З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Итак, для угиеныиения п~::„.';.'~~.,, ф явленной длины дополнительная хгинизгильная масса должна бмт2ь: 1"" ' размещена иа расстоянии от точки подвеса, равном половине нйаг4'' приведенной длины, 2'. Ы = е ) О. Тогда согласно (!), имеем х 6 (1, оо). Формула (2) .П!ааг,' обретает вгцг; М2х(1 х) . Мга.а = М2(х) =: ., х б (1+ е~';ей$.".,='. Ига+ Мзх х(х.— 1-чт)* из последнего вырюкения ~ледует, что гп!6М2(х) = О н доетг1~„ этот минимум ори х = ор. Итак,. уаеаикеиие п)2йвгедеййой;-)О!гвг!х!);:,- ЬК2ХГЕТ быть осушеетвлеж;,как МОднй ягФЮ» ДОпгиГНйта2ГЙЙгй тай!ай)ф~;" помещаемой.
на довтатгв)зйу Одежа'.йаййтоеиг!ж.втлхйгкм:,газйа~ж'' „:;2 ащ?вм 4Ь3(ав?п 3'Ф.31:(37.36), Для определейия мом нога тела х?гносиФельно, некоторой оси АВ; про 'масс,б' телакегй подвесили жестко скрепленн ' АЭ и ВЕ? свободно насажейными на непод ную ось ВЕ„так, что'ось АВ параллельна 22Е (рис. 37.31.1) приведя' затем тело в колебательное движение, определили продол-жительность Т одного размаха. Как велик момент инерции,7, если масса тела М и расстояние между осями АВ и ЮЕ равно 7?? Массами стержней пренебречь. Рие.
37.31.? ьФ" Решение. Согласно условию задачи мо- о В мент инерции тела относительно оси вращения ~8 23Е (см. рис. 37,31.2), с использованием теоремы Штейнера — Гюйгенса, есть: ?РВ = 'ГАВ + М)? ° Тогда приведенная длина, по определению, есть: .7АВ + М)?2 МЬ Рис. 37.3?.7 где Ь вЂ” расстояние центра масс 17 до оси вращения ВЕ. Согласно форд оама чес г малти? ка имеем: муле для по упери д темати ко о Г ,УАВ + МЬ2 Т?Л ГТ? Ь~ — 2 и Х ° АВ ™1 т ) ° Я М)? „2 х? я 2 (37.31). Решить предыдущую задачу с учетом массы родных прямолинейных стержней АВ и ВЕ, если масса х равна М?. ! ? (М ч М?)дТ2 ЗМ + 2М, ??2 3 Решение.
С учетом массы стержней А0 и ВЕ имеем (рис. 37.31.2) для момента инерции всей системы относительно оси вращения РЕ. М? Ь2 2 3 =.7ВВ ч 2 — = ХАВ+ МЬ + -М?Ь . 3 3 4. Теорема об изменении главного момента Расстояние от нового центра масс до осн вращения РЕ 1 / Ь Ь~ М+М, а — - -- — ~МЬ+М~ — +М~.-~ =ЬМ.~ 2М)~, 2 2,1 М+ 2М~ Приведенная длина в этом случае: ТАН + М" + -~АЬ г — — = так как T =-.
гг 3 Ь(М + М,Д 1(1г' получим: Г (М + М~)ф~ ЗМ + 2М~ .Т„, — Ь~— —.Ь а2 3 Задача 37.33 (37.32). Для определения момента инерции шатуна его заставляют качаться вокруг горизонтальной оси (рис. 37.33.1), продев через втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стер-' жень. Продолжительность ста размахов 1ООТ: — 100 с, где Т вЂ” половина периода. Затем для определения расстояния АС = Ь центра масс С от центра А отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке А к талям и оперев точкой В на платформу десятичнгях весов; давление на нее оказалось прн этом равным Р.
Определить центральный момент инерции Т шатуна относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна М, расстояние между вертикалями, проведенными через точки А и В (см. правый рисунок) равно 1, радиус цапфы крейцкопфа в. Рис. 37.33.2 Рис.37.33.3 РетнйНИЕ. Прежде всего определим расстояние АС = Ь из схемы рис. 37.33.2, составляя уравнение моментов относительно точки А: Р Р А — М3 АС=О =, "Ь= — 1, М3 Приведенная длина шатуна (см. рис, 37.33.3) ~А гС + Ми1 МЬ, МЬ, Тг,Г, + МГ~з (Т13 Р1 ' Р1 + М „ /Т2«РГ гс = Мги ~ — — — — г)~ - — — — — т ~,з М / ~ вт состоит из стержня ом массы т и ратся на продолжении , пренебрегая мася нужно поместить жительность одного данную величину Т.
«ь.й '). ение возможно, если ствуюшее знаку «минус Рис. 37.34.1 где Ь| —— Ь+ г — расстояние от центра масс до точки подвеса. Полупериод Т =! (с), С другой стороны Т вЂ” — я х/К ф =ь 4. Теорема об изменении о7аенОГО мОмвита м77 Решение. Ряс 7етная схема -- на А т .Уо =- .Т 7 Т! р77веденная длин квадратное уравне Рис. 37. 34.2 ! 7' »Ч 2 =-. — ~8 27г2 '7, Исследуем теяерь формулы ( 1). Пре решения необходима положительное жде гь 2 4 8 4 2 яя ) — яг 5 Кроме того, из физических соображ Рассмотрим знак «минус» в (!). Имеем Используя неравенство (2), получим 8 5 4 2 Х2 « — — 2. 2 822 4 2 -и 7' 5 2772 )8 2»2 ~/ — 772Г 'в' 5 Следовательно, ж2 < е и знак «минус Рассмотрим знак «нли2с» н найдем те неравенство ж7 ) т, т.е..' Ж2 = — ЯT — «у/8 2 — -7Г 7 2772 )~ рис. 37.34 2.
Имеем ' -3$4 5 а 7 7,"": 2 '~;!ь3У 2 2 Х 7Г ние 822 2 — ~ — 2=О 2 2+ 82~-4 „4г2 ~ Щ -",ф~~~~ 5 7 всего ясно, что для сущеетарваин»;;-' '.;!7,.:: У подкоренного выражения в(!),т.е,. 77)(72»7 82' ) ~~-яг, Я '7" 5 (2! -':-„: еиий следует неравенство ж > Ф', ": ' .~7»7»« 8 4 2 -7Г Г ,1 ! 5 / 2»2 4 8 42 "Р'»' 8У + 82У 7Г г» *:* 87)(!!«! 8 2 ! !8 78 » в (!) не лодищит для решен~''=':,'.~~!»';," значения Т, дяя которых собзгк2юи~!:::"",~ т Х'р2:.) 2»зт:=дГ':.:. - '::: — . -:..:::;:::::::::,:.,-'::,".-- 4;' .МЬзрваеайб:измейе~~~й 22»авноггг.мгвгеигЕ ....
12! Ёди $И:>с 2»гзг,"-то неравенство заведомо выполнено.:.пусть 8х. < 2я~г. тогзга,возводя обе,.части в квадрат, получаем: й. Т- - '-зг м'~ > 4тг зе '+ ~ Т:- 42г гф' . ' =Ф: 4»г гдТ > — в г ' 8'4 ' 42 2' '2 ' 2: . 2 2 2б 42 — яТ, > — гг г 4=> 4Т > 1,4я г. Прй выполнении этого неравенства заведомо соблгодается неравенство (2) и корень х1 физически реализуем. Ответ РС хг аз + ~2Т4 я4г2 при цТ ) ! 4я г ! / в 2 2 2„2 '( стоянии от центра масс должен чтобы период его качаний был усу инерции маятника относитр масс перпендикулярно плос- ~4~ Решение. Пусть х — расстояние точки подвеса до центра масс, Х вЂ” момент инерции тела относительно центра масс.
Тогда приведенная длина дается формулой: .Г-Г тх2 Г',Г'» ! 2 ! =: ( - г-+х == р — +х, гпх»т,гх х где р — радиус инерции тела относительно центра масс. Период вычис- ляется по формуле: 2 Т = 2я,,' — —.- — 1/ р2 — + х . ук,„гк» х Ищем минимум функции 21 у(х) = р — + х, при х Е (О, со). Имеем ! У,' = -р — + ! =- О х2 хсв=р а так как — 2р )О, .з то это — точка минимума. Таким образом, подвешивать надо на расстоянии от центра масс, равном радиусу инерции тела.
4. Георема об изменении главного момента Задача 37.36 (37.35). Чаягн крепленными нз нем грузами, верхний груз имеет массу гл,, на каком расстоянии хот нижн для того, чтобы период малых | массон сгержня пренебречь и ~рузы считать матери — ъ/тп! ч хlмдз Ответг х.== 1 /тч— т~+тг ик состоит. из стер расстояние между ко нижний — массу его груза нужно помес качании маятника б Решен рис. 37,36. К Ось х напра в точке О, а нижней мас т, итзтак Рис.
Э7.36.1 Считаем х ! хс == й =- (т1хвч + тзхги т~+т1 Будем предполагать, что а > О. положению приведенного маятнг (неустойчивому) положению маятни к случаю а > О. В предположении а > из неравенства: Это соот 1ка. Случ Запишем формулу для приведенной длины А тг(( — х)~+ тгх~ тг зв = х > —. (т1 + тз)а т1(( х) + тзх т1 + тт. Квадрат периода вычисляется по формуле з~о Фг~ т~(('- х)з+тпзхз -тД1'-'х) + тзх Для вычисления минимума обозначим': -т1(3 — х)+тзх = а(т, + мв. Расчетная схема изображена на;-':':зв)вв) где 0 — искомая точка подвесаг '=-',:,;ф~ вляем по стержню АВ, начало ее — .'.::: ~:",'„',-,, а положительный отсчет — вспзроиу, ';: :~1~ сы тз.
Топи х-коордннаты точек овы: х„„=- -(1 — х), х, == х. Фф(ф — координату венгра масс: ' ' --':,',:!"~518()) ,) =- —',„— т~(~ — х) + тзх). т~+тг" ветствует нижнему (устойчивомф",,;"::";~~ ай а < О соответствует верхнему'';:„:,",~ ка и поворотом на 180' свгздг«~си '::.'!~!~"-'"" 0 мы имеем область изменения Ф; -: '~ пз) > О «=> х> (.
Тжда" Йюлучнм' Г (пчИ.— Иа ( (+ Ю)'1 7"(у), = —:, ~пзг .. + гпз ф (гп~+гпг)2 У У 4ггг,, '1 ' ~)2+ —.пт1гп21, ф ~ ЭО. й(ФЩ+Ж2) ф ', Ясно,;что минимум Т2(у) при у > б достигается в точке 14 =-1х/й~щ2. т.е.. 'Е. х, = (т, + «/т2гп2). ГП2 + ГП2 Причем зто минимальное значение дается выражением: йя21,Га- — 2 Ь 21 1 Ь"1 1 4"1 ~ айп <— гп „1 ~ 3 /йг /р~~ 1' гп2 ~1 ™! п21 Ясно, что полученное х, удовлетворяет неравенству х. ) ГП! + ГП2 Снметим, что случай а < 0 приводит к тому же результату, если допустить поворот маятника на 180" (массы пг~ и гп2 во всех формулах нужно поменять местами1).
а каком расстоянии от оси подвеса должен 1 ескому маятнику добавочный груз, чтобы е изменился7 веденной ллины физического маятника 1 Рещение. Расчетная схема — на рис. 37.37.1, где С, — центр масс исходного физического маятника, причем ОС1 =- ао а в точке С2 размещена добавочная масса т2. Пусть ОС2:=- х и угол между ОС, и ОС2 Рис. 37.37. 1 4,:: И6~ФЙФ4Ю йзьявгтввли:6!ФююФ,вввивйтв 126 фэли ~у Ф О;".м,'урввйенив '(1) прйобретаэет' вщ»", и +~(2Лаз1ь-1~) — 2Ла~1, саара=О," ' '' ' (2) . тде Л = тпфвз — отношение масс. Любое положительное (е > О) решение .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
