З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Систему координат свяжем с неподвижным кожухом электромотора. Теорема о движении центра масс системы в проекции на ось х принимает вид: Мхс = 22. В этом случае Мхс = ~з зМаха = Мз О+МгРсоаыг+Мз2гсоыл = Р(Мг+2Мз) созыг. 54 2. Теорема с движении центра масс материальной системы е !-'~ф ,3 оз ы(. Значит горизонтальная ре- Рис. 35.10 Мтс -!(М + 2Мз)ы с (Мз+ 2Мт)ы' соз ~Л. По та е на болты со стороны ко горизонтальное усилие на болты равно Поэтому акция В --- — 1 тальное усили кому ж» закону меняется горнзои-.:,'!ф() жука мотора. Поэтому наибольшее (Мт + 2Мфи'. '':~$ ".:-':Ф о 5.11 (35.11).
По условиям скорость ьт вала злектромот рыгивать над Фундаментом, вдача 3 угловую ет поди лтами. (М~ + Мг + Мз)л ветг ьт > (М2 -т 2Мз)( Решение. Расчетная смема — на рис. 35.10.2. Запишем теоремуодвижении центра масс системы в проекции на вертикальную ось уг, ' '::."„.":~~% Мрс = Х:Р,А„'У = Мус = Ф-М!я-ММ-Ма. Распишем координаты рт, уз и рэ.центров масс Сы Ст и Сз.. гтт ='О, фт =АС~+,(агвана,' дз =АСг+2)згпьт(г Поэтому Мусля~~ '.Млул — - -Май~ а(пят(- Мз2йа, з)вдт(, Подставим' это выражение в теорему о движении центра маер'и',в4':,' Ф =.(Жг + Мз +.Мзф -,."((Мз +:2Мз)ат'.абМФ. Условие подпрыгивания, мотора; 11*: < О; т. е, (М, +Мг+Мз)~-1(Мг+ 2М,)ы' ° 1 < О.
, 'Отсюда' и > : Звлгвчв 3$.12 (ЗБЛ2). При сборке электромотора его ротор В был эксцентрично насажен на ось вращения С~ на расстоянии С,Сг .= а, где Сг — центр масс статора А, а Сг — центр масс ротора В. Ротор равномерно вращается с угловой скоростью ы (рис. 35Л 2.1). Электро- мотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен г5,; М~— масса стагора, Мг — масса ротора.
Найти уравнение движения точки С~ по вертикали, если в начальный момент она на- С, ходилась в покое в положении статического равновесия. Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси е взять в положении статического равновесия точки См Рис. 35.12.1 Ответ. "1) При 14/Ь 1~ ьг ы Ь Ь е~ =- — — — яп кг + з1псА, ЬЬг ~г Ьг, г — Мг где Ь= ъ'д/Ь, Ь=- — аьг . М1 + Мг 2) При 14Я.—.:ь Ь, Ь Т1 — — а!и (А — — 1 со5 (Л.
2 ~г в4» Решение, Расчетная схема представлена на рис. 35.12.2„где е — вертикальная координаи точки См отсчитываемая от положения статического равновесия. На систему вдоль оси в действуют три внешние силы: Мф, МгК, Е,„,. Пусть в — смещение (вниз) точки С1 от статического равновесия. Тогда Р„„р — — — с(г:ъ + в), где гх — статический прогиб балки. Причем, по условию сг5 = (Мг + Мг)я (статическое рав- Рис. 35.12.2 56 2. Теорема о движении центра масс магериальной системы новесие). Отсюда (М~ + Мг)л Запишем уравнение для движения центра масс с орлината по х центра масс системы дается выра ! хс = '(х М, ч (х ( аз( М1 +М2 (М~ ч Ь(г)хс =.
(М1 + Мг)К вЂ” с Из этих уравнении получим, учитывая, что (М, + Мг)я (М~ + Мгф — сЬ и с =- —— гз (М~ + хМ, (- (х — а«з(п ы()Мг =-— г.'2 л Мг =-> х+ — х =- Мг+ М агя з(п «гт 2 2 г И Мга«г Обозначая Ь = —, Л. = , будем нс М + Мг ном виде: Ь Подставляя в уравнение, получим А = йг— выбираем так, чтобы удовлетворить начальным ус «г Ь Топи получим С =- О, В = -- . Итак: Ь Ьг — ы' «г Ь . Ь х(1) = -- — з(п И+в Ь . Ь2 «гг Ь2 «22 Посмотрим теперь, что будет при Ь -+ ы. Поло получим: Ь х(1~Ф) = — ' " ..— яп((«г+ еф+ «г+ е 2«м.'+ 4'2 34 — ыЬ фЪ,((ф +Зт)ег + Ь(те + 4ф ант«гч (22ОЕ.+'.В22)((Е +'.
Е)' Уравнение движения центра масс по оси х х(Ц =- А з(п «4 + В а(п Ь2 + С сов Ь( истемы вдоль оси х. Ко-',.' ':;";.*)г'=' жен нем; и «гг) Мг~(. (гХ +х). \ Ьг кать решение в стандарг-, при Ь ,-Е «г. 2 ' . '-'$-..2 ловиям х(О) = х(О) = 6.:.:::::::::-:-:,~:„'' вш «Ф. Используя-аревало,Лопиталя, поауи~мг -ыЫ'сов 1(ьг+Щ + Ь вгпы1 а(4) =' Ибтж(Т,' Ег =-1гнг р-га',: ', '. г-. о. 2ые+ Ег'+(ы+ а)(2ы+ 2е) -ыЫ сов ггг1 + Ь вгп юФ 2ыг Таким образом', при Ь = ы, т.е.
згЯЬ = ы, имеем резонансное решение, йредставляеыое формулой' Ь . М а(8) = — вгп м4 — — сов ы$. 2ыг ' 2и Задача 36.13'(35.13). Электрический мотор массы Мг установлен на балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз массы Мг на расстоянии 1 от оси вала. Угловая скорость мотора и = сопвг. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора н критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению. Рис. 35.13.1 Мгйд 30 с Ртаетг а = пкр = — а с — (М~+ Мг)ыг' "Р Я ~ М| +Мг РЕшЕние. Воспользуемся результатом предыдущей задачи 35!2, из которой возьмем только вынужденную компоненту: Ь (2) = 2 вгп ьг~ Ь2 г где Ь = , Ь = —, 25 — статический прогиб балки, причем: М~ +Мг' г с М, +М,.- сгз = (М~ + Мг)д Тогда получим: Мг 2 Мг Еиг Мю+Мг с г с — (М +Мг)ыг Ж+М2 Критические обороты мотора Получаются тогда, когда знаменатель обращается в нуль, т.е.
А „-г со. Таким образом, с ы„р . 60 ЗОы„р ырр з пкр— М~ -г- Мг' " 2гг 55 2. Теорема о движении центра масс материальной системы Задача 35.14 (35. А массы М;, ко~ора Б начальный и лась в покое в тор л~алыл1и, принять л в положении статич мерами тележки по и Ответ: 1) Л, =(М ания по закону у, Решение. Расч етная схема — на рис. 35.!4 ж — по мризонтали вправ ии статического равновес ет Ь, причем: с.
тл =- (М| + отсчитываемая вниз от ее ст ежка + маятник) по оси у м: ус, = уы ус, =- у~ +(соа масс С, тележки под С, массы Мз. Трос в вертикальной плос реакцик1 балки ДО, в вертикальном напр упругости, равным с вертикально вниз, ось размещаем в положен деформация балки буд координата точки С,, Тогда на систему (тел Мзя, Е„„,.
Далее имев .2, где ось у направлена ' ",:!~ о. Начало отсчета оси у" ';-,',....'!'„:::;!::-".; ия точки Сы при атом. 1-"~~;.!,'Т Мз)у. Далее пусть у1 -"' '",::,:,":4',,;,;, атического равновесия. ф~~ действуют силы'. МЯ;, -':-ф~!!, ы. Применяем теорему,д'.", ;.,ф~'„у М~ У1 + Мг(уг + 1 соа уг) Мг+Мг Подставляя ус и учитывая соотношение с. Ь = (М, +Мг)у, получим: М~у~ + Мгу| + Мг1(сов 1д) = -су~ 2 = у~+и у1 = — (сов уг), М~+Мг с где гд = М~ +Мг Так как в начальный момент балка была недеформирована, то (М, + Мг)у у,(0) =-Ь=— с Кроме того, если движение началось из состояния покоя, то у~(0) = О.
Далее имеем (соа1г) =- — (з1пд ф+ созуг р') -О, если колебания маятника малы. В результате получим уравнения: (М~ + МгЬ у~ +и У1 =-: О, у,(0) = —, У1(0) = О, с решение которого ишем в виде: у~(1) =- А а1п~А+ В соя~А, (М~ + Мг)я Учитывая начальные условия, получим: А =- О, В =.= — . Тогда с решение: (М1 + Мг)Я / С у1(г) =— с (х'у М, +М, Теперь положим, что балка абсолкгтно жесткая. Тогда уравнение (1) для движения центра масс системы тележка + л~аятник» примет вид: (~А + Мг)Ус = МК + Мгх — г~Гк, где -М~ Ь + Мг(-Ь + 1 сот уг) Ус = М~ + Мг Фт — нормальная реакция балки, равная, очевидно, сумме нормальных реакций в шарнирах В и .О.
хс(О):-=.': —:.', ':" (МФ (О) + Щ(х!(О) + !ФО) с в рвИ = .М:-+'И! М вЂ”, )(-:.рггев1пы1)1 .сгжЮв=О -М.М, Мв! — х (1) =' — — В)сову М,+М, ' Мт! х!(1) х!(О) = (в!п ф — в1п 1рв) = М,+М, Мг! ' ~в1п (!весовА) — в1п вгв)- М,+М, Мт! Мг1!ео — Ма — Юо сов ыв) = (! — спышь). М! + М2 М! + М2 А так как х~(О) = О, то получим ответ Мз!в'о х (1) = (1 — совыв) . М,+М, Задача 35.16 (35.17). На средней скамейке лодки„находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы М~ =- 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы Мв:= 70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 и.
Сопротив- ! лением воды движению лодки пренебречь. Ответ: Влево на корму лодки на расстояние 1,43 и. Решенно. Расчетная схема — на рис. 35.16.1. Пусть в начале центр масс системы находился в точке 0 (гле в начальный момент находились оба человека). В данном случае под системой мы имеем в виду систему Рис. Зб.
16.1 62 2. теорема о движении центра масс материальной системы «лодка -: человек М, + человек Мг». Так как п>ризоитальиых внешних сцл, по предположению, иет, зо при любых перемещениях людей в лодка центр масс этои системы останется в точке О Пусть хв — координата центра масс лодки до перемещения. По условию центр масс лодки должен '! -'г остаться в точке хв и после перемещения 1 — (Млавки .
хв + Мг . 0 + Мг - О) =- Мломи ч г + Мг ! (Мчоггю ' хв + Мг ' 2 + Мг ' х) М в,:в+Мг+ Мг где М,„„„-- масса лодки, х — искомое перемеьцеиие второго человека массы Мг. Отоодя: Мг 50 $0 х — — 2 — — — -2-- =- — — = - 1,423 (м) Мг 70 7 Знак «минус» говорит о том, что перемещаться надо влево (если, ко- ''::::, нечно, человек массы Мг пошел вправо). "яь Решение. Так как вдол'ь горизонтали х на систему А+ В не дей-,! ствует внешних горизонтальных сил, то центр масс этой системы не, пе-::,::: ';!~ ремешается вдоль осн х. Пусть хл(0), хв(0) — начальные х-коордйнат)Ф:";;,' ':; центров масс призм. Тогда х-координата центра масс системы. 4+3;0УДат'-::::"„-'': хо(0) = ...
[гплхха(О) + пгвхд(0)). Пусть хв —. перемещение призмы 4, когда В дгзстйгла гтгрнао~'."'-",", ной. плоскости."При этом вдоль х егвггесаглельео лрданм 4,, эта:пригар:::Ф::;;. переьтеатится нарасстояние.с '=':а-...ь;:;чвсвчвинеовпарвмеудвннаатрназ)жФ,;.~~!,'. составит.„)Ьв,=. а-" Ф:+:жа. Таким образом гювдя координата по ж центра масс системы: А.+.В,будет: 1 жс = —.. ~Е4(~4(О)+жв)+ЩВ(.В(О)+.-Ь+;И. ГП4 + ГПВ Приравнивая жс(О) = вс, зтовучим; гааза(О)+ гизев(О) = гаджа(0)+ игарка+ птвжв(0) + гпв(о — Ь+ ве) = О=гидов+гпв(а — 'Ь+та) а-Ь а — Ь (гпА + глв)ха — гпв(а Ь) ~ хв 1+ тА/гпв 4 нтальной товарной платформе длийся в начальный момент в покое, ю отливку из левого конца плат- насколько переместится при этом и рабочих равна 1800 кг? Силами ы пренебречь. длина И Х Рвшвнив.
Расчетная схема — на рис. 35 10.1. Пусть А = 6— платформы, Центр масс системы «М+ гд«остается на месте вдоль ос так как отсутствуют внешние силы вдоль горизонтали:с, а движение началось из состояния покоя. Пусть т,„(0), вм(0) — начальные х-координаты центров масс людей с отливкой и платформы. Тогда х-координаты центра масс в начальный момент: ! ~с(0) == "" "(гпк (0) + Мам(0)( гп-~ М Пусть те — перемещение платформы после того, как гп переместилось вгяггосиглельио ллагл4юрмы на расстояние Л. Тогда иГколюгдяое пере- латформа) 64 2. Теорема о движении центра масс материальной систеиы мешение массы т составит Л системы будет: В ч- хл, Новая коо м(0) + ха)1 тх~ -~- Мх 0.=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
