З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 10
Текст из файла (страница 10)
сесзйот~'.=' — ~~з ~~,М (ф)).,' ..=='=.".' .' т)'атж-';М:,~-';!:;::: 'е' Решение стему, состоя Расч юиз уль следует раскрывать со знаком «+». -":.~))б) $,';:Твйв~:оо.иамвнвиитг отввйогр момента а :=»Ф::"Фи4:ЙР.=. -апи»ц ' =»ц» й '=. --к». Проинтвгрируем' полученное уравнение: »»о»." а.Г, о»о ' а — = -- ~ Ф =',» 1п — -'!подо —— — — Т. .л1. 'о»: о Отсюда искомое время Т = — 1п2 (с).
а Чтобы найти число оборотов и, которое сделает стержень с шариком за время Т, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде: а. т» = то. Отсюда получим .ИР а. у» = Ф фр ~о»о и = —. 4ла а Г о»о а = Ф= — / 4у» =~ — — мо = — — 2ип с1 2 ить, с какой землю спи- центр масс основания, ают момент — аоо, где рева относи- осью, вокруг рн падении, Рис. 37. $0.1 $ ов» Рашеиие.
Расчетная скема — на рис. 37.10.2. Составим дифферен'о циальное уравнение движения дерева: — Мо (Рь ) =~ Г»р == Мокшу — ао» . Ж мв об изменении главного момента 4. Теоре Проинтегрируем уравнение д~1 дф 1 —— Ат, др , тЬр /~в гЬр ! бртд 1 2 Лд Ья Сделав замену перемени Рис. 37. $0.3 .т ди — — = МлЬзю 2 Ар 2а 2МдЬ ===Ф 9 + — я = — яви.
1 .т Решим уравнение как линейное неоднородное с посто циентами: в = ц„„+ и„„. Решение и,, =- се -тар/1 ищем в виде и„н = А зтп ~р + В сов 1р. С помощью мета коэффициентов вычислим А и В: га 2Мд А соыр — В зш ~д + — (А ып ут + В сов эт~ ==— Х,т 2а 2а 2МлЬ = А+ — В =-О, -В+ — А=-— ,т ',г .1 4МлЬ а 2МвЬ 1 = А= В=— Уз + 4ат ' тз + 4а О, ав Закон изменения .2 ~ИЬ У -эггар(л ''™лЬ'У ф =ц(ф= — е '"~т + — (2аэшу-,7совф у?+4аз уз+ 4аз Поэтому утзвтвая скОРость дерева и моыеттг падения Используя нулевые начальные условия (ут вим уравнение для коэффициента С: 2МЗЬ,т О=С- — =Ф С= уз+~ з и у~ — а~р и ут — аф =.=.ь и р — а~р.
и = ф~, получим — аи =ь ..'. „:(~((Ь янными коэффи-,;';вива . Ч М:.;-'~э~( да неопределениык' ''::::::=;;!:,':.;1 з!й ф 2' =- уев = ~0. Сой!'::::,':::,'~у~::-::,~;.;::-" МВМна 37.-'!4.(ЗУ;.?й); вал радиуса. г йриводится во врашагельное двиЖейие вокруг торйзонтальнойь оси гирей; подвешенной посред. спюм троса: Для тог6чтабы угловая скорость вала через некоторое время по?сже начала движения имела величину, близкую к постоянной.
с валом соединены и одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится, к'силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии В от оси вала и пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен к. Масса гири т, момент инерции всех вращаюшихся частей относительно оси врашения равен,7; массой троса и трением в опорах пренебречь. Определить угловую скорость ь? вала, предполагая, что в начальный момент она равна нулю. ~туг е0? — ! 2 Ответ: ь? = ~! — °, где а = Х/тддйЯ; при доста- 1~! фпад еа? ! !' 7 ! ~пг? точно большом значении 1 угловая скорость ы близка к постоянной --.,/~ДВ.Я). Рвц?внив.
Расчетная схема — на рис. 37. ! !. !. Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя теорему об изменении главного момента количеств движения относнтелыю неподвижной оси врашения Оа. ?! = — (Л ? + ггпу) =- ту" — пЕ 72 ?(г ? =Ф вЂ” (Ло+ п?ь?г ) =- гииг — пГ ° В ?(г ? ?!ь =ь (,7+глг) — =тег — пГ ?г, ?и' где сила сопротивления г' = /сь? . ? Проинтегрируем уравнение: (У + тпг ) = ?7! ? ?!ь? пк — — ы? Рис. 37. 1! .! .7 с сссгс ~ссйтс ссай ~' тгсд тпгт ~~ т ЙВ,„/тр.тй22 !и — — — == — =- 2 стсдт .7 с. сптг 'т' пйЛ е — ! и св == а— ,.ьс+ 1 и — — =- е Π— ссс где Заметим, что при 1 -с со /щ~ св-с и =- ус — = сопи 7 пйВ Реионие.
Расчетная схема — на рис. 37.12Л. Угол поворота гдара'~р:::::;.",'!~в;!!;: вокруг неподвижной вертикальной' оси СЪ отсчитывается в поризонтася".: ной плоскости Сху. На шар действуют внешние силы: сила тяжести иф„сила натадсаиисг проволоки Т, момент упругости проволоки 'М, . Диффереициаща~Фя уравнение врашения свара вокруг оси а имеет вщ~: 2 т ' „.
5с Щ = —,М, где М, = ар, Х = -тяг, =~' ф'+ — у.:=.'6, . 5 . 2~м~' Регдение уравнения теорема оО иаменении главного момента .уф .ф~~ ф~ф Начальные'условая: Ц =О, д(О) = р,, уУ(О) =О. Отсюда имеем уравнения.относительно А.й а: . Ус = Ав1п а, . О = Ас — '' сов а. у 2гпгз х гуа=гг(2, А= д,.
/ 5с Закон двшкен1ш шара: у1 = 1рв сов ~) — 1. 2гиг' Рис. 37.12.1 =у' у Отавт: ур = ыр171 — гйп у7 — 1. с т',7 Рвшанме. Расчетная схема — на рис. 37.13.2. Ось вращения Ол перпендикулярна плоскости рисунка. 1 Дифференциальное уравнение вращения часового балансира вокруг оси Ол: ) лс... Зут = -М„„р, где Мгрр — — с~р.
Рис. 37. 13.2 с Поэтому ут + — д = О. Решение ,7 Р =Ай (1 — ~~. ). Начальные условия: 1 = О, ур(О) = О, ур(о) .= 1р ° нен к неподвижному корпусу часов. При повороте Рис. 37.13.1 балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для закручивания пружины на олин радиан, равен с. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсутствия сил упрупзсти балансиру сообщили начальную угловую скорость ис. 4. Георема об изменении главного момента /3 Поэтому о — б, А = ыс~~ —. Закон движения балансира: 12:=- ы„~,' — ып ~~ — .1 м 2 у Ответ:,7, =-— 2 У < Рецтение.
Расчетная схема — на рис. 37.24.2. Составим дифферен;: -;:;: '. циальное уравнение вращения тела вокруг оси го ""„; =-;~- М.,(У-;. е колебания тел ИФФеренциальное а вокруг оси А ! Задача 37.14(37.17). Для определения А оттюсительно вертикальнои оси Ое его и тик юьному стержню жень, повернув тело Л У~ОЛ Уть, И ОтПУСтНЛИ; ний оказался равным относительно оси 02 р деления коэФФициента на стержень в точке круглый диск радиуса колебаний оказался ра мент инерции тела Х,. и) тцл = -сут =."4':.' ' '!::::.~>~: уравнение описйвавг,"-::,':.
4.- 7ео)аваев д6'иязйзуеинн'тл~юзкаттФозцеиуе' ' ':: ' ' "97 Аш вйяонеиия велзрнейы коэ4иЬнцнеита с запишзем уравнение движения -: однородного:кру«лозтз диска Период его колебаний 2т тз — — — = 2к~( —. ьз 1/ 2с Поэтому 2тгзмтз с= Следовательно, момент инерции ). Решить предыдушую задачу в предположения коэффициента с второй опыт проделывают углый диск массгя Ми радиуса т прикрепляется и которого требуется определить.
Найти момент период колебаний тела т,, а период колебаний к нему диском тз. 2 ! зн' Решение. Воспользуемся результатами предыдушей задачи (37.14). Дифференциальное уравнение врашения системы двух тел имеет вид: с Мтг~ .У, + — ~ д ь с~ = О.
Поэтому частота колебаний системы 4 Теорема об изменении главного моменга Период колебаний Г:;" 2 к~ — —— Найденный коэффициент с подставим в выражение г, == сг, —. Палу- 2 4яз чим уравнение о~носительно момента инершги У,: Следовательно, Мгз т2 .г' =-— ! 2 т — г ' 2 ! Задача 37.16 (37.19). Бифилярный поднес состоит из однородного стержня АВ длины 2О, 1 подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей алины г, отстоящих друг от Ь Ь друга на рассгоянии 2Ь. Определить период кру-' А В тильных колебаний стержня, полагая, что стер« а а жень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каж-.' дой из нитей равно половине веса стержня.
указание. Прн определении горизонтальной составляющей натяжения каждвй нз нитей, считая колебания бн4!нляра малммн, заменить синус упа мезгду направлением нити. н вертикалью самим углом. 2я'а Г Ответ: 2 =— Ь ~за Решение. Расчетная схема движения бнфилярного подвеса: яра".! ставлена на рис 37Аб.2. Угол поворота стержня вокруг вертите!)вил)уьи:. СХ вЂ” уГОИ уг.
БудЕМ СЧИтатЬ утОЛ у! МаЛЫМ;т.в. 12 Рн Сидй. ЙИФЙ'':: жанни нитей ег =:е2 = щ~2 (ио,усзигвиих згргдчи).,при сбставлеуа!!и2 аиффсрСНИИаЛЬНОГО урааНЕНИл данжаизиа:Стсржня. АЮ Ущи,„,.зуО,~МЮ~~)22':," ' Г)тнОСйта6ЬИО ОСИ СД СОЗДаЯГт..ЛИТЬ.гтгайУС!НтаЛЬЙЬ2Е СКЗСтаадЯВЗГЙ$)Ф4!)))Ьг Рис. 37.16.2 1 1 1~ — гпаа -гп» !а о. 2 2 Из геометрических соображений нетрудно увидеть, что 2Ь айп ( р/2) 2Ь(у/2) Ь !а о = Ф Окончательно получаем, что ! Ь Д - -тд -д. 2 Уравнение движения стержнгс .7~ !Ь = — 2 - Д Ь соэ— т" 2 пт(2а) ~ 1 Ь 12 2 ~р =- 2 -~щ-р Ь. 1, ЗфР !Ь+ — 1Р = О.
1а~ так как соа — 1 2 Поэтому период крутильных колебаний стержня 2а а Г1 Т = — = 2к— ы Ь \( Зх ! натяжения нитей, которые равны Я = Р, яп а = -тда!и а. По условию 2 задачи а О. Поэтому 4. Теорема об измессеннн главного момента Задача 37.17 (37.20Г. Диск„подве ленный совершает крутильные колебания в жидкости. ка гугносительно оси проволоки равен Х Моме закручивания проволоки на один радиан, раве гивления движению равен абаи, гле о — к ! жнлкости, 8 — сумма плошадей верхнего и ни ! ка, ы — угловая скорость диска. Определить пе в жидкости. 4угХ Ответ. Т=— уу",у у ~„2 сг лифференциальное уравнение кругильных ко- -,'-,'с',,!'.,'...'„ введем угол поворота диска в горизонтальной чим АФ = — Мулл — Мс, '~7 .~у,~ Му,л = сзл, Решение лебаний диска плоскости — у . Составим . Для этого гол уу.
Иолу где момент инерции момент упругости момент сопротивления М, =- а5сл = аЩ> Отсюда имеем уравнени чем движе и, когда т, е. при малом сопротивлении. В этом случае баний й~ —— — - ~ — ~ = — 4сХ-ттз8з зг 2,г;г,2Х н условнцй перепл 3ф = -сзу — аЯуу а8 = уу+ сл+ 1 Полученное уравнение — это с учетом вязкого сопротивления. При хающих колебаний только при условн р= О. е малых колебаний лисий '...",;,, ния носят характер ~-..:::,!';:-:.
-::; Ф~йх<® <37Л6433.".МВ.':Тверд ое тело; подвец<енноуе на упругой Проводе<кар ЬмеР<йает.йРУгилвнйе колебания. ппа действием виси<него мо~<~е<па 'т,,:причем .тм. т, в<пай+ та ай< За<7, гле ш<, тз и в<в йосщйнййел< а а — ось, направленная вдоль проволоки, Момент сил .:.унрупгсти проволоки равен турр, причем п<„„р, — — с<<у, где 'с — 'коаФФицнент упруп<сви, а «р — ' угол закручивания, Определить закон выну:,кденных'крутнльных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси а равен 7,.
Силами сопротивления движению пренебречь. Считать, что з/с/.7, Ф ы н ~/с/У, Ф З<р. Л< Лз ..г с гп< Ответ: уг= а<о~А+ а<пЗь<7, где А- = —, Л, =- —, ьг „,2 Лг 9„,2 7 ' 7 тз Лз= .7, Рпшеннй. Составим дифференциальное уравнение вынужденных крутильных колебаний тела вокруг неподвижной оси а: '7х<7< = гпупр х + тря = .7,ф =- — с<<у + т< х<пьгг+ тз х<пЗ<рг =р с т, гп< = <<г + — <<г =- — х<п ьл + — я<п З~А. .7,,7, ,7, Собственная частота колебаний Коэффициенты в правой части уравнения т< тз Л< = — и Лг =- ---. 77 у,' Так как возбуждаюший момент равен сумме двух гармонических функций, причем собственная частота по условию не равна частотам возбуждения (~/с/,7, ~ <р, ~/с/1, ~ Зо~), то вынужденные колебания описываются законом Л< Лг явим = 5<пь<г+ з — х<п Зь<7 = Лг „,г Лг <з„,<г т, тэ х<п ь<г + — — — в<я З<рг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
