З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Считая, что у трехступе эффективные ск01зосги ее исте найти число Циолковского всего топлива скорость р ения и сопротивлением атмосФеры пренебречь). огично решению предыдушеи задачи запишем три анин последовательно трех ступеней: вз 6$ ез ьз 1ггг = — ' — -, 1п ве ве 24). Зрехступенчгпая ракета лвиаетси поступаии тяготения и сопротивления а~мосФеры. ЭФФектечения и числа цгюлковского лля всех ступеней 1 тсгвенно равны е, = 2500 и/с, г = 4. Определить осле сгорания горючег в первой ступени, во второй /с.
вз =- 6930 м/с, гч = !О 395 м/с. ~ьзуя равенства нз решения предылушей задачи, по- е !па, пз =. 2гь !пг, гз = 3о,.!гза. учаем ответы к задаче. вгь Решение. Анал ~',..-,:,':,':,.'.",,:,",' ' соотношения для сгор !(1)ефе",',"" 1пг=- ~~:::;::;!;:"~:: Слозким этн равенства: г1 1 3!п е:=--- Задача 45.24 (45. :;: '-~~!' -:, ' тельно прн отсугств тнвные скорости ис одинаковы и соотве скорости ракет ьг п и в третьей.
!йй((ф„'.. ОтВЕт: е, = 34б5 и )~1а(~~',":: .."!ь Решение. Испоз ю~ ==и ковского мы получим форлгулы: 4!О з2. Динамика гочки !' Задача 45.25(45.25). В момент, когд космический корабль находится на расст и имеет скорость ев, направленную к це мозной двигатель. Уч>пывая, что сила тя нальна квадрату расстояния от корабля д что масса корабля изменяется по закону ракеты в момент включения тормозного число).
найти а, при котором корабль (т.е. буде~ иметь скорость прилунения, р скорость |ютечення газов е, постоянна. Р силы тяжести на Луне — я,. О„„.. ~о + !В 2е«В е«(В Решение. Введем ось х с началом в точке начала торможения и направленнук! к центруЛуны (см. рис.4525.!).
Тогда уравнение Мещерского по оси х имеет вид: гнал В 2 яВ 2 .х. =- — 2 + е«т =Ф х = — е,а. (х + В)2 ~ (х + В)з « Умножим обе части на х и проинтегрируем: х'(~) е«» Вз я В' с л л 2 2 х+В В Полагая здесь х(1) =О, х(Ц=К луна Рис. 45.26.1 получим ответ. Задача 45.26(45.26). Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение в постоянно, а.сопротивление среды пропорннонально квадрату скорости (Ь вЂ” коэффициент пропорциональности).
Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скгоростьл!с-. течения газа е, постоянна, Ответ; ~~:!~, подучим уравнение для иг(1) г а+ге а гг иг-т — =-га г ве ве нейное неоднородное днФференциальное уравнение 3-го поряд Реигаи его по обычным правилам, имеем: ги~(г) =- Се, Л =- —, -и К+ аг В, — частное решение неоднородного уравнения, которое следует виде: пгг(8) — - агг ч а~2+ее, 2 — константы да подучим. Ь г Ьюг .==Ф аг ='-' гд Лгч е+ и 2аг 2е,Ьгаг а,= — =-.— — —; " ( ~ ,)2 2аг — Ла, ==- 0 т гб,г Л (д+ )3 а,— Л Иеподьауи начальное условие т(0) = тл найдем константу С и получим ответ задачника "'~-;г,„.:";;.'-:,':.",.)то — ли ~™;- ! '3~~"~~~;,';,! ~:,,": з тиг(г) ~~:,,;, искать в ааф ",,~~;,.:.;;-:: ..
гаь«и.аг Тог иг(г) .=-. иг ~(й) + игг(Ф). — обшее решение однородного уравнения, имевшее вид: 2аг(+а~ — (агг +а~г+ ~) Л=-. — гг -Г 2 ь, в~ 12. Динамика гочки ета перемещается в од остоянным ускорение тальной плоскостью, и пуска ракеты (рис.
45.2 стечения газов е, пост каково должно быть о кеты без топлива (чис плнва ракета оказалась ной плоскости. 2вН1 — ~, где  — у япа ) костью, равный р' =- Рис. 45.27,2 Рнс. 46.27.1 Решение. Введем систему координат О(р, где 04 направлена по' прямой движения ракеты, а Оп — ей перпендикулярна (рис 45.27.2). Уравнение Мещерского в проекциях на эти оси имеет виа: тв = — т8ипа-,е,тссв(ф — а), (1) т ° 0 = — тя'сова — 'с тяп ф — а).
' (2) Умножая (1) на ьйп ф — 'а), а 'уравнение (2) на соа 05 — а) и вычитая одно из другого, получим: тес а!п (ф —, а) = —,т2~в1п о ыпф — ст) —, сов се спа(ф — сгЯ. Отсюда, находим: Ыпф,соасг-соафа1псг=-адолф =а ФФ= Используя полученное соотношение, имрем; ~к~а-«~ «рвР:,(ма+««д«а«)':=,';жФ':::,~. ' Руем уравнение (Ц по времени; (и+Ювгпа) '~ вь сов(Р а) 1Й ~ Ут(О)Ъ ~т(~) /. за время 1 поднялась на высоту Н, то / ж М= —.
в|па 2 ~ игйпа яя полученное 1 в (3), имеем; / 2Н лагоа+и (и+лагоа)~ —, =е, сев)т. !пл и вгп а и сова = х=ехр ременной массы движется вверх с по- ' ховатым прямолинейным направляоризонтом. Считая, что поле силы опротивление атмосферы движению епени скорости (Ь вЂ” коэффициент менения массы тела. Эффективная нна; коэффициент трения скольжеми равен ~.
-- начальная масса тела. Ф ~л Решенно. Направляем ось Ох системы координат Охр вдоль на- %-- ';-, клонной плоскости вверх, а ось Оу — перпендикулярно к ней (рис. 45.28,1), ,:,'~!~~~„,':,',:,'','',- вгравнення движения (с учетом реактивной силы Мещерского) в проекттиях на эти оси имеют вид. тх = -теяпа — уйг — Ы+е,т, т О== йг — тесова. 414 12. Динамика гочки Исключая 1У, получаем: = — те з1п о — ~т~ соь о — Ьх+ е,т =~ (так как х = вг, х = яМ) лз1па+ Дсояо+гл Ь т гп — -- — М.
ве ее Решая это линейное неолнородное дифференциальное уравнение 1-го по- рядка станлартными методами, получим ответ. Задача 45.29 (45.29). Аэростат весом 1,1 поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: Л --- — ггх .
Вес единицы длины каната — 7. Составить уравнение движения аэростата. ~Ъ Ж+7 .г Ответ: х =-. — р а — —— х Юч 7х О+7х Решение. Направим ось х вертикально вверх. Уравнение Мещерского вдоль этой оси имеет вид: тх =- — т~+ 1г — 1И + в,т, .2 где е, — относительная скорость лрисоединяющихся частиц каната, которая в данном случае равна в, = -х. Ясно, что т = — х, т(1) = — + — х. 1к 7 $8 8 Подставляя полученные соотношения в уравнение (1), получим ответ задачника: 1га+7 .г х=- — л+ — — — х. 9+7х 1,1+ ух ....Ф , ййФ®Ф- Перейггем в уРавнении.
полученном в решении предьщу, к новой независимой переменной х: ) 4(хз): Рй Ж+т . х=- — =-й+ — - — х 2 4~ 9+ ух 9+Ух з чнм х = в, получим линейное дифференциальное уравнение пер- ядкас Д)~~' ~,-$~Ф гЬ 2(Ф+ 7) 2Ря — + — и = — 2я+ ах 42+ ух 9+ 'ух зто уравнение стандартнылш методами, получим: и=-игй вг общее решение однородного уравнения, вг — частное решение не- ного уравнения), где С(д +,~,х)-ггг+дг/7! 31). Шарсюбразиая водяная капля падает веросфере, насыщенной водяными парами.
Вследстгггге капли возрастает пропорционально площади ее эФфициент пропорцнональнсюти о). Начальный раначальная скорость — гй, начальная высота -- Ьо ь капли и закон изменения ее высоты со временем игкению пренебречь). йг == о гй, н перейти к новой незавнснмон перемен- — г — —.— г 2го ч гл т — ), где г = го+ос о ,,з) ' '~:г„'::: )йь, гзФШФние. Направггы ось х вертикально ',;!;,:::::: "' шерского по з той оси имеет вид. гпх =- гггк ь Фегп, Ягвго, что скорость в„присоединяющихся ч ) ' ''!'-"- Того„по условию задачи: 3 пт =- о ° 4яг р (р — плотн вниз. Тогда уравнение Ме- астиц есть о, — -х.
Кроме ость воды). частное из находим методом вариации постоянной С. Используя нае условия х(0) =- Но, х(0) =- О, получим ответ задачника. 12. Динамика гочки Но так как 4 гл=-ят р, 3 то гя = 4ят р ° т. г Следовательно, 4ят рт — —. а4ят р =т т =- а = сотай 2 . 2 Переходя к независилгой переменной т == аг + тв из уравнения ~!), получим: сЬ а4ят~р в 4 гзт 4 лт~р где т =. а~ + тв. Решение полученного уравнения ищем стандартным спо- собом: в=.аз+ем гле в~ — общее решение однородного уравнения: <Ь~ 3 С вЂ” + е1 — — О =~ в~ — —, С вЂ” сопят, й тз' а вз — частное решение неоднородного, которое ищем методом вариации постоянной: ~ т4 Я = С= — — ==ь вз = — т. а4 4а Таким образом„получмтся решение: С ж= в= — + — т, .з 4 ° где т =- те+ И.
Константу С находим, используя начальное условие р(тв) = ев. Далее: — С' =— к гз Й~ 3 =Ф вЂ” +ю- = —, йт т а гпб =- гпе+ гг,т - 4(3-тт и 2 Проводя аналогичные рассуждения, мы получим вг — --х=- — в, т=гг= сопя Тогда (!) т та + ггг. 4 т=- — ят р, т =-4ят рт = а4ят р. 3 Деля в уравнении (!) обе части на т, получим: 4Да т — — в. 4 — ггт р 3 Зп Р-.=я в т Беря аа независимую переменную т — ге+ ггпу, гга' Решвиив.
добавим в уравнение (! ) прелыдугпей задачи силу сопротивления Я =- -4)йгт и, тогда: 2 12. Динамика точки получим: 8 6) 3(о+)з) й' а г~ а (мы положили р =- 1 — плотность воды). Интегрирование полученного уравнения выполняется совершенно аналогично тому, как это было сделано прн решении предыдущей задачи.
В результате нескольких, но громоздких выкладок получается ответ задачника. Решение. Пусть х направлена вертикально вниз и в момент 8 длина цепи составляет х(Ц. Тогда ее масса рх(Ф), где р — погонная масса цепи, а ускорение а == х.
Уравнение Мещерского: ! рхЖх = их+ 4рх Е. Здесь для лрнсоединяющихся частиц цепи мы должны принять и, = -х. Тогда имеем: хх =ах-х 3 Переходя к независимой переменной х и обозначая х = и, получим: ° 3 !ди ди 2 х- — =ях — и =~ — + и=28 =ь и=и~+им 2 дх Их где и1 = С/х — общее рещение однородного уравнения, из — частное 1 решение неоднородного уравнения, которое ищем методом вариации постоянной: С' 2 3 2 — = 2а =~ С = -ах ==Ф из = -ях. хз 3 3 Таким образом: ,з С .2 и =и =' — +;8х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
