З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 11
Текст из файла (страница 11)
7х — — ь<,7, — — 9«< 102 4. Теорема об изменении главного момента Ь, ,,~(Й вЂ” ыт)' + 4 Ь~ А, = й задачи след циальное ура )З с пт 1Я + З„ 3, У ые колебани ацп (ага — е~) + Задача 37.19137.23). Ре1вить предыд г ! мента сил сопротивления гл,, пропорцг твердого тела, причем и„=- —,Зф, где )3 Ответ: д =- А ~ яп (ы1 — г, ) + А1 я1п ~Змй фл 9 1)1+ 2пы агс!д— й — ы 6пьг агс1я —, й1 — 9ьг' * "яь Решение.
В рамках предыдуще сопротивления гпы = В результате получим дифферен Поэтому вынуяогениые крутильн коном: уст учесть момент сия:,:М,,':::"; вненне движения тела:: -'-::щ в1п ЗИ. я тела описываются за,'.:-'-'"';.~::", Зй)14а1Е 37'-26'(37.-,еб), 'Диск Ю; радиус которого раасн В, а масса.'-,"М подвешен на упругом стержне АВ, ймеюигем жесгкосп на кручение с (рис. 37;20.1). Конец сгвржйя 'З ойяипается по закону Ра = ыо1 + Ф $1п рг, где ' гоог Ф,': и —: постояйные величины. Пренебрегая силами ,,сопротивления, определить движение диска 22: 1) при отсутствии резонанса, 2)' при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень — недеформи рован.
ыо . ©тает: 1) ЧлЯ=ыо1- — о1пИ+ й 1 р . '1 Г 2с 2сФ рис ат 2О.т + ~о1пу~ — — о1пИ~, где й=~ —, 7г= —; йз рз~, й,~ 'У' МДт' М21~' ыо. и/1 2) 1оа(1) =ыо1 — — о1п7г1+ — ~ — о1пЫ вЂ” 1сооЫ гй ~й Решение. Составим дифференциальное уравнение движения диска, используя теорему об изменении главного момента количесгв движения относительно вертикальной неподвижной оси вращения а: 7,Ф = — с(р — ув) Здесь Р— угол поворота диска (абсолютный), оо — рв — угол закручивания стержня, .7, =- МЯ /2 — момент инерции диска относительно оси я, прокодягдей через его центр масс.
Поэтому МД2 — (о = — су + с(ио1+ Фо1п р1), 2 2с 2сФ 2г У+ Мято'- М712'и'Р" МК2 Ф. Это есть дифференциальное уравнение вынужденных кругильнык колебаний диска без сопротивления. Собственная частота коэффициент 2сФ й = — —. Мп' Решение уравнения 1о == Р, + Р„„. Собственные колебания 1о,, = С1 ип И+ Сз сов И. 4. Теорема об изменении главного момента г04 собственной 'В::.': '„'а~ф Вь»нужленная часть колебаний зависит от соотношения и выну,клаюшей р .астот.
Рассмотрим два случая. »' 2с нса й фр,т.е. ~»вЂ” у' МКг 1. Отсутствие резона О, дают уравнения,'!~ Ь »р =- С» ь» п й»» Сг сов йг + — »йп »йг рг~ г„ = о д(о) =- о, р(о> =- Начальные условия: при ~~~оси~~~~но С» и Сг.. йр 0=- Сг, 0=-С»й+ +ма 1й'-И Отсюда находим: ь»а Ьр С,--- — '- ---, С,=О й цйг — рг~ ' Поэтому движение диска определяется законом и»о " /. р р = ь»а» — — а»пй»+ -г а»пр~ — — в»пИ й ~йг-рг~«й / 2с 2сФ тле й= —, й=— 'у' М2гг ' М»ог Г2с 2.
Явление резонанса й = р, т.е. ° » — = р . Тогда у МВг р = С» а»п йг + Сг сов И' + — » а»п ~ р2 — — 1 + ь»»»8, 2р 'х 2 гг Из начальных условий определяем С, и Сг. 0 = С», О = С,й+ — яп ~ — ~ +ма 2р 'к 2/ й ыв й ые = С»= — — — = — — —, Сг=О. 2рй й 2йг й ' Поэтому движение диска определяется Законом: lй и»в~ .' Ь »»»» = »4вг+ « — / вгй,йе,,есоайе = «Ой й /-- 2й ь~, ',:- йК1 = а»М -' — ':ней~'+,:.— рЫН-, йсзгаЯ . й=:.::::=::::.::2й:«й Эща)МФ: 37.21. ($7.2 ц.".
тбердое тело, подвешенное 'к, упругой проволоке. еоверац)ет-иругильные колебанйя в жидкости момент инерции тела отг)оентельио:оси проволоки д равен. У„. Момент сил упругости : про)и)локк гни)„, = -су), где с — коэффициент упругости, а ег — угол закручивания; момент сопротивления движению пг„= -др, где уг— угловая скорость твердого тела, а )б > О. В 'начальный момент твердое тело было закручено на угол ьгв н отпущено без начальной скорости. т Найти уравнение движения твердого тела, если — < ~) —.
и, Ответ: Затухающие кругнльные колебания по закону 'и 'ю)е "[ )~/Р- 'ю) + — ы(чР— '~)[ «/В:=огг с )у где Й = —, н = —. ,г ' 24, Рйшенио. Дифференциальное уравнение движения тела имеет вил; А,Ф = — од — )уА где Р— угол закручивания. Отсюда имеем )г с '))+ Ф+ уг О- 1, .7, Л +2пЛ+Л =-О. Его решение — п~~„/д2 Лг п~Л г' где /Л2 г с т 4гг' )' с < ~/ — (случай малого сопротивления, и < Л). ~/~, так как по условию— 2.Г, Поэтому д = е ™(С) ап я) Е + Сг сов я)Х). Это дифференциальное уравнение свободных движений тела с учетом вязкого сопротивления. Коэффициент затухания и = Д/(2,Г,), собст ленная частота й = «/с/У,. Характеристическое уравнение, соответствующее полученному уравнению, следующее: 4.
Теорема об изменении главного момеига )Об рв, ДО) =- О. Вычислив произвпд-".-.","!!~9~ )+е ™(С~й, совА1 — Сгй,вгпЩ,' . С~ == пВго(АЗ, Сг = уго Закон яви- ~а О ~(О) = Начальные условия: при 1„.=- нхю В (г) = пе (С~ тяп А12 г Г г сов А21 ванна и постоянные интегриро я тела принимает вид наиде жени > с )уг где й~ =- .7, 41~ ' ни П ~р - — — уое ' ) — бпА".~1+совАЗФ тело совершает затухающие крутнльные колебания Задача Э7.22 (Э7.22). Однородный круглый диск массы М и ра; днуса 22, подвешенный к упругои проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упру~ости проволоки гп, „,::- — свг, тле ось г проведена вдоль проволоки, с — коэффициент упругости, а у — укол закручивания; момент сопротивления движению гп„= -))р, где вг — угловая скоросп диска, а гг > О, В начальный момент диск был закручен на угол Вгв и отпущен без начальной скорости.
Найти уравнение движения диска, если: )3 / 2с ,3 / 2с Мггг гу' Мггг" ) Мггг ~ Ц Мог' Ответ: Апериодическое движение по закону б 1) -- — - = з! — — —, уг=угае (!+и(), где и= —, Мггг У Мггг' Мггг ' 2) ),/, .—. („.-г— Аг .),-д= + ,б,Г 2с уго „г à —,яг=агг МЯг У Мггг 2~%~ — А + ( г„-г „г+п)е —,lй~=Рг1 г Аг д~~2 * Мгсг ' (4,~аи Реваение. Дифференциальное уравнение движения диска Хг)р стг )уЮФ где 1, =- МЛг/2. Отсюда "М222 М222'=' КоэФфициент затухания и =. —, собственная частота я':в,.—.'.:4';:; Начальные условия, прн 1в =О уг(Щ-(ра, ггг(О)=О, Мот х,,юг . "Это случай:критического сопротивления (и = к).
Характеристическое урав- нение имеет вид Л~ + 2пА + й~ = О. ~кз = -и+ ъ~~'Р = -и. у(С) = е (С~ + Стг). Скорость меняется по закону уУ(1) =-пе ы(С~+Сф+е ыСь Используя начальные условия, получаем постоянные интегрирования: С1 ' ~Р0 С2 =- п~РО. Следовательно, закон движения диска имеет вид: <р=де лд ~(1+ы), апериодическое затухающее движение. Рассмотрим случай 2, когда /3 / 2с мдг у уу' Это случай большого сопротивления (и > Й).
Здесь характеристическое уравнение имеет два действительных решения п~ х~дз ьт Поэтому закон движения диска следующий; -м у — Ы-ь с ~лт-к- с) ~о=с (С~с ' ~ Се Скорость ~р(8) = — пе ~(С~с " ь '+Сге " а ')+ + -"(-С, / ~-Ы вЂ” "-' ' С„/:":Ре'" -"") л. Теорема об изменении главного момента аюшее двяжение гкг '-::,":,'~"; Используя начальные условия, получаем, чго Ю .Пп: Ла+ с,—— гпз Лг ро ьп- — я — и 2 Слелояа гельно, диск совершает апериодическое затух закону Г (~/: йт+ п)е Т"- ");,;:.';::::: р'в 2 гп» вЂ” Л2 Задача 37.23 (37.23). Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешисго момента гп = пзе соь р2, где гпа и р — положительные постоянные, а — ось, направленная вдоль проволоки.
Момент сил упругости проволоки т„,„, =- -сд, где с — коэффиниент упругости, а д — угол закручивания. Момент инернии твердого гела относительно оси л равен .2,. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела я случаях: 1) х/е/1, ~р, 2) х/с/7, =р, если в начальный' момент при ненапряженной проволоке твердому телу' была сообщена угловая скорость ыл. Ответ..
1),/ — р р, 'у ~, ~~а уг ~ с тйе. у == — баН+ (созр2 — совЛг'), где Л = ~/ —, Ь =,—; Л Аз — рз 2),~ =р, у1, ыо пте р= — вп)гт+ — Ля)пИ, где Л=- ~г — =р, Ь= Л 2Л 'у',7 ' .7; ьи' Решение. дифференциальное уравнение вынужденных крутидьг)~;:;":::,ь~ колебаний тела без учета сопротивления имеет вид: с пзе вЗ+ — р = — сов р2. 7х А Здесь уг — угол закручивания упругой проволоки, опреаедввзвОФ положение тела при его вразйеиин вокруг вертикальной оси д.
Собственные. колебания опззрывакщя. законбм 4 . 7)мдзайтв'зоб;ювяглФФИ'.'Главною',МумэйУв где:Ф '~Ус~4. нхайальныеуйловия: он 7о =.9 р(б) = О, фб),= где Вйнумеинйе.копебання зависят от-соотношения частот к и р. (.. Рассмютрйм нерезонаиснын.'случай '7о ~ у.
т.е. '~/е72~ Ф р ищем "частное рещение'в виде Всмр$. С помощью метод» неопределенных гпо 'коэффициентов находим В = . Поэтому закон колебании тела .7 (4~ -)зз) будет" пто ут = С1 з1п И'+Сз соз И+ созр8. .7 (7д — рз) Найдем скорость ~р(8) =С1йсозИ вЂ” Сз)ояпИ вЂ” япИ. опор ,7„(й'- р') Использование начальных условий позволяет вычислить постоянные интегрирования См Сз. Итак, ыо С гпо Л ' .7,(7о — р') Поэтому в нерезонансном случае закон крутильных колебаний лиска имеет вид: ыо ~р = — яп И + (сох ре — соз И), /с,7,(ьд — рз) где Ф = т/сК.
2. рассмотрим случай резонанса, когда к = Р, т. е. х7г~З, —.. р. Воспользуемся решением, полученным выше, при р — г й. Введем новую переменную е по формуле р = й + е. Вычислим ~ыо пто т- о~ л,7,(И' — (7о+ е)з) бпъ — гйп И + — - (соо ((й Ф е)г) — соз И) ыа пто . Г = — яп И + — йгп — . (соз И сох И вЂ” яп И яп И вЂ” сох И) . 7г .7з г-~0~ — 2йе — е2 Так как при е -+ 0 и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, то воспользуемся правилом Лопиталя: ыо гпо — соз И ' О яп И вЂ” яп И 7 сох еЛ вЂ” яп И+ — йп1 7о .7. Г-+о — (2к+ 2е) ио гпо -о яп И гдо гпо =- — 51 п И + — =- — $1п И + — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
