З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так как дливы урввне-' им уравнение ! э точки касание ",;:;. ,2 ! — йэ- !-2Ут-2 — ~2У! — 72У =О 3 3 где Х! — — 2Ф!, !!т Мы рассматриваем плоский случай. В силу малости коэ4ф в уравнении можно пренебречь моментами трения качения. П лучим: ту! + Ф2 + Фз — Ма = О. Можно считать, что наибольшая нагрузка приходится на край т.е. на шлифуюшую кромку н на задние колеса, Тогда 2У!' ж из составленных уравнений равновесия получаем, что 5 'Георема об изменении кинетической энергии г(А(Рян) — Р;г, .
Игл — Е„,, дал = -)2Узв(й где и =- в!!г. Осталось вычислить величины 2У! н 2(Ф! + машина движешься равномерно н прямолинейно, то справе ния равновесия сил, приложенных к твердому телу. Состав моментов для сил относительно оси, проходяшей через с поверхностью передних колес: „2 — 2У! — + тт -2 = О. 3 3 Теперь составим уравнение для суммы проекций сил на ос!с Фз = -Мя, )Уз = -Мя. 3 ' 3 С учетом вышеперечисленногтэ, Уравнение (!) яр!гнет,!нцс, Π—.-,.-...1:-"-'Мщ В '-,, Д-:Мяы,й, +:ФА(и3ч, т = 2к!Гзч '"! ! ициента Д "Й '„-т!! '"' е в !:--;::Йодсуавг!мадзгдй:ы,.=,,р/и и4се идены гйэдедим иа г!8; В результате перейдем !-,::,к агёгцйости: 2 ' ! ' в О= --уМ8в — -ДМ8-+й~, г' Поэтому:мощность двигателя,,передаваемая на оси колес, равна 'М8~ й" = — ~2~+ — )в.
')' Замачаниек аадачв 33.13. Рассматриваемая система является, вообше говоря, сппически неопределимой,'так как нормальные реакции Фо !тп Ф, невозможно ойределить из двух уравнений (моментов н проекций на вертикальную ось!. Поэтому в решении и было принято упрошаюшее предположение з1г, - О. Более строгое решение задачи возможно, если предполагать грунт линейно упругим при абсолютной жесткости автомобиля (или наоборот). Тогда решение становится однозначным, так как можно записать третье уравнение, являюшееся кннематнческим и отображаюшим тот факт, что точки контакта опор при деформациях грунта всегда лежат на одной прямой.
2). На вал диаметра 60 мм насажен маховикдиа- й !80 об/мин. Определить коэффициент трения валом и подшипниками, если после выключении лал 90 оборотов до остановки. Массу маховика распределенной по его ободу. Массой вала преЦ "чь Рвшвнив. Расчетная схема — на рис. 38.!3.!. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме лля системы, состоящей из вала и маховика: Т вЂ” Тю —,',г, А~а ! +,~ А~~,'~. Рис.
33.13.1 8. Теорема сб изменении кинетической энергии ''ЯЛ Работу совершают лишь силы трения скольжения между валом и,гя22(-;,'':::: —;Й шипниками: Л(Р",„) = — / (Х', + Л',г,) — ~Ар =- — / (ггТ, + ~Лг~) — г(92 =- 'д, ,/ 0 о =. — ~ЛХ8- 180а' =. — 90~М8тггГ, 2 так как система до остановки повернулась на угол с2, Кинетическая энергия системы в начальный момент вре Х,ь2а2 1 .0 " 2а - 180 9 В конечный момент Т = О.
Поэтому 9 — — М0 я = — 90~ИргН 2 Ю~ (0,5)2я 20821 20 . 9,8 0,06 Отсюда коэФФициент трения скольжения равен =: 22ггг = 180я."';:.'4 мени: 222 2 ... з г::'Ж По'айайогци-с фещенлгем задачи 38.13 А(Ф, ) = — Дт+ М)8.— Фр =' .-'~(т+ М)8- . 2ггп, а где и — искомое число оборотов вала до остановки. Приравняв изменение кинетической энергии системы работе сил, получим уравнение: — — (тЫ~ + 2М23~)4зг~ = — ~(т + М)яйгп.
ООтсюда (тг)з+2М23з)4пт (500 00!+2.3000 4).4яз и= - - !09,8 (оборотов). !бу(т+М)уйг !6.0,05(500+3000).9,8-0,! я За!йача 38.15 (38Л4). Однородный сгержень ОА длины 1 и массы М может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси О, проходягцей через его конец перпендикулярно плоскости рис.
38.!5.! Спиральная пружина, коэффициент упругости которой равен с, одним концом скреплена с неподвижной осью О, а другим — со стержнем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, причем пружина при этом не дебюрмирована. Какую скорость надо сообщить концу А стержня для того, чтобы он отклонился от вертикали на угол, равный 60' 2 Рис. 38.!Ь.З ! Г9М81 + 2язс Ответ: в =.
6М Решение. Расчетная схема — на рис. 38. ! 5.2. Согласно теорел1е об изменении кинетической энергии для стержня имеем: з Π— -Уо,ю =- -МЛ-(! — сох р) г А(М„„). Работа момента упругости спиральной пружины А(М „)=- — — Р. с Момент инерции стержня А Рис. 38.16.2 М1з ° уох— 3 170 5. Теорема об изменении кинегической энергии ~~3о ~, 4 29) )~ 21 ЗМ)г Поэтому концу А стержня надо сообщить скорость ~3 я~с ~9МК1 ", 2тг'с 'у' 2 ЗМ 'у' бМ ). К концам гибкон ичгожно малый блок (рис. 38.
16. ) ). Груз м вдоль гладкого вер отстоящего от оси центр тяжести этого мент находился на о под действием силы ег опускаться без н зависимость между и высотой его опу груза равна М Ответ: е~ =- 2г(а~ + Решение. Расчетная схема— изменении кинетической энергии ской системы, включающей в себя нерастяжимой невесомой нгггью, и на рис.
ЗК)6.2. Применим теорему Ф.""::;;;. в интегральной форме для механнчв-."„';:"':.."3 два груза В и С, соединенных гибв~ф,::=":,~ невесомый блок зГ. 7~ Отсюда угловая скорость, с которой стержень начинает вращение,, '.':;,Ф чтобы отклониться на угол у == х/3, равна 'а 6 'Теузеаиг.юнамененни:~ииетйчесаей'енергйи ', 171 Ъаи)гйй движений начинавтхя йз еостояния покоя, то Та = О. Текуогсе 'ЗНЬЧЕПИ2Е.
КИНЕтнзЧЕСКОй ЭНЕрнан СнетЕМЫ. раВНО "в'. ' Мвс Т'=Те+Тс =.— + —. 2 2 Выразим, велнинну:ев через скорость ис. Для этого запишем геометрическзе соотношение: АС = асс + аг, где длина участка нити АС = 1 — ув. Здесь длину всей нити обозначили через'3, координаты грузов В и С обозначили соответственно через ув и рс,' и воспользовались условием ничтожной малости размеров блока А.
Топга. В момент, когда груз С опустился на высоту Ь, Ьес ггв х/а~ + Ь- Поэтому М (Ьис) М,гг, идМЬ2+ М,(а +Ь )! 2 (аг + Ьг) 2 ' 2(аг + Ьг) Работу при опускании груза С на высоту Ь совершат лишь силы тяжести грузов: А(М Д + А(МД =-.. М ЛЬ вЂ” М~К ~(~ .— ) — (~ — ~/аг + Ьг)1 == М~лй — Мд(хггаг + Ьг — а). Прнравняем изменение кинетической энергии системы работе этих сил: ег МЬг + М (аг + Ьг) М Ь М ,( а2 + Ьг „) 2 (аг ~- Ьг) 'отсюда 2 2 2 М~Ь М(~~ +Ь а) 172 5. Теорема об изменении кинетической энаогни 1 Задача 36.17(З ! поянительным г1 через блок, прив сы М1, находящ (рис. 38.17.1).
Оп кольцо О, котор груз М; опустив Определить коэфф небрегая массой М =М~ — -0,1 к Ответ: Т'.= а,( Решение. Расчетная схема — на рис. 38. 17.2. Рассмотрим первый втаб движения системы грузов, соединенных нерастяжимым шнуром, когда.,;;,; груз Р, принадлежит системе. Воспользуемся теоремой об изменении к~-;:;*;-",')1( нетической энергии в интегральной форме, Так как движение начииаетсй-:::~'. из состояния покоя, то Тю = О. Конечное значение кинетической энсренй ';;, (М ™~)1 МтеА 2' = 2 + А (М+М +М) 2 2 так как скорости грузов, соединенных нерастяжимым шнуром, совпаааФщ::,"!; Ф -*:: Й ? М+ М? УМ? "" и+и?+М? С такой скоростью груз Р проходит через кольцо 23. Пренебрежем ударными явлениями, происходяшими в момент, когда груз Р? остается на кольце Р, что возможно из-за небольшой скорости г?.
Рассмотрим второй этап движения, когда груз Р~ уже не принадлежит системе. Теперь М ? М ?,? т = — + — ' — — (Иг И,), т.=-0 2 2 2 й А Суммарная работа сил $а А(М8) + А(Р,„) = Ия в? — ~И?8 в? По теореме об изменении кинетической энергии имеем г? (М + И?) Мв в? ?М?И в?. 2 Подставим сюда найденное выше выражение для скорости гч И+и, - УМ? «в? (И + И?) ™К в? ? М?хв?. М+М +И Определим из полученного уравнения коэФфициент трения ~ между телом А и плоскостью: в1(М + И?)(И + М?) + в?м(И + ~% + И?) И? !в!(И + М?) + в?(М + ~А + И?)! 05(0,1+0,1)(0,1+08)+ 03 0,1(0,1+ 0,! + 0,8) 0,8 ~0,5(0,1+ 0,8) + 0,3(0,1+ О, ! + 0,8)1 1,, '...'-' " ПРн опУакйнн1! гРУзйв Р и Рг' йа Расдтаение а? РаботУ совеРшат толь- $.' ко:сила-тяжестиаовокупнрсти этих грузов Р и Р, и сила трения тела А: 4((И+Ига+А(Р, ) =-(М+М?)Я в? — Г„' вн т где () .
Рч, - ~!У вЂ” ~М?8 в ' (так как тело А движется по горизонтальной поверхности). Приравняем изменение кинетической энергии сумме работ сил: ? — (М+М?+М?)=(М+М?)8 в,-Жив~ 2 Отсюда получим 5. Теорема об изменении кинетической энергии ! Задача 38.18 (38.181. Однородная нить лежи~ на гладком горизонтальном столе, ! сиды тяжести другой части, которая свешива промежуток времени Т, по истечении кото если известно, что в начальный момент длп равна 1, а начальная скорость равна нулю. /Т, Ы+.УТ,г: Р~ Ответ: Т =.,/ — !и ~ — — ) Решение.
Расчетная схема -- на рис. 28.!8. 1, где а — координата:,'::~ его конца В нити, отсчитываемая вертикально вниз от угла А сизая.. '. в(0) = 1, а нить целиком движется со скоросгью х. Применигя:,;. .;)3 К теорему об изменении кинетической энергии".в .;:8 А ! конечной Форме для промежутка времени (О,Е(г нижн Тогда гпх~ — "4 инеи ник ею вклад талмвз;.
кальной чаети:::;-;:.-;:. Ясно, что силы тяже АВ нит в работу Авнешник сии дают сти, приложенные к верти и, т.е. изменению потенциальной энергии' .;::;;,:, Рис. Зв. т 8. з нити Аенсшннхим — П ж =-— д '3 — П(х), причем П(у)— если за нулевой уровень принять точку А. Таким образом 2 — = — гплв(г)Ю вЂ”вЂ” 2 < в~ -г лв(~Ь-~ =- -р(8-+ж 2г' 2 где гп = рЬ водя сокраш — масса всей ни ения, получим ди ти, а р — линейная плотност Фференциальное уравнение: Йх' = -84'+йу' ==а . ~~,~,2 (з Ф ЧТ ~Ь. :=Ф = — ° гй у у=т ~Т, $ ..:::;;:тут1дсуташгятг 'а 'тзоелщнее сззотьдзшение:ж. = Х, пояучйм ответ: Т= -'1п -'+ ', 1 Замечании и аэйвчэМ,1$* Заметим, что рассматриваемая в задаче система является системой с огзвасшвроллей сяязью. Этот факт сушестаенно влияет на решение задача. Именно, можно показать, что в процессе «сползанияь нити со стола всегда сушествуеттшозй момент 1 < У(1), при котором реакция стола в точке А станови~- ел гбиеввй, а вппследстаии отрияотельной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
