З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(Е яп а) ()г -г Е ссе а— 1 У == Мг ° ( — а) Ь, = -МгпА. Суммируя полученные результаты и используя масс системы находится на осн у, т. е. = -~Му+-Мг )Х азп2а-МзИяпа 3 роще всего подсчи- ) 3 тот Факт, что центр ф ,2:::::: Мг — япа —,;;: '"З~М '2 Рашика. Воспользуемся теоремой о движении центра масс маховика: глас:-- ~~г ~'„..
Так как центр масс С маховика, находясь в точке пересечения осей вращения, не движется, то главный вектор внешних сил Л(е) '~ ф«') О х ). Определить главный ил, приложенных к ли- рафа, изображенного на ип ОС вращается с посторостью ы; масса линейки = АС = ВС вЂ” - 1. Рис. 35.2.1 ктор внешних сил парал- по модулю Мй,Р. 'иь Решение. Расчетная схема — на рис. 35.2.2.
Для определения главного вектора внешних сил, приложенных к линейке АВ, в соответствии с теоремой о движении центра масс лхас = „), 4~'~ ь определим ускорение точки С. 38 2. Теорема о движении центра масс материальной системы Рис. 35.2.2 Точка С, с другой стороны, принадлежит кривошипу ОС, который врашается с постоянной у~вовой скоростью ы. Поэтому ускорение ас == ас -- ы 1 и направлено к точке О. Следовательно, главный вектор внешних сил Л' — — Маг = ЛЛы 1 и направлен от точки С к точке О.
3»дача 35.3 (35.3). тор внешних сил, дейс сы М, скатывающееся вниз, если его центр и хс =- а1 /2. Ответ: Главный векто оси х, направлен в сто по модулю Ма. Рис. 35.3Л фЦ гнь Решение. Расчетная схема представлена на рис. 35.3.2, Воспользуемся теоремой о движении центра масс С в проекциях на оси х и р: Р Мхс = ~, ~х Мус =,~ Рва. а Так как центр масс С движется вдоль оси х,",::.-'.;.:".~"~.'-'~ С 2 -.':Ма-.- по закону хс — — а~ /2, то главный вектор анаш-: а,, них сил имеет следующие проекции н» осн квч ординат: 22Г ~ ='У" ФЕ -Мх, =Ма, 35,3 .
ф1 =",; Ф'„>.= МР, = О. я Значит главный вектор внещйнх.сил пара»хелен осн х, н»п~»~4н'::: в, сторону движения и равен..йо, виллю-Жв. Рис. 35.4. 1 й4' Решение. Расчетная схема — на рис. 35.4.1, где С вЂ” центр масс колеса, вс — его скорость, и — угловая скорость колеса, К вЂ” точка касания колеса с плоскостью, ед — скорость точки К, 7'„— сила трения скольжения в точке К, причем согласно закону Кулона Ф, = -7Ж вЂ” „Юя т'= О, йк 1Вк! где Ж вЂ” модуль нормальной реакции. Для ситуации, рассматриваемой в задаче, имеем Ю =- Р.
Пусть в начальный момент колесо находилось в покое„т.е. сс(О) =: О, ы(О) = О. Выясним, как будет направлена скоросгь точки К в последующие моменты времени. Запишем уравнение движения центра масс колеса: и уравнение моментов количеств движения относительно центра масс колеса: г ,7ы = Еч,. г,,7 = —. 2 (2) 40 2. Теорема о движении ценгра масс материальной системы Для точки касания К имеем кинематическую связь вк =' вс — ыг =-р гзл =- вс — ыг. Используя соотношения (1), (2), получим: Р— Р, г~ Р— 2',р 2 Р— 3 Ркр (3) гп У пг ггг гп Отметим, что в (3), Р, > О, если вк > 0 (см.
рис. 35.4.!), Р, < О, :-.')!) если вк < 0 (знак ил выбираем так же, как и знак рс, т.е. в соответствии с направлением оси х). Рассмотрим два случая: 1'. Р > З~Р, ! =- 32Р. Тогда формула (3) дает се > 0 =~ так как ео(0) = О, получим ел(г) > 0 прн 1 > О, и ситуация в точности такая, как это показано на рис.
35.4.! . 2 . 0 < Р < 3)Рр„„,.~ = ЗГР. Пусть в этой ситуации при 1 > +О началось, скольжение, т. е. вь Ф О. Предположим, что вл > О, т. е. сл(+О) > 0 (см. рис. 35.4.1). Тогда из (3) получаем при Р,„=- Р, „,„=- 2Р > О: ':- -":,:-, Р— 32Р рл(+О) =- — — < О, т.е. противоречие! Пусть ск < О (т.е.,:,:.".;:~1яФ вк(ИО) < 0 и Р, < 0). Тогда из (3) получаем при Р = — ~Р: Р+ З~Р бк(+0) =- — — > О, т.е.
опять противоречие! Единственнал =.:',:;;.~~~ ситуация, таким образом, которая непротиворечиво реализуется, это:: бл = 0 — к ел(1) =- 0 при всех 1, т.е. чистое качение. В этом слуя1ае в точке контакта К возникает сила трения покоя, котарая зависит '::,;:,",1т(к1 от величины силы Р Е (О, 32Р).
В этом случае имеем уравнения"-=':::."'.!,.'; динамики: гпвс Р Ркр покоя ~ (4) (5) .: и кинематическую связь: вк =-вс — ыг= О. Из этих уравнений мы получим, по аналогии с (3): -:Ф О=ел = Ргр, покоя = причем ваправаеиие силы трен11я йокоя Ф такое же, как и у 4р ' н» рис. 35.4 1. Таким образом„мы получаем следуюцгий ответ: 1. Р ц (322р, ) (т.е.'ел~ ай нашей задачи, тле Р = 52Р > 32Р), М22)г.
щФс';"Рп:.—::,-'Р р„-„' =., У:.. '~Рз =, АР (ответ задачи). 11, Р б (О, ЗуР). Тогда движенйе с. проскальзыванием не реализуется, а.из (4) имеем: 1 2 гпвс = Р -' Рп,,„,„,н = Р— -Р = -Р. З 3 ' Причем реалйзуется схема с чистым качением, т.е. так, как указано на 'рис. 35.4 1, где вк а О. В предложении Р = сопя!, получим: Р11 Р11 вс(1) = Зпт 2 Зпт ' Замечание к задаче 3$.4. Мы решили задачу ддя произвольного значения силы Р.
Это решение показывает, почему в условии задачи выбрано значение силы Р = 5~Р, которое соответствует случаю 1 полученного ответа. За!Вече ЗВ.В(ЗВ.В). Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти закон движения венгра масс С колеса, если козф4ициент трения скольжения равен ~. В начальный момент колесо находилось в покое, 1~1 Ответ: к, = —. г— 1зешение. Расчетная схема — на рис.
35.5.1, где обозначения такие же, как в предыдущей задаче. Однако вместо силы Р к колесу приложена Рнс. 33.6.1 42 2. Теорема о движении центра масс материальной системы с моментом М. Пусть ек гь О. Уравнения движения ентов количеств движения относительно точки С б пара сил С и мом г Р гг г. иь — — — — (М Е, г) — — — — Х, М т 3 ~ т лХ 1 им, что в (2) Е„р > О, если ва > О (см.
рис. 35.5, 0 (знак ггк соогветствует знаку ес !). Рассмотрим два 3 > 3!Р„„,„! = ЗТР ==-~ М ) -ТРг. Тогда из (2) 2 О) < 0 =ь егг( ! О) < О, т.е. точка К начнет скользи ивоположную ес (см. рис. 35.5. г, где Р„, и бк след ами). Таким образом, здесь Отмет если ел < 2М !". еа(-!- прот мест Р|л . Рю „. = УР М 3 < 3!Рт„.„„) = 32Р ==Ф М < -2Рг. Тогда, в соответст получим 6к < О, т.е. реализуется схема скольжения = -1Р(см. рис.35.5.1, где Огг и Р следуетпоменять Формулы (2) мы имеем: вин с (2),;,'-:,;:"'~;;,~,~ местами!).'-,::;=':~ >О, Из мы пришли к противоречию! Следовательно, в этом ьжение точки К невозможно, т.е.
реализуетея чистое и образом, Огг = О =: егг(з) й О„а в точке касания во трения покоя, величина крторой опредеяяется из соот магической связи в случае,чистого качения: т. е. скол Таки сила кипе гав г тес Р Гьз М ! 2 р ' г Х 2 Для точки К имеем кинематическую связь ек =-- ес — ьгг ==~ вк =- Ос — ьгг Используя (!), отсюла получаем: 2 М ! г' 2М1 .= — — "'(! - 2) — — - — = — — ~/ЗР, + — — ~1 гл т г т), я г ( гг кс(Е) =- — при ес(0) = ес(О) = — О 2 ел = — — ),— ЧР+ — ~ = — ~-УРг — т т $.' гйе 2 иентра масс удуг такими: ', -е (О (2);;-':-,;- !) и Р, < О, случая: следует, что ть в сторону, уст поменять ','",:;.'41~ ::,м огда уравнение для«движения центра масс будет таким: 2 тпФс = — М и.-«е при М =' сонат и хс(О) =.
хс(О) = О, получим. 2М 1з М«г хс(гг.=— Зшг 2 Зптг Как видим, здесь закон движения зависит от приложенного момента Таким образом, мы получаем следующий ответ: 3 1. При М > -уРг (т.е. при достаточно большом внешнем момен- 2 те, или достаточно малом коэффициенте трения), движение колеса происходит с проскальзыванием, реализуется схема рис.
35.5.1, где Г«э и вк следует поменять местами, а закон движения не зависит от величины М и определяется формулой: У 1г хс(1) = —, при хс(0) =хс(0) = О. 2 3 П. При М к. -~Рг (т.е. при малом внешнем моменте, или большом 2 коэффициенте трения), движение колеса происходит без проскальзывания, т.е. реализуется чистое качение (см. схему на рис. 35 5.1, где следует положить ех —— . О, а силу Ф, =- Е, „, направить по оси х).
Тогда закон движения уже зависит от величины М = сопзп М1з хс(1) = —, при хс(0) = хс(0) = О. Зпзг ' Замечание к задаче Зб.б. Вопросы, рассматриваемые в задачах 35.4, 35.5, изучались в известной монографии П. Пэнлеве «Лекции о трении» (12). Задача 35.6 (35.6). Вагон трамвая совершает вертикальные гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Т = 0,5 с. лежки и колес 1 т.
Определить Рошение. Расчетная схема — на рнс. 35.б.1. Механическая система состоит из кузова (с центром масс в точке С|) и тележки с колесами (с центром масс в точке Сз). На систему действуют внешние силы: силы тяжести т1К н пзз1г, нормальные реакции Ф> и ЛГз, силы трения Фч, н Р,р,. 44 2. теорема о движении центра масс материальной системы У, К Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
