З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Так как в начальный момент х =.О' и. х(О) = О, тб мы'должны,принять С = О, т. е, имеем: ,т=Д +,. Мй берем 'Сг = О, так как х(« = О) = О; Таким образом, й: ' уб И,* ь«х= — ~Д.« =~ х=-й«. 2т3 6 Задача 46.34(45.34). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю — У. Вес единицы длины цепи — у, вес вагонетки — Р, Скорость вагонетки в начальный момент — ес, Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться. Рг„г Р Рг Ответ: — = е + — сйпа !— + 2 2(Р+ ух)г Зу (Р + 'ух)г ~Рх( Р' 1 + -ях сйп а + — ! — — — — — - СОЯ а — — ~фх сок и.
3 бу ~ (Р+ух)г~ 3 Остановка может иметь место при выполнении неравенства «> !ба. Рви!ение. Расчетная схема изображена на рис. 45.34.!. Пусть х — координата ваго- клубок цепи Г нетки, отсчитываемая вдоль наклонной плос- !У кости вниз от клубка цепи. Тогда уравнение цепь Мещерского вдоль оси х таково: ГР вагонетка ( -- + -х«! У =- Я К Р„~, .- («+ 'ух) сйпа + се~ — х — «ух соха, а Я Ж~~~ где е, — относительная скорость присоединяющихся частиц цепи, равная: р . 45.34.1 ис. сев г( Таким образом, получаем уравнение: ! Р+ух..
у.г х + — х == (Р + ух) сбп а — «ух сох а. М й Вводя независимую переменную х, обозначая х = и и используя тожде- ° г ! ство й(') 2 !ух' 12. Динамика гочки получим: 27, 2Д~7х соь а — + и =- 2кь1п а— дх Р+ Тх Р+ тх Решая зто линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка стандартным способом, получим: и==и~+иг, где и~ — общее решение однородного уравнения: ди~ 2т юо г1х Р + 'ух равное: С (Р+ )г иг — частное решение неоднородного уравнения, которое ищем методом вариации постоянной: 1 2Уятсова.х С 2 —— 2ь ь1оа— (Р+ тх)2 Р+ ух С' =- 2я яп а(Р + тх) — 2уд у соь а .
х(Р + ух) 2кяп а з 2 2 С= (Р+ух) — ~уусоьа-Рх — 2йу соьа ° —. Зу 3 Таким образом, решение имеет вид: С 2~ь1па + (Р+ ух)— + тх)2 Зт хг 2~уугсова.хз (Р + тх) З(Р + Т ) и=х (Р где константу С следует выбирать из начааьного условия х = тге 'при '.2 .2 х=б,тел С 2Раьт а 2Р~в1п а ~ еь — — —,г + — =~ С = Р ~евВ результате получаем следуощее выражение: Р' 2 2Р 1 Рг хг= + я' 1Г1 ' 31'+ ФМ,,'+ (Р+ ух)2 3 у ' ~ '(Р-+:ух)23 3 +!" '",1~. - — ~: -:-'72 ииг,-',итг.
'-':, З~ ' -:), -(Рч+Ф)2:;)-: 3,: -,::;::-::::::::::;:-::-',,::::::,:;-:.:.—,:--",' я возлгожностн остановки установим; когда,уравненне реп!ение прлл х е )О, оо), Достнгрчное условлге: г -дхв!па — -фхсола > О, з з о из выражения для Ф(х), будет соблюдаться неравенство Е [О, оо), т.е. вагонетка никогда не остановится. Задача 45.35 (45.35). Материальная точка лгассы т притягивает- ся по закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со врелле нем меняется по закону М = Мв/( ! +а!) . Опре- делить движение точки.
указание. Перейти к новым координатам с помощью соотношений х 22 = 1+а1 1Ч аг н к приведенному времени ! а(1 ч аг) Ответ: Уравнения движения в координатах С, т имеют вид ()' — постоянная тяготения): г!22, МвС д20 Мв2) — +.г —,=О, — +~ —, =-О. р= ъ'~-'+ 2 ,!т2 рз,гт2 р2 ! т. е.
отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных С и г! имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты. !Я!Л Рец2еиие. Уравнения Ньютона для плоской орбиты точки гп в декартовых координатах (х, р) иллеют вид: х р гпх = -~тМЯ вЂ” —, тр — - — ~тМ(() 2 +, 2) 212 ' (х2 ! О2)3/2' Делая замену ! х = (! +а!)С, р -=- (! +а!)22, т =-— а(! + а2) '1'Уй !;:.;- ДОЯ выг!смени '.-;.:.:;";.'"; Щх) =, О имеет -~':!.,"':,.:-"Ф(О) = вв > О.
если у > гна. И имеет положнтел н, как это види Ф(х) > О при х 2 Ф(со) < 0 ннн Ф(оо) х-фз!оа'- у сова) -л -оо 3 так, если ~ > гяа, то уравнение Ф(х) = О обязательно ьный корень н будет остановка, Если же у < гя а, то 12. Динамика точки г!( зг ! з! д~г 1 Д~~ х = аС + (1 + а!) — ~— / = ас — — =-ас — ат —, г!т !з, (1+а!)г/ дт! +а! г!т' И( г!т г!т гК дг( йт к =а — — — а — — — ат — — = гзт щ г!! 6т г!тг г(! дт ~, (!+а!)г/ ! (1+ат)г/ г!т г!тг (1+аГ)г !2~ =- (ат) —. г!тг Уравнение для координаты а примет вид: з г!гС Мю (! + а!)С з (ат) — .= — ~— = — з Мю(ат) 1+„! (!+ „!)з(~г+,р)згг (~г+, г)згг' Отсюда получаем: "--М ~тг У ю((2 ! г)г)з/2- Совершенно аналогично получается уравнение для координаты з): г!тг ((2 !.
2)з/г" Эти уравнения уже описывают кеплеровские орбиты (эллипс, параболу или гиперболу). Задача 45.36 (4$.36). Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой пгю, продукты ' сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять' ' пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии т от осн' вращения ротора. Касательная составляющая эффективной, скорости:, истечения продуктов сгорания в, постоянна. Считая, что общий раскол массы пороха в одну секунду раззен-е, определить угловую скорость,ы ротора к моменту сгорания перо!в!„ если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равгияй м.
радиус ротора — гс, В начальйый момент ротор наход!!тся, в',!ввкв!е. В4вк М '~О '.. ' ''.': "г ОтвЕт:. ы = 1п —, уае Хв.= Х„+!Пят, У вЂ”.-МозаЬФ::йиейции рютора относительно оси =врйФния. табшбоои6. 'МбжнО считать все поРОхОвне"шайдки'ж ля(НУ матеРЙ:- аяьнуто точку переменной массы, распололкениурв иа Расстояйигг т от оси Г;::;;. '- Ротора.'Тогда уравнение моментов Глтешерского относительио оси ротора ~'::-:.': имеет внд: ~Х, + пт(8)г.)й =. -е,т)тг — М; ' (Г) учитывая, что (Г)=пло-дЬ, т=-а, Н~ ~ХР+ (тпо Ф)г 1 = враг — М Ф (в,вг — М)Ф = Мы=в ,7 + (гпо — 4)гз и,дг — М Г .У + гпогз = иф — -, 1и .Ггз ).4+ (™о — Ф)г'.) Полное сгорание соответствует такому 1„, что гпо — ф, = О.
Подставляя, получаем ответ задачника. По данным предыдулцей задачи найти утлое сгорания порока, если на ротор действует ропорииональный его угловой скорости (Ь— альности). о4' Реизеиие. Подставляя в уравнение (1) из решения предыдушей задачи значение М = — Ью, получим; ) гр + (гпо — Яг")о == и г~г — Ы 'орчг = — -л ро+ — — — и = 3р + (гпо — ф)гт .1р + (гпо — ф)гз Решая это уравнение стандартным способом, получим: ы === м1 + юз, где м, — обшее решение однородного уравнения, равное: .Гр+( о — Ягз1 Ь .?р + ьчогз ! г'д 4гд 12.
Динамика точки ь:~ — частное решение неоднородного уравнения, которое в данном случае равно константе: вру мт = Ь Подбирая константу С из начального условия м(0) = О, получим ответ: в,ог Яр + (тпв — Яг В лгоыент ~ == 1, полного сгорания владеем тпв — ф. = О, тогда: ы(Ь,) =- — ' ! — — ", Хв =- ар+тат .
~ю' ",' . !. Булеакав Б. В. Приклееная теория гироскопов. Мл Гостехиздат, 1955. 2. Веселавскии И. Н. Сборник задач по теоретической механике. Мл ГИТТЛ, !955. 500 с. е;.. 3. Гриммель Р. Гироскоп, его теория и применения. Мл ИЛ, 1952.
Т.1, 11. 4. Дранг В. И.,Дубинин В. В., Ильин И. И. идр. Курс теоретической механики. Учеб- '4,'; ник для вузов / Под обшей редакцией К. С. Колесникова. Мл Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000. 736 с. 5. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. Мл Физматлит, 2001. 319 с. «.', ' 6. Кплава 3. П., Пингвина А. 8., Ротенблат Г.
М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И. В, Мешерского. Динамика материальной точки / Под ред. Г. М. Розенблата. Мл КомКнига/!3КЬЬ, 2006. 3!2 с. 7, Касиадеиьннский А.А. Механика тел переменной массы, М. Изд.-во ВВИА им.
Н. Е. Жуковского, 1947. 109 с. 8. Лурье А. И. Аналитическая механика. Мл Физматлит, !963. 9. Меркин Я. Р, Механика нити. Мл Наука. !0. Мещерский И. В. Задачи по теоретической механике. Учебное пособие. 44-е изд., стереотипное / Под ред. В. А. Пальмова, Д. Р Меркина. СГ!бл Лань, 2005. 448 с. (См. таьзке предыдушие издания задачника с 1986 по 2004 гг.) 1!. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики Мл Высшая школа, 1990. 607 с.
12. Пзнлеве П. Лекции о трении. Мл Гостслиздат, ! 954. 3 16 с. 13, Разенблат Г. Аб Гироскопические эФгрекгы в механике твердых тел: Методическое пособие. М л УРСС, 2003. 96 с. 14. Разенблат Г. М. Динамические системы с сухим трением. Мл Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика«, 2006. 204 с. 15. Розенблат Г. 86 Механика в задачах и решениях. М.. УРСС, 2004. 160 с. !6. Неибег Н. гаа. 1 озипйсп квг апфаоспьяпзш!гш8 Меытс1~егзг!. УЕВ Оешьсйег Уег!а8 Аег тх1згепзсйаГгеп. Вегйп, 196!. 464 ь. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
