, заключающееся в том, что на нижней грани тетраэдра есть белый цвет. Убедимся, что события М, В, зг' попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности. Действительно, события В и В могут одновременно произойти лишь в том случае, когда тетраэдр упал полосатой гранью вниз.
Вероятность этого, очевидно, равна ~~. В то же время, событие Ю может осуществиться в результате двух исходов, когда тетраздр падает либо краснои, либо полосатои гранью вниз. Поэтому Р(Я) = з+ 4 — — и. Аналогично, событие В может осуществиться в результате двух исходов, когда тетраэдр падает либо синей, либо полосатой гранью вниз.
Поэтому также Р(В) = 44 + 4 = 2. Таким образом, 1 1 1 Р(В О В) = — = — — = Р(В) Р(В), 4 2 2 то есть события Я и В независимы. Аналогично проверяется попарная независимость остальных событий. В то же время, собьпия М, В и Ж могут одновременно произойти липзь тогда, когда тетраздр упал полосатой гранью вниз. Поэтому Р(г и В П и') = — ~ — = — . — — = Р(В). Р(В) Р(ЪУ), 1 1 1 1 1 4 8 2 2 2 то есть события Я, В и зв' не являются независимыми в совокупности. 1.2.2. Действии нид событиями Сначала введем некоторые обозначения, юторые мы будем использовать в дальнейшем.
Тот факт, что элементарный исход ео влечет наступление Л22. Длйсмвнл над собымилии 25 события А, мы будем записывать в виде ю н А. Это по сути означает, что исход ю является элементом совокупности (множества) А', или, как еще говорят, нсходсо ври надлежит к событию А. Если каждый элементарный исход события А влечет также наступление события В, то мы пишем А с В. Это фактически означает, что событие А является частью события В. Два события А и В эквивалентны (мы будем обозначать этот факт А = В), если одновременно А с В и В с А. (В дальнейшем символы н и с мы будем использовать не толью для элементарных исходов и/или событий.
Например, мы будем писать х н (а, Ь), подразумевая при этом, что число х принадлежит к интервалу (а, Ь].) События А и В, юторые не имеют общих элементарных исходов, называются несовместными. Другими словами, несовместные события не могут произойти одновременно. Если символом ~ обозначить так называемое луснюе множеснмо, не содержащее никаких элементов, то можно формально записать, что события А и В несовместны, если А Г1 В = Ы. Событие, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В, называется объединением событий А и В и обозначается А 0 В. Во всех вероятностных моделях, рассмотренных в предыдущих разделах, вероятносп обладала следующим свойством. Если А и  — два несовместных события в вероятностной модели (ь1, з$, Р), то Р(А 0 В) = Р(А) + Р(В).
(2.2.1) Свойство (22.1), называемое аддюниеностаью вероятности, хорошо согласуется с интуитивными представлениями и является характеристическим. Если события А и В могут иметь общие элементарные исходы, то Р(А О В) = Р(А) + Р(В) — Р(А й В). Пусп А с В. Символом В ~ А обозначают совокупность всех элементарных исходов, которые составляют событие В, но не влекут событие А. Так как при этом В = АО(В~А), причем АГ1(В~А) = Я, то по свойству аддативности вероятности Р(В) = Р(А) + Р(В ~ А). Отсюда вытекает, что если А с В, то Р(А) ( Р(В). Собьпие, заключающееся в том, что событие А не произойдет, называется событием, нротивоноложным А, или долалнением к А и обозначается А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
