З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 14
Текст из файла (страница 14)
уравнения (2) удовлетвбряет условию задачи. 'Введем новое переменное а = жД. Тогда уравнение (2) примет вид: Щ =- а +а(2Л1л — 1) — 2Л1л созда = О, (3) где Л = тл/гпз, Р = а~Д. Пустыре б [ — я(2, а/2[. Тогда уравнение (3) заведомо имеет корень на,интервале а Е [О, 1[. Действительно: У(О) = -2Л1лсозуло < О, У(1) = 2Лр(1 — солсо) > О. Это и свидетельствует о наличии корня, однако величина этого корня будет уже определяться тремя параметрами: Л, р, ~ре1 Задача 37.33(37.37). Круглый цилиндр массы М, длины 21 и радиуса г =-1/б качается около оси О (рис. 37.38.1), перпендикулярной плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на расстоянии ОК = 82Ц12 точечную массу ~п? Ответ: Период качаний не изменится, так как точечная масса добавлена в центре качаний ци- линдра.
! ! Рис. зт.зв.1 вял Решение. Вычислим момент инерции ки подвеса О (см. рнс. 37.38.2) ° Го — зс+ М цилиндра пюсительно точ- 2,' .~ ~/2 — М[3г + (21) 1+ — == М1 12 4 12 М12 — М 3 — +41 +— М12 М 12 М12 — + — + — =- 144 3 4 М1з 2М1з 85М1г + 12з 12 144 рис. Зт.зв.2 л. Теорема об изменении главного моменге Привелещ гая длина зтого физического л«аят««ика в ычисл 35М«' 2 85 2 144 М» 72 Те М»/ ачи 37 риода т.|., в со«т«ве«стаи«« с резу груза в точке К (центре льтатом предыдущеи зад качания) не изменяет пе Найти уравнение малых колебаний однср«Здт радиуса г, совершающего колебания вокруг зонтальной оси 0з, перпендикулярной его кости и отстоящей от центра масс С диска расстоянии ОС = г««2 (рис. 37.39.»».
К дисприложен вращаю«ций«момент тп „причем , = пт««5«п рг, гле гг«««и р — постоянные, В иаьный момент диску, находившемуся в и«окнам ожении, была сообщена угловая скорость'агв. ами сопротивления пренебречь. Считая коания малыми, принять з«п р у«. Ответ: 1» ПрирФ '»««вЂ” 3|' 4тпв — — — 7«яп»«т + з«пге где ~ «»« «а - рз.« ~'-у' Ч3г' зю' 2» При р =- тт«вЂ” /3 з«3г — ыв + — ~ яп р( — — з с«и рг р ~, 2р,~ 2Р 4пзв где 7« = ЗМгз Решение. Расчетная схема — иа рис. 37.39.2. Составим уравн|е|йз«$ изменения кинетического момента относительно точки подвеса О: Хоу« = гп„- Мд- а«п «р| 'ф где 7е ='3«с+И~-/ = — + — '=,-- '«тя«г;-"-:- | МК г 'и« 'Прлагая Ып9« ~ (р, получим: Задача 37.39 (37.38».
ного диска массы М и гори плес на ку «и ге|я) вр Сил Рис. зт.ав.! леб яется по Формуле! К, .37, прикрепление'-'-',:;:;.';:|~~ колебаний. ФФ'':ф+: „МР, „'й(ЯРЕ "~ ".(Р+Й (о па1пР$, 2я. ',,' '44йо 1 . 'Пусть гг Ф р. Тогда решение ищем в стандартной форме: 1о(а) — А а(п Н + В соа Ы + С а1 п рг , 'Константу С находим:простой подстановкой этого решения в урав- : нение; получим 'после сокращений: -Ср~ $1 и р8 + В~С а1п р1 = Ь яп ре Константы А и В находим из начальных условий: оо(0), 1о(0) = ыо. Тогда получим: 1Г рй 'т А = — (ыо — Ср) = — ~ио — —— О=В, ыо = йА+Ср Таким образом, получаем решение: Л Г р, р(1) =- -ыо япН+ — (яира. — — яп Н й-р(, й йг р р 1пп 1о(1) =- -ыо яп р1 + 1пп — ( - — 1 соя Н + --,— яп Н ь р -г гй й 1, й / 1 -- — иояпрг+ — -~ — 1созр1+ — а1прг р 2р ~, р = — 1 ыо+ — ~ япр1 — — гсоарг. р х 2р,~ 2р 9).
В сейсмографах — приборах для регистра- применяется физический маятник, ось подвеса л и с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до равно а, момент инерции маятника относительрез его центр масс параллельно оси подвеса, равен вна М. Определить период колебаний маятника. Н- 2'. Пусть Л =- р. Устремим в выражении (1) Л -+ р.
Получим, используя правило Лопиталя: ебаник около перпендик)н .. ': ф()й)) и, образуемой"-.:=;::.':;;:";:!:: . В результате, в плоскости , 37.40А, вносяя проекцией:„ф~,'"~„':...: л $(п и. Тогда лой: ходящей через:,. а)(((32() хф~~ 120 4. Теорема об изменении главного момента ЬХР Решение, Расчетная схем К на рис. 37 40А, где АВ 1',— шая угол а с вертикал в этс»м случае — ьпо «новой» вертикали 73 лярна оси АВ и лежит Осью АВ и «старОй» колебания маятника ~ , 'Г2 ~ф — ось подав ью Колеба обычные кол Е „которая в плоскост вертикалью 1роисходят кости рис являет ,ЬЕ, Я2 —— я форму т22у„ перпендикулярнои плос ле силы тяжести, которое ускорения я на ось г7Е приведенная длина даетс Рис.
37.40. 2 (22Р ЕЗ2Па 3с+ Ма «р— — х — 2 ~ где Ус — момент инерции маятника огносительн центр масс С и параллельной оси подвеса АВ. о осн, про Задача 37.41 (37.40). (3 ви О ризонтальных колебаний фун ник ОА, состоящий из рыча может качаться вокруг своей удерживаясь в вертикальном п равновесия собственной ма жиной (рнс. 37.41,1). Определи колебаний маятника при малы ли лгаксимальный статически" р с ат 4««МаЯТНИКа ОТНОСИТЕЛЬНО ЕГО ОС момент инерции относительн коэффициент жесткости пружины, сопротивл шьонально углу закручивания, равен с; при маятника пружина находится в ненапряженно лениями пренебречь.
брографе лля записи го-' даментов машин маятга с грузом на конце, горизонтальной оси О. оложении устойчивого ссой н спиральной пруть период собственных х углах отклонения, еси момент силы тяжести и крашения равен Жай, о той же оси равен 7«2 ение которой пропорравновесном положении и. состоянии. Сопротиа- ~4' Рещение Составляя уравнение изменения ки относительно'.Оси вращении маятнииа, получим: ухзу = -сР -ЩЬ ие4р. ух ОТИЕТ: У = 2гт с+ Мя(х , ' х(24((ее =...;,~1)(в,„ а Хд- Таким: Ьбраавм, малые, колебании происходят с частотой и периодом Т = 2тг~ыв.
! / Решение. Переходя в подвижную систему координат, связанную с фундаментом, и вволя силу инерции -- Мт, мы получим уравнение кинетического момента относительно оси маятника: 3Д =. — СР— МЯЬ 51П Р вЂ” МХ . Ь Сов Р. Подсгавляя сюла х == — аи~з|пм1 и принимая бор = ~р, созр = 1, получим: г Маыз Ь ф' + Р . ь~о = — — з~ и ~Л, У, .у,~р+ Р(с+ МЛЬ) = Мша~Ь з1п ьл г — Ре ° ьг ипы1+ыоуомпьЛ.=- згп<А =-.ь 1, = а =- — ~1,(ыв — ш~)1 = — — (С + МлЬ вЂ” и~.Г.). 0 Уравнение вынужденных колебаний р = уаяпьгг. Подставим у в урав- нение: 13О (а1 — 2М!Ят)( Ответ; ы = т~(2М~ + М') у ч»е Реизение.
Расчетная схема— Применяя теорему об изменении момента относительно зочкн О, пол е» вЂ” (УА0~ -' ~%ее т) — — гп А( Используя кннематическую связь ив = М,т1 — аэ ь М~т ь» = а( — М~ят 2 1 уа(з ь»(() — ы(О) -= М~т~ 1- М1т~/2 2 ) з — — — —,(аг — 2 (2М, + Мэ)т'- Рис. 37.43.2 Задача 37 44 (37.43).
Для определе инерции Х махового колеса А радиуса В но оси, проходяшей через центр масс, к тонкой проволокой, к которой привязали сы М~ и наблюдалн продолжительность гири с высоты й (рис. 37.44.1). Для искл в подшипниках проделали второй опыт с М», причем цродолжительносгь опускаи равной Тз при прежней высоте. Считая трения постоянным и не зависящим от вычислить момент инерции Х ния момента относительолесо обмотали» гирю В мас-, Т~ опускания ючеиия трения гирей массы ия оказялас(»' момент, рилм, массы' гици»( 4.
7еореме об изменении главного момента Задача 37.43 (37.42). Прн пуске в ход электрической раб»ану А приложен врашаюшпй момент ж,„„проверни ' н ! мени, причем пйя =- а1, где а — посто массы М, поднимается посредством ка на барабан А радиуса т и массы Мз Определить угловую скорость барабан сплошным цилиндром. В начальный м ка нахолилась в покое. на рис. 37.43.2. ',';;'3»,',-',;,"(."",,э кинетического учим: М~у ":;-:.",'(3(тй' — М,йг( = -::::-,:-!))(В.
М,йт(). Яре!в:-=,'Фйп(й)((В(Р, ((ЙЕЧЕт((ай СХЕМ:-..+,На Р)(С, 37.44,2. . х.оа(авнм"' ))равнение',.'зр!)я ''изм!'ентен(((( кинетиче- Г'окою::-момента„отйосрительйо точке О системы « гг +* фК А (!) — «ААы+ М(га(в) ° г() =' М(я-''гт - пг ((( где пг = сопз( — момент сил трения. Используя кииевезтнческук) сВязь вв = ыг(~ мы получим для (О ускорения точки В: Ь с К~ ~,й + Мг~ — М)в~ и)!р .(!)«ХА , (!) 2((МаЯ вЂ” гп ) — а)=рв = 2 + ~~г Рис.
37.44.2 Аналогично для груза Мг.. й .(г) гА и) п(МкВ гптр) + Мгг(г) =- М)Ф( пг '=-р (гг = в в ~~ ТР В г ) МД2 С другой стороны постоянные ускорения а, и аг можно найти из кине- матических формул: а!У! г Ь =- —; 2 аг2г г Ь =- — — — — р 2 2Ь 2Ь а= — —; аг= Тг' Тг' ! г Таким образом, получим систему двух уравнений: НМ!Ы~ гптрг г ( )А + М)!( ) 2Ь г \ г 2((Мгя22 ) р «(А + Мг2( ), Вычитая одно уравнение из другого получим: г ) ( ( ! г М! Мг 2! (М! МгМ = ХА " 2Ь ( — — + 2Ьг( Тг т'г ! г 132 4. теорема об изменении главного момента «Задача 37.45 (37.44). )х валу х приеоепи-', 2 )х ' 1) нен электрический мотор, вращагощий лаз.
мент которого равен т«(рис. 37.45.)Х.' ПЬ' 4~ х„ы д 1. -- ххх средством редуктора скоростей, состоянмяФ ': я )) ~~~я, из четырех зубчатых колес 1, 2, 3 и 4, этот ! врашагоший мол1ент передается на шпиндедв.'::.':::-';~.'-' Ряс а".4В 2 ХХХ токарного станка, к которолгу прихожей. ',«ф момен~ сопротивления тп2 (этот момент воз«:,.'$4~ь никает при снгпин резцом стружки с обгачиваемого иэделия). Опре-' делить угловое ускорение шпинделя ХХХ, если моменты инерции всех,',"":,. врашакзшнлся деталей, насаженных на валы Х, ХХ и ХХХ соответсп)еи- -,':,« но равны Х«, l««, Хи«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
