З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Радиусы колес равны т,, т2, тз и та.,' ., ."."'» гй«к«2 )гз а — кч« Отт)вт: ЕЫ2 — 2 2, ГДЕ кк2 — * )аЗ,а — ° "ф ~» ( 2)" «2 ~ Х!2)г"3 а ' Х«ы т«тз рис. 37.45.2 аа)Л р»ЕШениЕ. Расчетная схема — на рнс. 37.45.2. Пусть ым Ыз, ГВЗ,'Фа) угловые скорости вращения колес ). 2, 3, 4. Причем, так как 2'и:,3 на общем валу, то ыз = о,З. Так как линейные скорости в точках коз)тз)ФВ А н В равны, то имеем кинематические связи: ь«) т« —— ь«зтг, ь«зтз =- я«ага »а 3'2 = ь«2 = — я«а = яз,я»«а, ь«2 = — Хаз,аь«а = йьз 'яз,а "ь24 тз Теперь, используя полученные соотношения, составим уравнен)яр)р«вз менення кинетического момента относительно осей Х, ХХХ и'ХХ-"И'.' — (ау,ы)Х = па, + 8лз тз» ф-,Ъ|Д =84.тз+8в тзэ хая«фХ» ю2 +»тф )»а» 4.:: йа~ягаа.:оф нфйфзгМии зтгаФюйг аюманга':,, 133 'где: Ёл'„-, Ва '-", силы касательного взаимодействия в точках сцепления колес 4',и,;6; причем знак.емнгнуса и кинетическом моменте относительно оси , .ХХ-ХЗ'.появляется по)тому, чт вращение кол с 2, 3 яро положно ' .
Враизвиию колес ) 'и Ф Исключая 84 и 8в'', получим соотношение: ГПЗ Ыг 3 Гггг Ы4 1 У~22 гг~- . +Юг' — '/+гз~+ — + 73 — / Г . ',2 ! ! ,==~ ' — ггазФ4=-ш1 кгг+ 23 "яьг'Й12'а34ы4+ — 'гпг+г3 'ы4 ь3,4 ~43.4 ы4(+6')434+ г3 'гг! 2'4434+ гз) = ™1732я34 ™? ША,гй3,4 — Птг Е4=а'4= д ''2743,4+ '~3 ' '4ьг ' ~~3,4 4 "3 арабан А массы М~ и радиуса г приво- ) редством груза С массьг Мг, привязанного ! троса. Трое переброшен через блок В и на- 37.46А).
К барабану А приложен момент орциональный углоэффициент пропор- В О пределить угловую 4 начальный момент А ое. Массами кана- . Барабан считать Рис. 37.46.1 2о ), где 33= — — — —— ;.гф, +2М ) опм. 4И' Решение. Расчетная схема — на рис. 37.46.2. Разобьем систему на две части: первая часть состоит из блока В с грузом С, вторая часть— это барабан А Изобразим внешние силы, приложенные к каждой из двух частей. Это силы тяжести груза Мге и барабана М,я, составлянзцие реакций ?:: отброшенных подшипников в осях блока В и барабана А (Хв, Ул, Хш 3', ), момент сопротивления т, = ау3, силы натяжения троса 72 и Т,, которые равны по величине в силу равенства действия и протгподействия. Пусть уг — угол поворота барабана А.
Составим уравнения движения вьшеленных частей системы с по- мошью теоремы об изменении главного момента количеств движегшя 4. георегиа оо изменении главного момента х, относительно соответствугоших неподвижных осей Ве и Оа. Так яви бюгс' В невесомый, то уравнение для первой части принимает вид: И вЂ” (тв Мге ) =- Мгата — Тгтв. М В силу иерастяжимости троса ег =- фт. Поэтому получаем таМгтФ =- Мгктв — Т 3'а. Отскгда сила натяжения Тг = МгК вЂ” Мгтггг, Уравнение движения второй части системы: гг ~М,г~ ггт~, 2 — — ф == Тгт — ОуУ. Используя тот Факт, что Тг — — Тг =: Мгя — Мгтчг, перепишем уравггенага движения в виде: Мгт" ..
г., — уг == Мгят — Мгт ф — аут, 2 тг гягг (Мг + 2Мгг — — =- Мгут — гггр. 2 гй И нтетрируем уравнение по частям, используя нулевые начальмые.упгигай~ :Заметим, 'что Мзяг йп ыф = — = сопя!. ., г-+со а Звйввв 37.47((ЗT.46). Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вращающий момент т,я. Момент инерции колеса относительно оси.
проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости материальной симметрии, равен Ус, у„— коэффициент трения качения, Š— сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью. т — Мл~„— Р'„г Ответ; е = ", т., = М~'„-1 Р,,г. зс Решение. Расчетная схема — на рис. 37.47.1. При решении задачи следует рассмотреть два случая: 1 .
Колесо движется вначале без лроска»ьзывшя»я, т. е. вк =- 0 (К -- точка контакта колеса с дорогой; см. рис. 37.47.!), а затем прикладывается внешний момент т, . В частности колесо находится в покое, а затем включается момент гп, . е 2 . Колесо движется вначале с проскальзыванием, т. е. пк»'- О, а затем прикладывается момент т . Причем здесь ответ зависит от знака гк! Рис. 37.47.1 136 4.
теорема аб изменении главного момента Рассмотрим чти случаи в отдельности. 1 . Запишем уравнения для движения нентра масс С колеса, и уравиениа для изменения кинетического момента относительно нентра масс ~=.::;:!':-'';~ф Лтбс =- — Ртр, О =- Л вЂ” ИЛ, Лр =- тп'р + Етр ' г — Ук)у, (1)';::-";:: ~':;;;.:-;:. гле 1' =- Р» зяп еа, а знак ек соответствует знаку ис по направлению::." "',""',:~)~~ осн е. Кроме того, при ен ~ О, ~)Р, ~ = 2 Ю, а при ек = О Р р < уФ-':,':::: „~~~":„:: Пусть ее(0) = О, Выясним, что булет прн 1 > О.
Имеем кинематиче' ',"-.„.;;:~;:;;;. скую связь: ел = сс иг = бк '-' ес — ыг. Используя уравнения (1), отсюда получим е~ г',р г ек =- — — ~ — — (тп ~-К г — ~ МЛ) = 2 рр тр = — ~-Е, (г' 4 р ) — пт г и ~„гМт~, ~де р — радиус ннероаи колеса. Обозначим С вЂ” ~„гМя — глч, г, тогда (2) примет вид. ьк =- — 1-К„(г'1 р )+С~ ф'::,- ';1 111 Пусть началосьскольжениетак, что ел (О) > О„т е.
бл > 0 (так как ек(О) =О~, ''.~з ~~ Тогда Гр:= Хр =: /МЛ. и вьнюлнено, согласно (3), неравенство: — Хо(г +р)+С>0 = — р Рр< С, (4)-:::::;.'.: ' . г7+ 1 Если началось скольжение так, что вл < О, т е. эл < О (так каи ' ек(О) = 0). Тогда Г„=- — вр =- -)'МЛ. и выполнено, согласно (3)., нера- .'..'„ венство. э Ка(г + р )+С < 0 =-р Рр < — С. ',,-::,:'Щ."; Из Формул (4) и (5) следует, что при С > 0 скольжение точки К'::бу~,'!':' вправо, если соблюдено (4).
а при С < 0 скольжение точки,,:К:, '~','.;; влево, если соблюдено (5). таким образом, объединяя эти условия,':,маяча);,";-!':. утверждать, что при $ Гв = УМа < „—,ч рз)С) = —,~У.гМ® — тв, г~,:,:.::::."--':::~Ф:;:;!~; будет скольлсение с качением. А если ) Ь = У)(уа > —.,)С) = — „, ~ЛММ - тп то бурет чистое качан()е'при1вф =,О;,; ...,:,; ',:: ',.".'"-, '-.,: '!',!':;;,:,"::~;",' ' " - "' ""ме Ф!!зйческии с)йь!ет! ус4овйй(6» и(7)абаков: при мазом трении (Р << !) бу)1ет скольжение с качением. а при 'большом трении.
(у ".р Ц .— чистое : качение' будет сМфаняться. .Геперь легко.получитЬ ответы к поставленной задаче. ')) Если' выполиейо (6) и С =- т(Д,Мй '- тп ) > О, то будет качение со'скольжением так,.что ек > О, и при этом из (1) следует: так как из (6) следует: Ясно, что этот случай реализуется для уже двигавн1етося колеса. Если колесо локаиссь, то движения яе б>дет в силу неравенства С > Ое=р ~„М~ > и! (т.е.оченьболыдой моменттрения качения!). 2) Если выполнено (б) и С вЂ” — г(~„Мд — гп, ) < О, то будет качение со скольжением так, что ик < О, и при этом из (1) слелует: так как из (6) следует: Ясно, что в этом случае движение будет происходить и из сосыеялия покоя также! Здесь моменту гп„р удается преодолеть момент трения качения.
Отметим, что именно этот ответ приведен в сборнике [10). 3) Если выполнено (7), то будет чистое качение (или останется чистое качение, если лвижение колеса с чистым качением уже было! ). В этом случае уравнения (1) имеют вид: ! Мты=-Р,р, Ли==Р, .т- -С, причем Р„, -- это сила трения покоя, лля которой должно соблю- даться условие: ~!Рр) < ~Мд. Из уравнения (3) имеем: м(У+ Мг ) =- - -С = --(~„МЛ вЂ” т„р), ! Мг М С ~тр — + з (ЬМЙ тпрр) Х+Мтз У +Мгз г! ь р' 138 4.
Теорема об изменении главного момента овлетворяет образом, зд т М г,г г т„, — г„ме ,У + Мгг и„, обеспеч В силу неравенства (1) эта сила уд трения покоси ~Гч,! <. ~МЛ.'!аким Разберем .геперь вопрос о выборе г и, т е. е =- и - О. Положим т,„.= ~„МЛ Тогда уравнение (3) примет внд: .!ФФ неравенству для силы !'~йи~, есь угловое ускорение: ивагощем постоянство,:аа1(фф» О.
к (гг + ,г) ~,(гг , Рг) ьвп вк 3 Из полученного уравнения следует, что бя —. О (бл > О влечет вгг > О, н ик < О, т. е. противоречие, ана огнчно приводит к противоречиго предположение тя ( О). Итак, бк = О =ь Тг,р =- О. Тогда из последнего уравнения системы (! ) получим ы = е =- О, Таким образом, если колесо катилось без проскальзывания, то прикладывая момент.:,.:::.,",,':-:,-';::;~'"' т, =- ~„МЛ, мы также получим качение без проскаггьзывания, поуже с постоянной угловой скоростью. 2" Пусть колесо дв~палось с проскальзыванием, т.
е. игг(О) т~ О. В этоМ случае последнее уравнение системы (1) имеет вид: Л' = гпр — Т„МЛ > ТМдт, если агг > О, ,Ы == т, — ~„МЛ вЂ” ГМЛг, если ил СО, а постоянство ы обеспечивает т,е, выбираемый из соотношений:',;:~~))(г))(~1 тп =- Д„МЛ вЂ” ~Ма. г при ил > О, ,)е) г(фщ т,е= УкМЛ+ ~МЛ г оРи югг <О. —.~,' ..ы, '~я Соответственно, равенство (3) имеет вид: 1 1, ...-::: .":;:::'~4~~1 ик = — [-Ро(г +р)+~Ма-г~ = — ~Мдр <О при:.эи>-6„"'- вгг = ~(+Ро(т +Р)-У~Ф т1=+-УМЯР >О пРи:..
ФЛ<:6' 2 г' . г Эти соотношения показывакгт, что через конечное время будет'®:,„,",'::~1к и мы приводим к.едуча(о,.рвссоютренноа1у взпщкто 1'. '4, Ъ)з)()ему'о6 иэмвяйтгпи глййного ь(омапга ЗВ(йвча-ЗУ.ч(з:ГЗ».4гф, Определить угловую скорость ведомого автоьйзбилвйого колеса:-массы М -и радиуса. г, Колесо, катящееся со сколь(кенйем, по'гаризонтальиому шоссе, приводится в движение посредствоьз горизонтально направленной силы, приложенной в его йеитре масс:С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
