З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Имеем: . еет ео = к(~о) = ~о( .е+ аве)ю Яе) = ( о + аее)г 2 Максимальный польем от координаты к(ге) 6удет в поле тяжести с начальной скоростью во = яЩ составлять: ~4. ео. Ь „= — =. — ('-я+.ав,) . 2я,' 2я ' Суммарный подъем составит~ ,:, г Фр,,:з,„., в::.ФФ,"- Н =, Ф(4Д + Ьд„щ Ф: —:(4.'Фе-; ф:+ —::(аде .'-' ф Ж вЂ” '..': (ФФе.,—.гй4= 2-е 2 - -а ней формулы видно, чго максимум Н достигаетси при гг == сю„ Задача 45.7 (4$.7).
При условия аффиннентом перегрузки (г =- гзе~/ ракетм и ада~си~ости от Н„, Н м((г — 1) к:::Ф~!-'...'-'-;'::-, „Ответ: Н— й г. ф (аешение. пусть й =- гзв,/8. тогда из ответа к задаче 45.5 имеем: гг ее Н вЂ” Ев(гзв К) — У~ ' гав !). а5((фф гв ' 2 ((роме того. так как 2 1 з Р Рв го= —,=- —, а- 'й'~' ' звз з 3 2 '4::;::;:-;. е е 2 (-.
д гк „'::::;~:;:: так как по ответу к задаче 45.6 имеем Н 12. Динамика гочки Решение. Уравнение Мещерского в проекции иа вертикаль: т ~~% ее т ~ ~ К ос 'т' гле т =- то+ т~(1), то — масса ракеты, т~(1» — масса топлива. По условикк то+ т (0) то Интегрируя уравнение Мещерского, получим: /то+т!(1)~ ге(1) — Ф ве 1п 1 1,то+ т~(0) г' В момент 1 = 1„полного выгорания топлива имеем т~(1,) = О, ж(1,) — в -= 3000 м/с. Тогда получим: 1 1. = -(-и+ в, 1п 5) !35,1 с. К Отметим, что ответ задачника [10) 1. 124 с! Решение. Уравнение Мещерского в проекции:на ввртикальт: амтв =' -тя'- В,щ' '-»с-.е ав =;ф -'во' —.", $3$ парамезгные и интегрМручг, поаучаем.
ф,р„-злу. т(О~ т(Т) ве У = — 1п2 ге+а Эффективная скорость истечения газов нз 1 кой процент должен составлять асс топлива . чтобы ракета, движушаяся вне поля тяго- риобрела скорость 9 км/с? 1зЮШпни6, уравнение Мешерского в проекции на вертикалгк / ьч(0~'г нгб =- — ю,гп =~ е(Ц = е,. Ь ~ — — ~ — ~ (() ~ гп(Г) =Ь вЂ” — — Е т'' т(0~ пь ь пг,(г'г гпе + т,(0) г.
имеем т,(Г,) .- О, е 9 км/с, тогда: момент полного выгораиия г — — — — --- ! — е ' ' 0,98 — 98%. 7п1(0) зиг и гл„г гп,(0~ гпа -9д2 4~ =е тпв + гп,(0) ракета движется поступательно при отсутротивления среды, 3<~кректинная скорость ис- ОО и/с. Определить 1исло ((иодковского, если ранил топлива скорость ракеты будет равна РФцЮнмЕ. Используя решение предыдущей задачи, получим: а=- — ' =е ' =е гпо + ггц( ) е/ю, 4квлмв =.
5.999 = б. где+ 0 402 12. Динамика гочки Задача 45.12(45.12). Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением в по горизонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов е, постоянна. Опрелелить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом ло того момента, когда его масса уменьшится в В раз. и~~(!и к)з Ответ; а == 2та Решение. Уравнение Мещерского в проекции на горизонталь имеет вил: /т(0) 1 ю тти =- — е,т =ь !и ~ — ) = — -г. (, т(~) г' е, Но так как в = сопя, то иаз а(г) = —. 2 Если 1 — таково„что т(0) — =- к, т(1) то „з 8(С) ™е (Фп ь)2 2в Решение. Здесь уравнение Мещерского в проекции на: горизонталь и при учете силы трения принимает, вид;.
4$л4446л41. 'Ыо перейенной месим бвнлгечев:::бо еггенй-'~хбьбнм' мвнРавлвюгннм, пРопозкеннмм паааь акеатоРах. Касательное ,„~$енйе яагх = а поетояййо. Не учнтинай сййротналенгге, двнгкенню, ::-.'~бщвлнть, во сколько раз'уменьшится масса тела,. когда оно сделает :,':,~~ббЖ' оборот вокруг Земли, если аффективная' скорость неуеченнл ;":гбур'в, =. согвн.
Каково должно был» ускоренна а, чтобм после ол- мнческую скорость". Радиус .,нрго,еборота тело приобрело первую кос .'~.'-',4$имн,, В. фф.: ' /х/нъ ю ваттвет.' В ехр ~ — ~ раз; а =-— Фубваюнно. уравнение Мешерского в проекции на касательную к экиьгеет вид: а 1 аг1 гпа = -в,ггг = — х 1пб = -- г е-х й = ехр ~ — ~. вг ве н 1 — таково, что пробден весь зкытор, то: ~2 —: —: 2яй (Л' — радиус Земли). 2 /я22 г' 2 1 = 2х/ — — ь=-ь Й вЂ”.
ехр т — -ч яйа ~ у а вая космическая скорость находится из соотнопгенггя: ! л 22 если 4 —..- «I~кй/а, то Г вг =- а2 .— -~ 2х~ягга = -„:Лй 5.15). Определить в предьгдуцгей задаче массу топк хгоменту, когда давление тела на направляюгпие ! — ехр 12, Динамика точки Решение, Аналогично решению предыдущей задачи имеем соотнощения: 1 а! = хурВ ="> 1= -лтЯ а (так как давление иа направляющие равно нулю при достижении 1-й космической скорости!).
Из уравнения Мещерского получаем: !п '(~ = =- Л =: т~(0) — т~(С) =- т(0)(1 — е /то+ п,(0) ~,4Я -л то + ттт1(1) оо где т(0) — тпо+ т~(0) — стартовая масса ракеты. Задача 45.16 (45.16). Тело скользит по горизонтальным рельсам. Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью о,. Начальная скорость тела равна оо. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону т = то — а1. Коэффициент трения скольжения равен ~. то Ответ. "в = оо У л4 ое1п то — а1,1 1'х!т тпо — а! / а = оо! — У ~ — — в„~! 1и то+ ~1п (то — ае) — 1- а — — (!и то — !) Решение. Уравнения движения в проекциях на горизонталь и вертикаль имеют вид: тд = -~Ф; т 0 = Ж вЂ” тя - в, ° т (так как относительная скорость отделяющихся частиц направлена по вер.
тикали!). Отсюда получим; тв = У(гни+ тве» ==Ф 6 =, -~' я+ ве' т'/ ==Ф ю(1) = во — ~яй+'Щ)п з,то'- 'М,Г Интегрируя это соотйОФйеиие:еще, рвз Йо' 1. (инхЩМЩ берехся так зке что частям, как В-рещейии'.задвчр:45.3).:пвяучиьг ответ, к'змаче, ау °, .„. таях э= УЬ ае) =-Ф 6(О= 0 — уь-ае,) у(т = Ф) =- 04 - — (~ — ае,). 2 я — ая, =- О =~ а =- д/э„то э(г) =- сопя! = юц. лет ракета на прямолинеисутствии сил тяготения за орости ло скорости, равнои тов сгорания ь,, если изчлныи раскол ф". число. !а!" )абшоние. уравнение я!е!лерского имеет вил: гйе =- — н!В,,; так как гп = — ф „т. е. пт(г) =- ите — Рг. то получим: и!о = е(!) = в, !и х гпс /3! / /.~па — ф '! ги0- ! !и(7Оя — Я + 1 ! — !и р е~Р 6= —— гав — ф = а(8)=ю, ! !и Для момента ! = Г„когла е(!.) =- я,, имеем ее — ! гпе — — — — !и — — == !.
Р е и!о — Ф* И мы получим е тля е — 2 а(г.) — — —. — —; —. ~3 е ая!яйн!нан!. Если тяф = тяее, то уравнение для е из предылушей ждли получается таким: аО5 12. Динамика гочки 45,19 (45.19) и при отсутств ту, когда сгорс я — тс, ЭФфект == тсв,( — ! !Ф Решение. Запишем уравнение Мещерского: Р „„, .= — в,т. — ее т — ~ всяка Работа реактивной силы: с, с, А[0, !с) = ( — в,т)в с!! = тбвс!!. Интегрируя уравнение Мещерского, имеем: е(г! = е, си т т(!1,с Тогда имеем следующее выражение дая работы: А!О,с~~ = т -е,— е, !и — с!! = о с, = -е,, !и — тс(! = о Р3( = -е, ~ !и ~ — ~ с(т = тсе,(а — ! — !ив), где а = псо/тс. Тк" 4»»и1(ааааа 'т!З»я(1' )~46а(!1еаФ.
используя решен»»е щщщруще»1,а!дач»»; т»меев»; МК.М 2пз»вйа-1-1пя)' ' 1 (!па)-' !з =— 2а — ! -1пх. 2 1 !па 2 — — — — !па- !па »(р 1», а а =б. »!а 2 (х — ! — 1п а)э гл закон из» у~~,' " ,+ф. погори я корнем уравнения !па 1+- =2 1-- 2(а — !1 !л » —.. —.
!+а 46.21 (45.21). Самолет, имеюший массу та, призеыляеткоросгью еа на полярный аэродром. Вследствие обледенения молета при движении после посадки увеличиваегся согласуле и» = п»е + а1, где а — сопм. Сопротивление движению по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент проальности Д1. Определип промежуток времени до остановки с учетом (Т1 и без учета (Т!) изменения «го массы. Найти кнения скорости с течением времени. -=.(,г;; —:-) -;, 2»пеев — 1х(2п»а + ОЕАР е= 2(гас ь а1) !»ешени».
Запишем уравнение Мешерского для движения самолета зонтали. При этом будем учитывать, что присоедиплющиеся частицы (которые создают лед!) имеют по горизонтали относительную корость (-еу, где а — скорость самолета. Тогда получим; Учитывая, что п»(11 = п»е+ аХ, 12. Динамика гочки отсюда получим а е = — е — й. гпо+ а2 Это — неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его решение: е(Ц = е1(~) + ет(~), где е,(1) — общее решение однородного уравнения а тй =- — е~ — „ гпо+ а1" имеющее вил е1(Г) = С, С =- сопм; тпо+ а1 ео — частное решение неоднородного уравнения, которое найдем, используя вариацию С: С' =--Ук =о С(~)=- — ( о+а~). 1 й гпо+ а2 2а В итоге мы получим: е(Ц =- С.
Ук — — (гпо + аЦ. гпо+ а1 2а Константу С найдем из начального условия е(О) = ео. С = — (2аео+ йтпо). гпо 2а Следовательно, решение: гпо(2аео + атно) — Уд(шо + а1)т 2птоео — УФ(2то + а4) 2а(тпо+ а1) 2(пто+ а1) Отсюда находим 1 = Т вЂ” время остановки, когда е(7) = О, т.е. ответы из задачника. Ф Яна1аии1хЗтрмги ение Мещерсвхзго;., '()~а;:.';, Фадаеинвес у4зван ::ММа'аля чисел Ц л '1п а ~Ь эЩ.- р(ег) гп(е',) — ~ - Ь вЂ”. тп е,, т(11) эг г— 01 вз — вг !паз = =, Н1 ве =-е, хз=е п,пз ==Ф х~ 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
