З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2 26р (тз + г2)2(2М2+ 9М~) 12 Е Э2 2 Ър (г~+г2)2(2М2+9М1) т~+ г2 2М2+9М1' Задача $8.28(88.28). В кулачковом меха-„- низме, расположенном в горизонтальной плж,. кости, эксцентрик А приводит в возврФйо, поступательное движение ролик 8 со в2твн»,", рис.ая эа 1 той 22 (рис. 38.28.1). Пружина Ь', соедийси ная со штангой, обеспечивает постоянййгй:-" контакт ролика с эксцентриком. Масса эксцентрика равна М МФ,. центриситег е равен половине его радиуса; коэффициент упругой% пружины равен с, При крайнем левом положении япвнги пру2кйбй:Ж; напряжена.
Какую угловую скорость надо сообшить эксцентрику:йбй.' того, чтобы он переместил штангу 22' иэ крайнего левого в, Кра1|2)ая' правое положение2 Массой ролика„штанги и пружины.преиФ6|Ф9~'::; Эксцеитрик'считать однородным круглым диском. В' ЩмфФАга 4)б, Йдмбгянвгн-мйжтичаййзй днеузгии )ВВ г Решение. Расчетная схема — на рис. 38.28.2, где представлены два крайних положения штока 23. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии, вся сообшенная в крайнем правом положении кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию пружины. Имеем: .Уа з сз Т =- — ь .=- -Л, 2 2 где Л вЂ” сжатие пружины, которое, очевидно, равно г (см. рис.
38.28.2). По теореме Штейнера — Гюйгенса имеем; Мгз Мгз 3 ° ~в =- — + — = -Мг . 2 4 4 Тогда получим: 1 г 3 -м ° -Мг -- -г --=-~ ы = 2., —. 2 4 2 тЗМ ~ путь проедет велосипедист не врашая ! начальный момент ои двигался со сковелосипеда и велосипедиста равна 80 кг. 5 кг; массу каждого из колес считать о окружности радиуса 50 см. Козффиземлю равен 0,5 см. "®' Р®цзйнне. Пусть а — путь, который проехал велосипедист до полной остановки, тогда а = в/ть — угол поворота колес. По теореме об измене- !86 5. 3еоремэ об изменении кинетической энергии нии кинетической энергии имеем (танк ! г ~ э 2 Π— ~ — -+2 -эые ! =-М„а =- -у.те8 —, 2 2 / К' где тя — общая масса системы, Х;= гп1ХИ вЂ” момент инерции колееа, гн, — масса колеса.
Используя кинематическую связь ыаН = ва, получим: еа( — + 2т,) = т0~,8— л ..д': )'т, и~Л~ — +2т~ г9 Гбз !з 40+2 ~„8тс ~, 3600 / ' 0,5 !О ~.9,8! ° 80 „'фй ! з ! 50 ! 4 5 = — !Π— — = — !О . 39(м).. 'я! !6 2 (!/2), !0-2. 9 В! 80 $6 8 ° 9 В! ..4~' Звдвчв 38.30(38.31). Груз А массы М, опускаясь вниз, при помо-. щи троса, перекинутого через неподвижный блок 23, поднимает вверх груз В массы Мз, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки С и 23 считать оанороднымн сплошными дисками массы Мз каждый (рис.
38.30.!). Определить скорость груза А в момент, когда он опустится на высоту гз. Массой троса, проскальзыванием по ободам бяоврв и силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система находилась в покое. Ответ: в=-2 рис. 38.30. з 8зевение. Расчетная схема предстввлФФ;:::;,;;.~„; на рис. 38,30.2, где в — скорость опудчаиз( ";~( груза А. Запишем кинетическуаз энергию !8!б':.':.-",.:::."'у стемы: Т=т,+У.+Ус+У.г .Согласно схеме, используя теорему: И~::,'~; Кнз)акзаттзчсЕС»СИЕ:СОРГО»ДЕН33Я ИОЛУЧНМ ИЗ УСЛОВИЯ НЕРаетижИМОСтн НИтЕй: и='вз=азггг',, ь»ггг=мз'2гз ' ь»згз=оз, юг=ос Отсюда получим !.' в Ь»3= — Ю, ЕС,=-, 2гз 2 : .
Кроме того, 3233 2 Мзг 2 Уз = — гз 32 = —. 2 ' 2 ), Тогда шютучим: М,ег Мгег Мзе' Мз г ! г Мзг' ! г 2'= — + — — + — — + — гз — е + — =- — в = 2 2 4 2 4 4 4гз г4 г»г М2 Мз Мз 'М+ + + + — '- 2~~ 4 4 8 2») г(8М, +2М,+7М, 2~ А = М»еЬ вЂ” (М»я+ Мзе)Ьн где Ь» — высота подъема грузов В и С.
Но так как ес =-в 2 Ь, =-Ь.. 2 Следовательно, 8М» + 2М2+ ™3 ! 2 = — ~ — / = М!яЬ вЂ” (М»д Ь МЫ)-Ь 8 2 О ! — ~»6М»8Ь вЂ” 8Л(М» ч Мз)к1 8М» + 2М» + 7М3 2 — чч2М,— М -М), 8 <- М ~-7М ясно, что для корректности необходимо потребовать неравенства 2М» ) М2 +™3 По теореме об изменении кинетической энергии зта величина Т должна быть равна работе сил тяжести на описанном в задаче перемен»ении, т.е. 5. Теорема об изменении кинетической знергии >2 р «Мгг)8 дсчитаем кинетиче. '.":.",ч> скольжения (иа „, 6«'-'::!:::;:": г>ис.
ЗВ.31.2 Ре скую эн шеиие. Расчетная схема — на рис. 38.3К2. По ергию системы, прелполагая, что А катится без ~Р ( тт 1 г т T =- — +-М!г и +-Мтв. 2 2 2 я кинематическую связь гаг = в (так как К Испол ьзу получим 6 У= — (М,+М;+МД. 2 ме об изменении, кинетической энергии в д 4Т вЂ” =пиа-Мы-Г -в В . чч > сила трения скояыкения, прияожекная к.В ости:ие создает при,втсутствйи щВекааьзьгнатт По творе форме им где Р В,а> моши Задача 38.31 (38.32). К ведушему колесу — барабану А — снего- очистителя приложен постоя~~ныл вращающий момент гп (рис. 38.3КЦ.
! Массу барабана А можно считать равномерно распределенной по егр ободу. Суммарная масса снега В, щита В А всех прочих поступательно движущихся чаи постоянна и равна Мт. Коэффициент ния скольжения снега и шита о землю ра- ~ «, коэффипиеит трения качения барабана землю равен «„. Масса барабана равна Мм радиус г.
ть между путем а, пройденным шитом В м его скорости в, если в начальный момент 1 б', тмрвгга:-Жидмн ИИЫ яняагнгвсяоой аиМЫзг ')В9 а::: исйтщьзуя.кинематнческув связь ьг = вуе н равенства ° 'гг, .' Мгж ' Рзр — У гцз згМз3' вв(Мз+ Мз+ Мз) = т — — у„Мгй — — уМзйв ! ~т у„Мгй — = — — — — УМзй2М,+М, ~ Интегрируем это равенспю от нуля до текущего момента времени 1. -в = а . (т — у„Мг3 — 1гМз3) а 2 (2Мг + Мз)т а 1 взг(2Мг + Мз) а=— 2 т — у„Мгй — угМз3 Замечание к аайачв 36.31.
Из-за невесомости стержня СЕ сила реакции между барабаном А и щитом В направлена горизонтально вдоль стержня. Поэтому в силу отсутствия движения центров масс барабана и щита В со снегом В вдоль вертикали нормальные реакции: ззгз = Миг дг~ =- Мя- З~щача 38.32 (38.33). Скорость автомашины, движущейся по прямой горизонтальной дороге, возросла от иг до вз за счет увеличения мощности мотора.
При этом был пройден путь з. Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если М,— масса каждого из четырех колес, Мз — масса кузова, г — радиус колес, Д вЂ” коэффициент трения качения колес о шоссе. Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплошными лисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь. бМг+Мз з з уд, Ответт А = — (вз — е,) + — (4мг + мз)яа.
2 г Решений. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической в энергии в интегральной форме для автомашины: Тз — Тг == ~~г А~' + ,'г А„.'. Кинетическая энергия Т = Ткут>м + 4Тищмз — + 4 1 Мгв' /М~в' гсгцг'~ 2 ~, 2 2 Здесь в — скорость кузова автомашины, равная скорости центров масс колес; угловая скорость колес ьг =- и/г, так как нет скольжения у колес; 190 5. Теорема об изменении кинетической эиерми моменты инерции колес М~гг с 2 Отсюда г 1 .= — - + 4 — + — — = и -Мг + ЗМ~ Поэтому изменение кинетической энергии равно г ггг 2'г — Т, = (иг — е,) ~ -Мг+ ЗМ, ' У,2 Из внешних сил работу совершают лишь моменты трения качения А „.
~ = — (2М ~~р + 2М гр), к где М„1 — момент трения качения передних колес, М„г — момент трения '-'='~'. качения задних колес, угол поворота колес р = з/г. Так как Мм = — 7к%~ Мм Укй2 ~~) А„, =- — (22„)ч'1 + Сильг трения околыше без скольжения. Силы происходит по горизо Работа внутренни то 2Дйтг) - = -Д, -(2Ф~ + юг) = -Д -(4М~ + Мг)Я'. Последнее равенство следует нз теоремы о движении центра масс автомашины в проекции на вертикальную осгс 0 = 2Л~ + 22Утг — 4М|я — Мгя.
ния не совершают работу, так как колеса катятбя,, ' тяжести не совершают работу, так как движеийФ::::~) нтальной дороге. х сил сводится к работе мотора: Подставим найденные выражения в (Р)г г г .,в (ег — иД ~-Мг + ЗМг~ = -у„-'(4Мг + Мг)я+ А., Отсюда работа, совершенная моторам, равна А = (бг-вг)( -"Мг+ЗМг~ + — а(4Мг+Мф=', = (вг -' и~г) -(6Щ+ Мгг) +, (4Мг+МЯв,, Фцййча 33.33 (36.34).
Стремянка АВС с шарниром В стоит на гладком горизонтальнпм 'полу, длина 4В =,ВС = 21, центры масс находятся. в серединах 23 и'Е сгержней, радиус инерции каждой лестницы относительно оси„проходяшей через центр масс, и равен р„расстояние шарнира В от пола равно л (рнс,33.33.1). В некоторый момент времени стремянка начинает падать вследствие разрьШа стержня е.й Пренебрегая трением в шарнире,' определитгя 1) скорость точки В в момент удара ее о пол; 2) скорость точки В в тот момент, когда расстояние ее от пола будет равно Ь/2.
! р с. зв.зз.г 1б)г — 1гг Отаат; 0 =и1~; 2) = — и ~l 1г+ рг 2 2(1г+ рг) А О С . зв.зз.г 1 Рецгенме. Расчетная схема — на рис. 38.33.2. Так как пол гладкий (нет сил тренин), то центр масс стремянки не будет перемешаться вдоль горизонтального направления. Лестницы АВ и ВС одинаковые.
Поэтому центр масс стремянки все время будет находиться на середине отрезка ВВ, т.е. на оси у. Поэтому и точка В все время будет находиться на оси у Применим теорему об изменении кинетической энергии, г'глав .гв,ьг ~ г г, То= О, Т = Тав+Тас — ' 2Твс — 2 + ) =-твд ь тр ьг . Выразим скорость центра масс стержня ВС ид и его угловую скорость ьг через скорость точки В.
Для этого запишем геометрические соотношения: уд == 21соыр, зв =-1з1п р, ул =1созуг. Пролифференцируем их по времени: Уд = — 21з1пуг 1г, хд ==1соыр уг, ул — — 1з1п р р 192 5. Теорема об изменении кинетической энергии Следовательно Ув ., пв — — =!уз! =- . 21 з!п ~р' 21 яп )л з в ° = й -+ у:=! соз уз. уз +1 з!п !л.уз =.-1 у) 3 .2 .2 2 з,з з. з .з з.з ив 4 япз )р ',:лз :Ф Поэтому ев "в глав 1 +р 7' =- тп + пзр 4 з!пз уз 41! з!пз ~р 4 з!пз уз 1з Работу совершают только силы тяжести: й! б м( в=~Ми Ь)-и ( 0=2~1~ — -~ ю) — ~~-и~'т> 21 Из теоремы об изменении кинетической энергии имеем: Ж! зз! „щз 1з+ рз (ь„21созуз) -- гпй(А — 21 соз р) =з ив --: 21 яп у 4япзу )з 1з+ рз ! ) Скорость точки В в момент удара ее о пол, когда р = 90, Гб !й !Ф 2) Скорость точки В в тот момент, когда расстояние ее от пола равно,; 3!з Ь Ь, Ы вЂ” и созуз = —, япуз = ! — —, будет равна 2 41' !61з* )зз !) Ь вЂ” 21)г/(41) ! !61з Дз, ', .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
