З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 12
Текст из файла (страница 12)
г я'и И. 7г 2й й 7~ 2й Следовательно, при резонансе закон крутильных колебаний диска имеет вид: ыо ., пзо . Гс Оо = — япИ+ †.1з!пИ, А- = ) —. 7,И 4 теорема об изменении главного момента Задача 37.24 (37.24). Однор диуса В, подвешенный на упруг хрутилььые колебания в жидк(к гл„= тл з1п рг, где гпл и р— овол Фиш дги йти Решение. ДиФференциальное уравнение вынужденных колебаний диска имеет вид: 1„.
р' =. -ор — щ + тпе зпз рт. Момент инерции У, = МВ /2. Перепишем уравнение в каноническом т виде: 2ф с 2гпв р+ р+ — р = зврг КоэфФициент затухания собственная частота диска -Д=, (по условию задачи имеет место случай резонанса2„' коэффициент М22з Закон выиузкаенных резонансных круптлъиых колебаний диска Ийаве е вид: ЗрьйаМй 37;М (37'241. Лля определения' коэффицйента вязкости жндКООГИ НабИЮрГдВЕ КОясбаНИя дИСКа, йадавщвйнОПЗ К уиругай Праволоке'в жидкости. К,дйску.
прилажен внешний момент, равный Мю'этп)рЦМ~ ''= сопэг), при' 'котором' наблюдается явление резонанса, Момент сОпротивлейия'движению диска в жидкости равен оооо, где а — коэффициент' вязкости жидкости; Я вЂ” сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ы — угловая скорость диска. Определить коэффициент о вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных кслебаний диска при реэанансе равна ур.
Жо Отиетг гт = —. 'Ро БР Роцгйниа. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний диска с учетом вязкого сопротивления: ф+ 2пуЗ+А ~Р =- ЬяпРЕ, где По условию наблюдается явление резонанса, значит А =- Р и амплитуда вынужденных колебаний Ь В=— 2пр ' Ь С другой стороны, В =- ~ро. Поэтому приравняв — = Ро или 2пР Ь 2 (оЯ/(2.7,)) . р получаем коэффициент вязкости жидкости Ь.г, 2М т, И, о == 2~9Ъ А - 2В~РоР ~УоР полете снаряда вращение его вокруг оси вием момента силы сопротивления возловая скорость вращения снаряда, й— ропорциональности. Определить закон ели начальная угловая скорость равна юо, носнтельно оси симметрии равен Х момента коли-:. ".;:~~~ «и, двсокущейся сжения снаряда: 'М 4 Уеоремз об изменении главного момента "В Рвисение.
Записав георему об изменении главного честсс двссьенссв снаряда относительно его оси симметрс поступательно, получссм лиффсеренциаяьссое уравненссе двс ,уьз = -Лы. Проинтегрируем зто уравнение, учитывая начальные условия иО ы ,У йл — — — М ьссс = ьс = ьсое -мдс Это и есть закон убывания угловой скорости с течением времени / 7.27(37.27). Для определения ускорения силы тяжести я оборотным маятником, который представляет собой ссержень, снабженный двумя трехгранными кожами А и В. Один из ножей кеподвижен, а второй может перемещаться вдоль стержня (рссс.
37.27.! У. Подвешивая стержекь то на один, то иа лругой иож и меняя расстояние АВ между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему рав» но ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором периоды качаний маятника равны, АВ =. 1, а период качаний равен Т7 От ет: ~=-еязУ7' ф~ Решение. Запишем дифференциальное уравнение:::~~ф~ колебаний системы, подвешенной за один из ножей: '::::,~,',.-';~",! Ф ,УД = -сида всп ус. Размерами ножей пренебрегаем, длину 1 считаем дди::::,':ф~~ ной приведенного физического маятника. Преаполай$Фм.,' $4~:=': угол ус малым. Поэтому уравненке принимает сваг ~з + 313 ЗФЩаМФ 37.ЭЦЗ г 'вау.
'Два твердых тела ькаут качаться вокруг од- -ной и той же горнаонтальнбй оси как отдельно друг от друга, так . и'скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника,.'есди массы твердьгх тел М! и Мг расстойния от их центров .тяжести до.обтпей оси вращения а! и аг, а приведенные длины при отдельном. качании каждого 1! .и 1?. М?а?1! + Мга?1? Ответ: 1„, = М?а! + Мгаг га! !+~ 2 Рис.
37.28.! "яь Рвшение. Расчетная схема — на рис. 37.28.п где у -- переменный угол качания сложного маятника, у?е — постоянный угол между осями ОС! и ОС? (С?,Сг -- центры масс исходных маятников). Пусть .1, 1, моменты инерции маятников относительно точки полвеса О. 1аь как ОС! = а,, ОС? =- а?, то имеем для привеленных длин 1!, 1?. — — 1? =-- М, а! М?а? Для приведенной длины сложного маятника имеем: У! + Уг М!а!1! + М?а?1г (М! + Мг)а (М! + М?)?? где а — расстояние нового центра масс С до точки подвеса О. Чтобы вычислить это расстояние поступим следующим образом.
Введем систему координат Охр, где ось Ох направлена по линии ОС,, а ось Оу — перпендикуляр к ней (см. рнс. 37.28.1). В этой системе имеем для координат хс рс нового центра масс С: 1 1 хс = (хс М! + хс Мг) =: — (а, М, + а? соя уг? . М?), М! + Мг М! + Мг 4. 'Георема об изменении главного момента ! ! ус == (ус,М1 + ус~М2)— аа Яп Ро ' Мз М,+Мз ' ' ' М,+Мз !огва получим: ! а =- *~ з з + уз — — — — — - ° ! азМ з + а' Мзз + 2а АМ Мз сов Озо исида получаем ответ: М~а1!1+ Мза2!з з~Мз~ + 2а1а,М,Мз сов до !=в /,М, +. (маятники соосны), мы получим ответ, приве- Заметим, что при ро = О денный в задачнике (!О). Задача 37.29 (37.29).
Часть прибора представляет собой однородный стержень длины Х,, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси О. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы т. При этом, чтобы частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз А. Рассматривая зеркало и груз как материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз А, На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить? ! Ответ: гпл = Згп. ОА =- -Х, 3 Решение.
Расчетная схема — на рис. 37.29.1, где то — масса стер)В .'"-:.~ ня, а С вЂ” его центр масс, т, тл — дополнительные массы. Пуста':::,~9((( Уо = тех /3 — момент инерции стержня относи-'!;,:ф~(( тельно точки О. Начальная приведенная обратная':,';::;,й)))!)! х длина: -'~Ф А 1 тоЬ/2 С Новая обратная приведенная длина 1 (тоХ/2) + тХ + тлх т. ! т вз !.тХ,з ' .: ..;:'„!;-""~$~~~ Приравнивая эти выражения, получаем: з тпо (го+тле *тХ )='Хо~то-+тХ'+тле .2ф! 3 + —.ь „, ~"..;, —.
",, т:: мФ, .';.':ю щ з та Х~ ...4 а. -теорема:ай, иа!мнвийи славного апхиаита Г1 Минимум. тд по х Е (О, Ц соответствует максимуму зналзеиателя, т. е гпах 2 — - 3 — = пах)2Л вЂ” ЗЛА) =— и доетигается при 2 — 3 . 2 . Л = 0 =ь Л, = ! /3. Таким обраюм, ), ! х! —— Л, ° Х =: -Х„т*,~ = — т =- Зт. ' 3 ' !~з Задача 37.3!3(37.29). Для регулирования хода часов к маятнику 1, массы М~ приведенной длины ! с расстоянием а от его центра тяжести до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы Мз на расстоянии х от оси подвеса, Принимая добавочный груз за материальную точку, определить изменение Ы приведенной длины маятника при данных значениях Мт и х и значение х =- хм при котором заданное изменение Ы приведенной длины маятника достигается при помошн добавочного груза наименьшей массы. Отаат: Приведенную длину маятника надо уменьшить на М~ а ь Мзх ' 2 Рашаииа.
Расчетная схема — на рис. 32.30. 1, где а — расстояние от центра масс Се исходного маятника до точки подвеса О, ОМ; — !— длина соответствуюшего приведенного математического маятника. Имеем, по определению:,.' Т Ы где Х~ — момент инерции исходного маятника относительно подвеса О. Пусть теперь на оси Р, Со ОСеМ, разместили добавочный груз Мз, причем ОМз = х, Тогда имеем новый момент инерции относительно точки О: ЛХ .7=У М Рис. 37.30.1 2 1+ 2х а новое расстояние аз от точки О до нового положения центра масс: ! вт = — — (М~а+Мзх).
М, +Мт 11б 4. Теорема об изменении главного момента ию); М х М~а1+Мгх !,!~М.",. а+ Мтх М2х — М2х1 Мгх(х — 1) М,а ! Мгх М!а+Мзх' ношения М2. М,а. 2х1 .,)й)! ЬЕ х(х — 1 — ЕЯ (2) -'-~!)й( л~еем х б (0,1). Формула (2) прн--',":::~ Ковал привеленная длина (по опрея елен Х Х~ в М2)а2 М,ач Изменение приведеннои длины М~а1 -', 2 М,а -' ° М2х Фиксируем 2'1, х и находим из это го аоот 2 Рассмотри !'.
обре м лва случая: — г < О, Тогда гает вил: согласно (!), и М1'а'г М2(х) = —, х 6 (0,1 — г) х(1 — г — х) Отсюда следует, что ппп М2(х) соответствует х е !вл-О (1 — е ! ,': .уф3 гвах (х(1 — а — х)) =- при х, = —. ват<2-ю 4 2 !' ':х)!!$ Для корректности необходимо еще показать, что В < е < 1. Это еле. дует из Формулы (!), которая при О1 =- — а имеет вид: ..„':,"1: Ф М2х(1 — х) — — в<1, те, М~а + Мзх Мтх(1 — х) < (М1а+ Мзх) е=ь — Мзх < Мга), Последнее неравенство уже очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
