З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Момент )гнериии колеса. относительно оси С, перпеидикулйрной плоекости' материальной симметрии, равен,гс., ӻ— коэффимиент трения качения. 7" — коэффппиент трения при качении со сколыкением, В на альный момент колесо находилось в покое. Мл Отвд: ы = — (7г — ~к) г. 7с Рис. 37.48. З и Решение. Расчетная схема прелсгавлена на рис. 37.48.!, где в отличие от рис. 37.47.1 к предыдущей задаче к колесу приложена в венгре масс С горизонтальная сила Е вместо вращающего момента пг„,. Здесь также решение зависит от того, скользит точка контакта К или нет. Но так как в условии задачи указано, что качение происходит со скольжением из состояния покоя, то рассмотрим лишь этот случаи. Итак, пусть пк(0) =- О, ы(0) =- О, ес(0) -:- О, но Ьк(0) / О. Запишем уравнения дви»ения аналогично тому, как это было сделано при решении задачи 37.47: Мбс Кр + Р О: )тг Мя ./ы =- 7,р г —,7„)У й где Г, = Ев зйп ию Ре = 7'МЛ при ек Ф О Ймеем кинематическую связь ьч вк=вс-ьзг ==х Ьк=бс-ьзг= — Ер~ — + — ) ч.
~ ---+ —.-МЯ ~ (2) "з,м,7) ~М,7 4 Теорема об изменении главного момента Из со«лношения (2) сразу следует. что при качение со скольжением нереализуелю (предположение бг; > О =-Ф (так как гк(0» = О) и предположение вя < 0 =;. вк < О, при к противоречиям!).
Таким образом, скольжение будет при: Предполагая неравенство (4) выполненныл«, из (2) получаем, что в т. е. вк > О, и реализуется схема, укаэанная на рис 37.47.1. В этом из последнего уравнения системы (1) получим: .)ф == ~ЛХхт — ~,,Л7х -- Мя(7т — ~„) «-=х «вЯ =- Мд1(7'т .7 (это от««ет, приведенный в сборнике (10)), Отметим, что для корректн«эсти рассуждений необходимо еще полагать, что )т > 7„. Это условие обес чивает ы > 0 =.з ы > О (см. последнее уравнение системы (1), где След положить 7т„— УМх, ввиду предполапгемого проскальзываиия1). реальных колес коэффициент трения качения (вернее, отношений 7 достаточно мал, так что условие (5) оправдано! Нетрудно показать, условие (4) при наличии нера««енствз (5) влечет неравенство Р > ~Мд', иэ первого уравнения системы (1) следует Юс > О. Таким образом, к ответу, приведенному в сборнике (10) необходимо добавить неравенства (4) и которые обеспечивают реализуемость качения со скольжением, А еслй равенство (4) нарушено (т.
е. выполнено (3)), то при условии (5) и уело т'т > 7„Мд реализуется чиолве качение (вя — — О, вя =- 0). При этом.вт ке к«я«такта возникает сила трения покоя Рч„которая заавсша от сйяы Г =- — К+в т1 Мв рз+тт рт+тт где р =,У/М вЂ” квадрат радиуса инерции колеса.
Прн этом углоав(в'у)дав г рение е дается формулой: т.е. угловое ускорение уже зависит от сиды Г1 зая«ечавивкаапачв Зу«46. Зог1рорм о качеии«1. расцыприваемыев4ад11«гФ~Фух и'37 4$, изучались в моипграфгги П;;Павлове «Лекции:отрави«ии«т112). Рйгийигле. пусть для силы Р вгаполнено условие (4) из решения 'предыдущей задачи 37АЗ (условие (5).
естественно, предполагаем выполненным!). Тогда угловое ускорение дается Формулой: Му г = ы = — (7г 7к). У Если силу Р увеличить в два раза, то условие (4) сохранится заведомо, и ответ останется прежним, так как он не зависит от величины силы В! .49). Через блок, массой которого кинут канат (рис. 37.50. )); за точку А В А Рис. 37.50.1 еловек, к точке В подвязан груз оли- еловеком.
Что произойлет с грузом, ет подниматься по канату со скоро- но каната? подниматься с канатом ью и72. в„ Ю = вв=-. 2 твв ' г + т(вв — и) г =-- 0 А Замечание к задаче 37.50. Отметим, что при решении данной задачи делается (в условии задачи это гп~ $ не указано) допушеине о мелесомости каната. Если канат имеет вес„то решение сушественно изменится. Рис. Б?.50.2 Раавние. Расчетная схема — на рис. 37.50.2.
Применим к системе «А + В» теорему об изменении кинетического момента относительно точки О. Ясно, что сумма моментов всех ммешми» сил, приложенных к этой системе, относительно этой точки равна нулю. Для силы реакции„ приложенной в точке О, это очевидно. А силы тяжести в точках А и В лают моменты, рав- К ) ные по модулю, но противоположные по знаку! г' Пусть вв — скорость движения груза В, направленная вверх. Тогда имеем кинетический момент относительно точки 0; 142 4. Теорема об изменении главного момента В Чаетисетн, ВСЯ СИСШМЛ На РИС.
37,50.2 бУДЕт ДВИГатЬСЯ С УСКОРЕНИЕМ. КРОМлта(2пг так как контакт каната с блоком -- это, вообше говоря, иеудерживаюнзвв сзввлза„'лй- НЕбЕЗЫНтлрЕСЕН ВОПрее О ЗНаКЕ ВЕрЗИКЛЛЬНОй (НОрМГШЬНОй) рсаКцнн, Лвйетауан. з шей в ?очке контакта каната с блоком. В частности, можно показать, что при ивсйа =' каната в 5 раз больвзей масси человека, в определенный момент будет наблхввпь-:„ ся ллзрьзв каната оз блока доказательство этого факта основано нв применеиии',:, теоремы о движении венгра масс системы влолыертззкази и здесь не примзлнтси..;:::~~;~„ Рачиенип. Здесь надо добавить кинетический момент блока, Хоразу-,:,',,'~!Ъй 2 .'*.йтл":" рый ранен л", зпе .з .=- тлт /4, ьз — угловая его скорость.
если верея(42:'й(''-"з»;::- не скользит по блоку, то имеем кинемлтическую связь: ыг = вв. ~'::"::~="„;:. получим лля общего кинетического момента: гп г гпвв-т 1 гп(вв — и) ° т+ — т ы = 0 4 ! 4 = гв.г+(вв — в)+ -вв ь б ь=ь вв =- -в 4 9 Задача 37.52(37.51». Круглая горизонтальная платформа мсаКет,: з,',- вращаться без трения вокруг неподвижной оси Ол, проходящей чзчл(х,.:: ее центр О; по платформе на неизменном расстоянии от оси,ОФ.,';,, равном г, илет с постоянной относительной скоростью и чеярйе$%~!: масса которого равна Мз. С какой угловой скоростью ы будеФ,за)~'-: р этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее мг маг(ни(з;; считать равномерно распределенной по площали круга радиуагг,Мь',.'; а в начальный момент платформа и человек имели скорость, ра2яйл)2!;:: ' НУлю? 2Мзг ~тает' ы = Млг+2мгг и.
"в)' Реиеимй. Расчетнаа схема — на рис, 37.52Л. Кинетическйй" системы платформа + человек? относительно вертикааьнрй: ос(т. нии АВ сохраижтся, тах кдк виещине силы ие оззлают момрптг~з тельно этой астг (ОИН либо парадзгелыий втз, Как Сиды тя~: М~', либо ее пересекают, 2д(к си»ы рвах(22(и в точках 4 и з(». Огзввдв)т~'„, „ Л~,+Щ(а~'. -;,м».; в;ш О,::,,:-::-:, .::,;:-'„:-':: -;.',-':-,!:. ~- '. где Х = лет)2 /2 — момент инерции платформы относительно оси АВ, т и — ее угловая скорость, Отсюда получаем: 2М1иг М= М В2+ 2М гт За~риз 37.63(37.52). Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр 1 масс (рис. 37.53.1), с постоянной угловой скоростью ыв, при этом на платформе стоят четыре человека одинаковой массы; два — на краю платформы, а два — на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы.
Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, буду~ двигаться по окружности в сторону врашения с относительной линейной скоростью и, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, буду г двигаться по окружности в противоположную с~прону с относительной линейной скоростью 2и2 Людей считать точечными массами, а платформу— круглым однородным диском. Рие. 37.53.1 Ответ: Платформа будет вращаться с той же угловой скоростью.
4. Теорема об изаменении Рвшанив, Решение здесь аналогич с использованием сохранения кинезиче тельно оси вращения. Пусть ьив -- началь До движения люлей кинетическии моме Кв --- 2ьзв + пзиавВ 3 7 Пусть иа — угловая скорость при указа Тогда: К = Ли + 2гп2г(ыК + пз з- =- Л + 2тииьзй. Ч 2итииа Но так как К = Кв, то получит ьи == ьв «ча 32.54 (37.53).
Решить пред что все люди двигаются в сторон тформы 22, ее масса в четыре ризза б зномерно распределена по всей должна быть равна относительная ы платформа перестала враицаться Ви 9 Ответи ьзз = Ьзе —, и =- зтмв 92т В ~Ф Реаиениа. 8 новых условиях имее яу' м К =,Уьи + 2гп22(ьз22 + в~ + 2тп — ~ьг— = — аз+ 2итий и+ 2тп — аз+ 4ип 2 4 4тл 2 р7 = — 22 ьив+ 2тйьгОИ +2ипазв— 2 4 9, 2 9, =-"Ф -ити4Гяи + 422222ти — -'тйЯ ьив 2 .'';,, 2.. Ответ, 100 об/мин ~' .Решение.
Расчетная схема движения человека на скамейке Жуковского — на рнс. 37.55.1. Так как внешние силы, приложенные к системе человек + скамейка» либо параллельны оси вращения Оа (силы тяжести), либо пересекают ось (силы реакции гладких подшипников), то ')'Мр,Я') =-О. ф. т Ф Следовательно, имеет место закон сохранения главного 6 момента количеств движения системы в проекции на а ось О,: Кр, — — соим. ПозтомУ,Угог~ =- Угогг, Отса)гга в А ~.г =ы,— '. .гг Ь Рис.37.65.1 Аналогичная зависимость между числами оборотов системы; Уг 0,8 /об'~ пг = п~ — -'= 15 — — =- 100 ~— .Уг О !2 ~ мин( 561. Горизонтальная трубка С!Э может свободно '1 ртикальной оси АВ.
Внутри трубки на расстоянаходится шарик г1т' (рою. 37.5б.1). В некоторый убке сообщается началь- ! ь ого. Определить угловую в момент, когда шарик Момент инерции трубки ращения равен l; Ь вЂ” ее небречь, шарик считать й массы гл. г г ого' Рис. 67.66. г 34мФчэ Ф''И (37 641. ''человеку,'-стоящему на скамейке'жуковскопа,: в:то время, когда. он-йротянул руг(и в стороны. сообщают начальную угловую скорость..соответствующую 15 об~мин," при этом момент-инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен О,З кг и .
С 'какой 'угловой скоростью начнет вращаться скамейка с челоггеком, если, приблизив 'руки к туловищу, он уменьшит момент ййсрцйи'системы до 0,12 кг. м 2 и. Теорема об изменении главного момента Решение. Расчетнал схема представлен- '',' ие. 37 56.2. Воспользуемся теоремой об на''.," нии главного момента количеств давящая,,:::,$~ф~ емы ::4~%4 «трубка СП ч вал АВ + шарик Мэ сительно неподвижной оси Аа. Так как всВ.:;::.""твф~ ы либо пересекают ось Ах, либо ей парве' '::.':~~~А~ ны, то АКл, = =.О. '"~г В(ф К„, = сопан ил главного момента количеств движенгвг'л","ч„", ;;".~)Ф1 лфявн х.
Выпишем выражение для Кл„выбрав,-",;;:~!':,. по дуговой стрелке угловой скорости ю",:::;: ';:.ф~ м К(м1 СМ х гп(в г 6,)~ = М х гп.ю, + прл,СМ х дт", = пт.м СМчО=-ты е, на р мене сист отно сил лель Следовательно Рие. 37.56.2 Имеет место закон сохранен системы в проекции на ось А положительным направление — Л Лх мнрусми Кл. = уы = г1рл~~ = прл,С так как Смхтпгуг=О, СМ= Поэтому ыа(У+тпа ) = ьтг(Х+ гяЬ~). Поэтому угловая скорость трубки в момент вылета из нее рзарика ,7., + ДАХР Заметим, что угловая скорость удгеныФвется при 'увеяиггейитЕ' инерции еистемыг юноснтедъня ори Аа. Клх =.ггл+пки х =ьг(г+птю~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
