З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 40
Текст из файла (страница 40)
",:,"2я!:;:::;,:;:::;:-': ЩЕ„' . фй)((фмйфйльно. вниз: ,",~~~~~~',-;.,.",.':,Щ + МДи М2вл =- О Т— ЧЕСКОЙ . падения на нгой В измене- вленную ==в, вл.= 'З~ЪЬ. которой гРуз А вместе с пл воспользуемся теоремой об в проЕкции на ось у, напра корости и, с после удара нствмы М2 М2 = и= — 12Л = /3ь. М,+М, М,+М, уемся теоремой об изменении кинетической А.' + ~~ А., е,~ ь ° к (М2 + М2)из Т=О, Т,.—.— > А.' ==О, А, =- (М2 + М22Ха — -(Л вЂ” Л ). весь а — искомая величина сжатия пружины после удара за сч ния' вниз плиты В с грузом А; Лк. — - Мфс — статическая де Ружиим; Л = Л,„,+а — деформация пружины в момент ее макс сзявтия (заметим, что пружина не деформируется за малое вре твк, ет перемеформация имального мя удара). нственное М2ь МУ М| 'М 2 М2 а= — + — ', ч — — — -- ъ'2кй с с2 с (,М2 ЬМ2 — =- (М + М2)~ — -((Л„а) - Л,„1 (М2 + М2)и (М2 + М2)и2 с , 'аккре — — М2Д8 — — а 2 2 2М2д (М, ~ М2'зи' = а — — а — — ' --кО с с /~ М ° 2 адз = — —.
~ т 2 — ) + —.- — —, с к,как по условию задачи величина а > О, то получаем едн РСФЖИЙС М ГМ2 1 Мт — — + ~ +2лЬ— с у' с~ с(М~ + М1) ' Задача 44.Э (44.Э). В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданнои высоты Ь~ =- 50 см на неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку из соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной Ьз = 45 см.
Ьг Ответ. "Ь == ° ~ — =- 0„95. '~' Ь, вал Решение. При прямом ударе коэффиииент восстановления опреде- ляется отношением скоростей шарика после и ло удара: "=!И Применяя теорему об изменении кинетической энергии шарика при его движении вниз (до удара) и при его движении вверх (после удара), наидем скорости шарика непосредственно перед ударом о неподвижную пластину (и) и сразу после удара (и): те' — = ифЬ~ =-=-л и = х/фК~', 2 тц2 — — =-. -тлЬт =ь и = х/2Ф~р. 2 Поэтому Ь = — = — = — 0,95. 1 2 3 Глис. 44.4.
т г )г,„= =, 2л , = йв„,, — скорость отскока агарика при предыдущем соуларе, Отсюда нетрудно получить, что л ( ~л- () Л(гй Лг(т- пр йг(м- ой (ггв ) г 2я е; высота падения изменяется по закону убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Л" ( 1. Так как А. гг О, то зто бесхонечная геометрическая прогрессия. Искомый путь и Лг а=2~~А,„— Ь, — 2 — — 6 Лз и=( 1тЛ 1 — Лг массами М~ и Мг и коэФФициентом тупагельно по одному и тому же ть их скорости в, и в„чтобы после носилось, а тело Мг получило бы ! ! гп, — Ьпг Л:( а У.М РФШойно.
Применим теорем» об изменении количества движения сиы при ударе в проекции на ось х. направленную вдоль движения тел: (й Юя-Явх = Р Б'кх — Ф гпгвг (гпг(й ( гпгвг) . О. (() Лайн)еиига. Расчетная схема — на рис.44.4.1. Рассмотрим гп-нос С(уудФрсние шарика с неподвижной поверхностью. Скорость после удара =' Ьгвл. Скорость до удара в„, = ь/2ййм. Высота падения 372 11. Улар При прялюм соударенин тел коэффипиент восстановления я =- — == (4, 11). и! и2 ит В! Вт О! <<2 Выражая отсюда 6 =6~ -! 1< и г<одставляя в (1), получим: ~М т2и2 ™! вз + ) гг<звз = О й! )<т2 гп! О< = и! г<(т! + тт) из 1+ )г тт в! =-- От+— из.
гг 1< т< + тз Замечание к задаче 44.$. В ответе, данном в задачнике, неверно указан знак в вы- ражении для В!. 44.6 (44.5). Паровой молот массы 12 т падает со скоростью наковальню, масса которой вместе с отковываемой деталью 50 т. Найти работу А<, поглошаемую отковываемой деталью, : Аз, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычисэффициент г) полезного действия молота; удар неупругий, А! — — 143 кН м, Аз =б,87 кН. м, « =0,95.
Решение. Применяя теорему об изменении количества движения и учитывая, что внешних ударных импульсов нег, выпишем закон сохранения количества движения системы: т! т,о< =- (т, + тз)из (так как ет = О,)1 = О) =~ ит = Э<. т<+тз Здесь т, — масса молота, птт — масса наковальни с деталью. Работа А <, поглощаемая отковываемой деталью и затрачиваемая на ее пластическое деформирование, равна потере кинетической энергии зп системы: т<Ф, (т! + тт)из А! =2'и =-2о — 2" = — '— ~Ф, и '~'$6 - . ' юч! 2 2' 2 .! аг,+а г<1 ' Г<т;.+ЕМ! иная иа сотрясение фундамента Аз, равна кинетической истемы' после улара: (пт1 + газ)ит (Ри + гпт) тп1 з ! 2 .
2 (гп~+гпт)т ' ' 2(тп~+тт) 120001 25 2(12000+250000) = ' '(""'") нт полезного действия молота опрелеляется отношением поинетической энергии системы к начальной кинетической гп~птгв~. 2 глт 250000 = 0,95. 2(пт~+ т!)гп~е', гп~ + гпт 12000+ 250000 „'$гт' 44.7). Молот массы пт~ -— — 10 кг расплюшивает загоразмеров за 70 уларов. За сколько ударов эту опера- молот массы гп~ — — 1ОО кг, если приводной механизм кую же скорость, что н первому молоту Масса накокг, Удар считать абсолютно неупругим. ~ф в.
Рй1иагнио. Воспользуемся решением задачи 44.б. За 70 уларов моло',:::„:,:: Фжмассы ги, деталью поглошается работа, равная »,,)й~,' 70гп~М 2(гп, 4 М) ;"~!,':,-:-'!'-':. ':блеже работа поглошается леталью за и уларов молотом массы ть Поэтому 70т~М, пгп~М 2(гп~ + М) 2(тт + М) ~;'- ~леловательно, гги гпт + И 1О 100+ 200 и = 70 — =-. 70. — — — = 10 (ударов». пт~ гл~ Г М 100 10 1. 200 йти скорости после абсолютного упругого шаров, лвигавшнхся навстречу друг другу со а обмениваются скоростями.
374 11. Удар (до улара) ' (после улара) Е с. 44.в.т Решение. Расчетная схема на рис. 44.8.!. Применим теорему об изменении количества движения системы; = ти! + тпиг — (ти, — твг) =- О = и! + иг = в! — вг. Так как удар абсолютно упругий, то козффициент восстановления и! иг !г = — = 1 (см. рнс. 44.8.1). О!+вг Решим систему двух полученных уравнений относительно переменных и! и иг.
и! + иг = в! — вг, и! +иг =иг+вг =г иг = вн 'и! = -вг. Это означает, что после удара шары обмениваются скоростями. Так как игл = те, то Решение. Расчетная схема на рис.44.9Л. Согласно заному' а6кр!гнф.: иия количества движения, имеем. МВмбййб. Запишем такон сохранения количества лвижеиия системы ТОЛ: тилвА + тпввв == п~А ' 0 + 1ивив ел — Зив щиент восстановления мМВ Пол5 чйм (Зтил + птв)вв — — тив 1,бив ~!-'„"',"' ,Лщ~к 0 — ив Ф =- — — — — = 0,8. вд — вв Зтид~ а шввв — твив, ав .' 0,8(Зев — вв~ и|,в Зтпл =- О,бтив ==~ — — — 5. 7П 4 11.
У2га)г адача 44.11 (44.В). Определить отноше аров в следующих двух случаях: 1) первый роисходит центральный удар, после котор покое; 2) шары встречаются с равными и остями; после центрального улара второй оэффициент восстановления равен Й, тйг тг тват: 1) = =- й, — =-! + 2й. пг! гй! Рашаииа. 1. Используя закон сохранения количествадвижения иформулу для коэффициента восстановления, получаем: т, О-тгвг=-т,и,+тг а, тг я! ц! — цг ц! = --- = — =- я.
й=— пг! вг В! — вг юг 2. Используя закон сохранения количества движения и формулу для коэффициента восстановления, получаем: т!е! — тгиг =- -тги! + тг О, -в! — пг ц! В=в в! + вг в! + вг В формуле для коэффициента восстановления учтено, что первое тело после удара изменяет направление движение на противоположное.
Перепишем систему уравнений (1), используя равенство е! —— вг, и решим ее: С (т! — тг)е! = — тгя!, М! )г =— 2в! (т! — тг)в! т! ' 2!гв! = тг(! + 2Ц вЂ” гйг =0 =мв — = 1+21, тг т! ".~(?а йак жары а ~~~~,:':.-::::;!:'2?у(22нм соударе э' "",'.и..„'«. * ';,',",й' '„-"„:-: ":,:'?!3 быЛО бы нанбол ~~.::-'„-,'. было наименьш ,;;,,;;„-'?.';:; ~;-:-"-.ння по т?.. ."-.:~-'.:!!!:'!"::!-::„'? Следовательно, ",яф: ::::-::.-а Используем яаком оокранення количества двн?кения при первого и второго шарова т?63 = тги? + т?ИЭ. бсолютно упругие, то и?-и2 й=- — =1. ФЭ 2 — еэ.
Следовательно, 2гй? Я? = вь т? + тй? дарение второго и третьего шаров. По аналогии с предынием выпишем скорость третьего шара после улара: 2гй? 2гй2 2гй~ иЭ =— и? =- — Фп тй2+т3 гй2+т?т! +т2 эта скорость была наибольшей, необходимо, чтобы выра- т? (т? ь т3)(т~ -+ т?) ьшим, или чтобы обратное ему выражение т?+ гй3)(т? + гй?) т?т3 = т~ -ь п?г + гйэ + .— —— ГЙ? Гй? им. Приравняем нулю производную последнего выраже- г" $ гйэ 1 — — — — =- О. т? т? .. уЖ~И 0).
Шар массы тм движущийся поступательно речает покоящийся шар массы т? гак, что ско- ~ ударе угол а с линией, соединяющей центры скорость первого шара после удара, считая удар ! 2) скорость каждого из шаров после улара в прелпругий с коэФФициентом восстановления й. п?~ п?о+ !.сь? <?. '3, П?~ + Гй? / с пн кт? 3 2 т?(1 + й) соь о — соя? а, и?: 61 —-- т1 + ™2 378 з!. удар Рне.44.ЗЗ.! Решение. Расчетная схема — на рис. 44.! 3.1. !. Запишем закон сохранения количества движения системы в проекции на обшую нормаль и н обшую касательную т к соударяющимся шарам: < пзче, соха = (т! + гпз)иы, пг!е! з!па:= гв!и!, (и!и =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
