З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(1) в этапа движения балки: /3 % рве =О хсв =-О рве:=- ту -к1 ые =1/ —. у 2 1/21 Интегрируя уравнения (1) с учетом начальных условий, получим; Л /За хс =- Ф +1. рс = ~-и1 1, ы= т/ — =сопят. 2 Ч2 ' т'21 в Поэтому уравнение траектории центра масс имеет вид: ус — — 31хс — 31, х, ) О (ветвь параболы). Замечание к задаче 43.1. Угловую скорость балки в конце первого этапа ее движения можно было найти другим способом, применяя теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме: 2'- т, = ~' Л„"'+ '~ 4'.
Здесь Хе=О 2'= — = — м, ~.Аь =Щ1.'- ' У„ь' У41т б ~ А'„'=О, а Поэтому 4аги э Отсюда, дпи- ' у ат 'таль вер- 1 корость я от жня раще- 1ававнме. На рис. 43.2.2 изображен стержень на ния, когда он вращается вокруг горизонтальной ьное уравнение его движения: гп12 — 13 =-псе — йпр 3 2 1у3 3~ .аФ 3а -"-"-Ф вЂ” = — — — 51п д ==Ф ф — — -- — — — я й 21 4йр 21 3~ ? 1 = -сЬр =- — г -а!пуду =ь и — ие =- 2 21 первом этапе его оси Ое. Диффе- едовагельно, в коние первого этапа, когда стержень, еоверщив полоборота, отделяется от оси 0е, его углоскорасть равна ы = -б- + ь:- ~1 -б- + 9- =- ° ~ 3-, с -'1/ корость мантра масс С равна /3 ес =- ы- =- ~, -р1 еиа противоположно оси 0х.
вим дифференциальные уравнения плоского и этапе: ,'Щ~ с Рис. 43.2.2 движения стержня н неправа пь с=О, гпус=- -пя, — ф=-.О 3 ьные условия второго этапа движения: ~3 яса = о усе =- —, асс = — т„-Ф, .~:ФЭ"$4Ф'21. ЪФкелый однородный стержень " ';2:.:'~йфвдВвн своим верхним манном на гориз1в ~~~:."" '""':,:~:Ьг:(рнс.,43.2.11. Стсржияэ, НаХОдИВШЕМуея "В ,«~1й1в$$ЙЩ4 Положении, была сообмаена угловая с 1!ва1~"" '3т4Д'. Соверщив полоборОта, он огделяетс :-;.:Юр1'1е 4.: 13пределить в последувицем движении стер .':::.1рпвейтОрввз его пентра масс и угловув скорость в 'Ьтййт".
11 Парабола дс = — — -яс. 21 и = ~1 —. 346 10. Смешанные задачи Интегрируя уравнения (г) с учетом начальных условий, получим: /3 у г» Г~ хс = — -~1 г, ус =- — -8 + —, ы =-сопзг =- АЗУ-. 4 2 2 т' Исключая время г. из найденных уравнений движения центра масс, получим уравнение траектории центра масс: г ус =- — — — — хс (парабола). 2 ЗЮ Задача 43.3 (43.4». Два однородных круглых цилиндра А и В, массы которых соответственно равны Мг и Мг, а радиусы оснований— г, и гг, обмотаны лвумя гибкими нитями, завитки которых расположены симметрично относительно средних плоскостей, параллельных основаниям цнлинлров; оси цилиндров горизонтальны, причем образуюшие их перпендикулярны линиям наибольших скатов (рис.
43.3. »). Ось цилиндра А неподвижна; цилиндр В падает из состояния покоя под действием силы тяжести. Определить в момент т после начала движения, предполагая, что в этот момент нити еше остаются намотанными на оба цилиндра; и ш~ и ыг цилиндров, 2) пройденный центром масс и 3) натяжение Т нитей. 2яМг 2яМг ыг =- $; ЗМ~ + 2Мг) гг(ЗМг + 2Мг) Мг+ Мг) г ~ + 2Мг Мг + 2Мг гяг' Решение. Расчленим систему и рассмотрим отдельно движение цилиндров А н В (рис. 43.32).
Применив теорему об,изменении кинетического момента относи-" тельно неподвижной осн О,л, .получим дифференциальное уравнение движения цилиндра А: Мггг —.уг =Тгггй '::: -. -: ':':Ж ( Чтобы получнтьдифФеренйнал~кьге.у»гавйення двйлгвнна щгдгггйг»гй:В., "применим'!тео»гвму; О'движений центра масж Оу я:.'й»щунг»4гй- щ."~.4геьхж Мгйо, = Мга — Ти Мгег „ — А = Тгтг. 2 (2) ые, то их силы натяжения равны по величине: Т, =- Тг.
я кинематическнх соотношений построим мгновен- Р цилиндра Н (рис. 43.3.3). имости нити эк = ьЧтп их соображений можно записать; РОг ео.ег РОг .=- — ' РОг — тг ОО~ — Фл то, ф~T~ или фг =- — ' —. — ех ео, — ьчт~ т? тг ений (!) и (2) составим следуюшую систему: М1 т| — — Ф~ .=- Т! 2 (3) МФО, =- Мхе — Ть Мгтг йо„— Дт~ тг ~6)~,', у~ шая систему уравнений' (3) как алгебраическую с тремя неизвестными, учим: 2(Ж + Мг) М~Мг й = к Т~ =" —,, 8. 3М +2М зм+ Мг 2Мг д1 — — Я т~(ЗМ~ 4 2Мг) ак, силы натяжения нитей М,Мг Т, =.Т,=-, ".'~"а ='",„,':*~1! фго)гЕМУ''Об. ИЗМФНЕЙ ~~'-;!!,,'.,: ~агй,центр скоростей - я'"=:.""!:,.„'-;.
*:, ,'8 силу иерастяж ' '3'---:,)!,':,:~~'":: ' -, . Из теометрическ ~!,;:;: 7Ьэтому во Щ~",:;:":::'!::::.;... Ф результате из уравн .': '3 ии кинетического момента относительно оси Ога вижения цилиндра): 348 10. Смешанные задачи Интегрируя дифференциальное уравнение ?М2р А =- т1(ЗМ1 + 2М1) с нулевыми начальными условиями, получим угловую скорость цилиндра А: ?Мц; "~ =' У~ -" т~ (ЗМ~ +?Мз) Интегрируя дифференциальное уравнение 2(М| + Мз)» ЗМ~ + ?Мз с нулевыми начальными условиями, получим 2(М1 -г Мг)я (М~ + Мз)К з хог С и хр,= ЗМт.4- ?Мз ~ ЗМ~ + ?Мз Следовательно, угловая скорость цилиндра В равна хо, — Ф~т| ?МФ ыз — '(Рг = тз тз(ЗМ~ 1 ?Мз) ' а пройденный центром масс Ог цилиндра В путь а равен (М~+Мз)л з ЗМ~ + ?Мз Задача 43.4 (43.5). Однородный стержень АВ длины а поставлен в вертикальной плоскости под углом уе к горизонту так, что концом А он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом  — иа гладкий горизонтальный пол (рис.
43.4.Ц; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости 1) Определить угловую скорость и уг» . А ловов ускорение стержня. 2) Найти, какой угол, (л, будет составлять стержень с горизонтом в тот" момент,,когда он отойдет от 'стены. Ответ:: З) (я = — (а1иуго -' а(п гге); 3)'яйф, "%эп.ф(. ":да~„:„;:-хе=., -ссвуг =. 'хс — — -а1п)а ф =ь хс =. — -(уыпу+~Р спышь), 2 2 а а '-а)п(р =ь ус= -соаР.ч> =ь ус=--(Фсоа~р — уу т|пФ 2 2 2 ,':-"„;.',:;:-:::,":.Хйаставим ик в уравнения системы (!) а „.
— т — (у ып ~а 1 у сов ~р) = Ил, 2 а, .т, т-(дсоБФ вЂ” Ф Б!п ~) .=- )У — те, 2 та И а т' 2ув — сея ф + ФА — чп у'. 12 2 2 гочая в (2) нормальные реакции )Уд и Юв, получим тат а ( та — уЗ = -- сову~гас ь — (ух соту" — у ать) $2 2 ~ 2 а О, — — ип ~о . гп -(ф ьц1 ь + у) сок ь ). 2 После несложных преобразсчыиий получим угловое ускорение стержня Зк у = — — ' сов~. 2а Для опрелеления угловой скорости проинтегрируем полученное диффегтиальное уравнение с учетом начальных условий: Ф Зл — — — соа ф, ф(0) = (Рр, уР(0) =- 0 сВ 2а Ж , ду) Зд Р а Зл х=а ф — =- — — сок р =ь -Нф = — — сот у~ Ар 2а 2 2а 350 10.
Смешанные за алчи /3» = »у>~ — -- »у» — (яп»»>е — яп»»>). Для определения момента, когда стержень отойдет от стены в точке А, выразим нормальную реакцию»зл как функцию угла у> из уравнений (2) и прнравняем ее к нулю: а =- — пз — (~р'яп»»> и у> сок»л) =-- 2 гаа / 3я 3я = — — ~ — — соа у> яп у> + — (з»п»»>е — яп»»>) соз у 2 ~, 2а а 9 3 — -гас яп»»>соя>р- -гад з»п»»>асоз»р = 4 2 3 /3 = -гаясоз>»>~ — яп»»> --з»пу>е 2 1,2 /3 соз»»>» — яп у> — яп»ле =- О =ь 'з, 2 — у>з = агсз»п ~ — яп»да~ < —.
г' тз Поэтому стержень отойдет от стены, когда /2 »р = у>з == агсяп ~ - яп у>е ~3' Замечание к задаче 43.4, Для полноты решения следует еще определить нормальнун> реакцию зта а точке В как функцию угла»»> н показать, что 2»>а(Р) > О при а Е [З>я у>,).
Справедливость этого факта устанавлиааегся несложно и предо стаеляется читателю. иа' Ре»з»ение. Расчетная схема —. на рис.43.5Л> Воспалено»» заедет»зя к задаче 43.4. Рассмотрим явил»ение стержня„когда он сколь>зиткп»зз»вм В по гладкому полу, а»»онеи А — свободный; Движение начинается,.)г»)тйа »р»' аглай» ' 'яп(»а» В ф. -,А :,!':~'!~:-',,'-':,,' ""О... В х, О ',~,.',-'$ Эатуг начальный момент движения угловая скорость стержня равна по в Рие. 43.5.2 ьг« = = «Г а«п»»оо у а !:.;:,':=,((ля определения скорости центра масс С в этот момент построим мгно;;: 4анный центр скоростей Р стержня (точка А готова покинуть связь, но ,",,",,::,„,.'еще находится на вертикальной стене) (см. рис.
43.5.2) »о»« Гд а ! вс, =--ь»» СР =- у» — — э«пуо. — =- -х'~аяп о»о. 'т' а 2 2 , Запишем теорему о движении центра масс С стержня в проекции й«ось вп такс = О. Следовательно, то центр масс стержня движется равномерно вдоль оси к, так стержень не действуют виегнние горизонтальные силы. делим скорость точки 8 в момент падения стержня на пол. Васса теоремой о проекциях скоростей любых двух точек твердого ямую, проходяшую через них.
Считаем, что в момент падения остается на полу ,ч елим угловую скоросгь стержнн. Для этого воспользуемся тео- изменении кинетиче:кой энергии в конечной форме: 2 ":;'»3»»»' 'Получим Фри~.',:;как на )о)4$й,,'» . Опре ;„, . тела иа пр 1 пат = пс сох (90 — $Р1) =- — ~,/яа Б«п уело яп у»~ » 2 2 »»»»» — ~ » .—.—.' » К»' ' »»,»ц«.»»»»». 3 3 ! прсввв =»»х пр»«»с~ = пр Вв =ь вд = — з«пуМ»гйяп~Ро. 3 352 !О. Смешанные задачи Так как стержень — твердое тело, то з Аа = О.
((1 х х (я1 а а 7 Ах = т8(зс ="- тя — сйп ((г( — — тя- гйл (Рв (см. рис. 43.5.2). 2 3 тес, .~с.~', т 1 . т г 1я . т8ав(п(во Т( == ' + — '' =- — . -яа ьйп чгв+ — . — — ь(п ухз = 2 2 2 4 12 2а б '"ес, зсхыг Тг= '+ 2 2 Выразим скорость центра масс С в момент падения стержня: г г '='„'! =(-' -" ") й'"))~ = (=6 з(а.'1Ю.за 'з г! г == — а!и угс+ — чгсов(г ! ~ =- — сйп угв З вЂ” иг. Поэтому пза г т8а . 3 г Тг ыг + взл угв 6 18 В результате уравнение (1) примет вид: ~Ю . з та г т8а . т8а — в!п фв + — ыг — — в(п угв = — азп фзе. 18 6 б 3 Отсюда Замечание к задаче 43.5.
Для полноты решения следует обосиоввтьдвв следуюших обстоятельства: /2 . 1. Щуз! >0 при ьгЕ (О,((гг1,(яг =а(св(п, -в(прв 2. Точка А в процессе происхсвзяцзего.скалывания точки 2з по полу, аас(зе отхода от вертикальной стенки, уже никогда не соприкоснется с йекх " Справедливость пункта 1 следует из нетрудно яслучвемой зрврмулмз х~ю)-' —,...(-+х ж."Ы п(нхат уд).
3я ' зг4 (!+ 3соаг рЯ3 е = - Йи фа ~- - ай!'!яг)у...,::,а!п(ру =, - Фящ~, МФ прпввркой (реи«ая к»»ар»тиос отноеител ,чазпри укаагниом и«ачен««н параметр»в,?«гв(р) я ыю йп ф ураенеи««е) нульне обраи«»ется, н пози«му здесь не 41$МФМ, 43.6 (43.7). тонкая однородная лоска АВ ,~р«й фермхм прислонена к вертикальной стене и ,,'?уа?»ая;Кта Е оез и«ловок; расстояние А)? равно ';за ив?н«то«рый момент доска начинает падать с ннч :::«рцаней угловой скоростью, врашаясь вокруг прямо :,"та)яма(кнасть скольжения доски вдоль гвоздей, ','«ЗйреДедить ухал и« вЂ” — 4ВАВ«при котором го- .:рища(тельная составляюп«ая реакции изменяет ;:.:,з«йправление, и угол «зз в момент отрыва доски :":от твоздей, 2 : 4()тйотт «з« — — а«тсоз — — 48" 11', 3 1 пз =. агссов — == 70" 32' '3 СУ? прямоугольоп««рвется на два КЕ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
