З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ьаг 1«Мат .,4 ав ее = М!яду -~ — -Ьяар — — — ар+ — — др+ 2, т с- ~, г с- Г'„ МаЬт у, Мтерс' К, Мзлс „ + -"- — — — — — йр — --'- ~р — —" йр. г Х(с — 1„) г й(с — У„)2 т с-~к гле Разделим левую н правую части на ат и сократим все слагаемые ий е.::,~ + М + М ) =' и + Мз(ж+ 2 )'-',~~ ~ Ь(М~ Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой '~~ частей на (с — г„), получим: МзЬУ„Г с' Ьс 1 У„с Вас =- М~яс+ " ~ — — + — ~ — Мзв —. Ь (2 У~ з)) Сокращаем на с„расписываем выражения а, Ь и с, группируем члены;,зйт В результате получаем: "г ч(г 88зяедявм',Мременные а"дифФеренпиальном уравнении и берем инте- (Мг:-',+;:Мг+2Мз)" вдв = 8 М|+ — (22+ 2т)— Мг 2Ь.
а ' о Мгг Г! .1 г 1к 1 Г ! т 21, 4Ц т т ~2В ВУ„/ Из'полученного выражения получаем величину скорости груза А при епо опускании на высоту Ь: гм в= ' ~М1+ — (21+ 2т+ й)— М»+ Мг+ 2Мз 1 МЗ+ Мг Х вЂ” 41 — 4Е 9). Механизм эллипсографа, расположенный в кости, приводится в движение посредством ного момента гпв, приложенного к кривошнпу ОС ачьный момент при р =- О механизм находился ую скорость кривошипа ОС в момент, когда он рота. Дано: М вЂ” масса гпв =- гп — массы пол- АС =- ВС =- 1; массой ами сопротивления пре- Рис.
38.48. г ваь Решение. Расчетная схема — на рис. 38.48.2. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме: Т То = ~~ ~А» г ~~ ~А» » В силу условия задачи Те = О. Определим кинетическую энергию системы для конечного ее положения: =ТАВ ч 2А+2Ы М"с .1с ьгАВ гплвА гп"А г г г г .ТАВ=.
— + 2 2 ' 2 2 гг г ГПВВЫ УППВ 2 2 214 5. Теорема об изменении кинетической энергии рис. ЗВ.49.2 Выразим все кннематические параметры системы через искомую угловую скорость крнвошипа мв, Для этого построим мпчовенный центр скоростей стержня АВ (точку Р) и запишем: вс = ыв ОС = ыю1 (так как точка С принадлежит крнвошипу ОС), вс = ылв СР = ылв1 (так как точка С принадлежит стержню АВ), = ьзла = ыв сл =- ылв АР =. ыв ° 21 совр~ = О, вв =шла ВР=ыо ° 21т1пр =ыв 21 ! г=г/2 Поэтому М з1г М(21)т 1 гпыв41~ г г ~ згз в +,'+О+ — '=2ыв1 1 — +'" . 12 2 Сумма работ внутренних сил системы так как абсолютно твердые тела соединены гладкими шарнирами.
Из внеш'-'. них сил работу совершает лишь постоянный по величине вращавший-',;:,:;!.;:: момент глв.' Е'- А(,' = А(гпв) = гпв . Фр, = гпщ~'.;;;",.:.'! „;=,.;. Вйк/т' ': -: -3----=--="'ь -: - '!-'в ...,...:.„4 :.':.'-::.'еМ)афМФНМя),сей)йденнца величины, в исходное уравнение, получим Жф ' — +тп брука(а:угловая скорость кривошипа 3 1, й~в =— 21 М+ Згп ыдущую задачу с учетом посто- шарнире С. Ва' 'Рю)панно.
Воспользуемся решением задачи 38.48. Теперь, с учетом лействуюшего в шарнире С постоянного момента сопротивления тс, ~А," =А( ~= — / ~~Ф ФП ь ь ' где ~ — угол между крнвошипом и стержнем (~ОСВ) равен ~ = я — 2р. Поэтому ф = -2ф. Отсюда х/2 4(гпс) = — гас 2Ф <И = — птс 2 с6р — — — тся, ' " так как ф не меняет знак на заданном участке движения и ~ф = 2~Д = 2ф. Теорема об изменении кинетической энергии примет вид: 2 2 М гнея 2ые~ ~ — +т) =. — — тстг. ь, 3 1 2 К ' 'Отсюда угловая скорость кривошипа 1 Зя(гпе — 2гпс) 21~) И+Зги 216 5. Теорема об изменении кинетической энергии ошипу ОО1 положеннорис.
33.50.1), ,л=Мо-ша, постоянные, шипа. Масса оса сателлия кривошип аа 50 т тонким одноролным стержнем, а сателлит— однородным круглым диском радиуса г, определить углоную скорость ы кривошипа как функцию времени. В начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен 22; силами сопротивления пренебречь. Указание. Применить теорему об измененный кинетической знертнн е диффе« ренцнальной форме. Ответ: ы = — (! — е ""), где Хн, = ~ — + -М~(Л+ г) Мо муз„„м' ~н 3 т о ~3 З2 рие.
33.50.2 Решение. Расчетная схема — на рис. 38.50.2. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме ДТ= ~~~ И~.~+ > Ы~.1. 'к е Кинетическая энергия системы Т = Т1 + Тт. Кинетическая энергия кри; вошипа ОО~ То, т Г гп(22+г)~ Т~ — — — ы '= — ы. 2, 2 3 Кинетическая энергия сателлита (по авижного колеса) 'Мро,: 'Том:. а . з Тт = — '.+: '.И1« 2 ' '.2 В1 ' «~';.'::::,:.;;.Сиораать.ценз3«а масс сателаита эо, '= ы; 60~ =' ы '(В + г); ь)омент ннерции Мгт %': ° уо~ив 2 во, В+г ы~ = — '=ы —, 1)«..- ''так как предполагаем качение сателлита без проскальзывания и потому «а":: в точке его касания с неподвижной шестерней находится мгновенный центр скоростей.
Итак, 1 2 2 1 1 (В+г) Т = -гп(В+ г) и + -Мо~ (В + г) + — Мг и 6 2 4 гг 1 з г 3 з 1 т тУ1 3 = — гп(В+г) ы + — М(В+ г) ьу = -ы (В+ г) ~-т+ -М б 4 2 1,3 2 Дифференциал кинетической энергии АТ =- ы(В + г) ~ -гп + — М й . (~3 2 Так как абсолютно твердые тела светелкам соединены гладким шарниром, то ФА» = О. е Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то дА~" = АА(М,Р) = М,р - д<р:-- (Мо — оы) А р.
ь Подставив найденные выражения в теорему об изменении кинетической энергии, получим диФференциальное уравнение для кп ~/1 3 ~(В+ )'~ -~+ -М йи=- М вЂ” ~~ дд. 1,3 2 Разделим левую и правую части уравнения на сЫ: «р ы(В+.) ~-~+ -М~ — =(М, — ..)— 13 2 «а ~11 2/1 3 '$ йа (В+ ) ~-~+ -М~ = А1. ~,3 2,~ Ме — ггпу 218 б. Теорема об изменении кинетической энергии Проинтегрируем уравнение Введем обозначение /! 3 .Т„=- ~-тп+ -М~(Л + г) .
пр )пр — — !и ! — — ь2! =-1. а !т, Мв / Отсюда, потениируя, получим угловую скорость кривошипа ы =- — (1 — е '"), где 3пр - — — ~ — тп+ -М~(Л+ т) Мр — а2 (х,„ /! 3 2 а 'т3 2 ве' Решен янного моме г!А~'~ = д к А(М, ) = — М,р в!ап4 д4 = -М, з!апф. ф А! Здесь ф Распишем = р| — Р— угол поворота сателлита относител так как !р не Используя творе шение задачи 38 '-- н ,: ~:::к я,: .'е:;:;;:-",я-'.,':,.~-„', Перепишем результат интегрирования в виде ив.
Воспользуемся решением задачи 38.50 нта трения М,р на оси 0~ имеем !тс+г ..1 В, В Й = !Р! — Й ~~ — „Ф вЂ” 4 = -„Ф = — „ меняет знак. Поэтому ас,, В ИА(М, ) = -М, - -1р Ф = -'Мз,'2-.' 4у., му об изменении кинет!!черкай энергии; .50): л ььТпр е!а2, ='':(Ма — ска),Иф"-' Щик4 Ж„' С учетом посто-, ьно кривошнпа.".;)~) гк2лучнщ. (Ф!ч, фа +'3М (® )з г)т1!йд ' ' ' ' Я йа *(Мв' одвт) М ' г р .а ~Ма — М, Я(г) — аы = — — ма !п ~Мв — М вЂ” -тхет~1 =8~ ст тпр I ст — — 1п ~!— ьт =1  — (! .
е — 'Ф~в) гт /'1 3 я„=- ~- +-мрл+ ) ~3 2,) Задача 38.52 (38.53). Кривошип 00, гипопиклического механиз- ' ма, расположенного в горизонтальнои плоскости (рис. Зв.52, !), вращается с постоянной угловой скоростью ьтс. В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента М, сил трения на оси сателлита (подвижного колеса) механизм остановился. Определить время г торможения и утюл ь поворота кривошипа за это время, если его масса равна Мы Мт — масса сателлита, 21 и г — радиусы большо~о и малого колес.
,Ф Кривошип принять за однородный тонкий стержень, а сателлит — за однородный диск. рис. 38.$2.1 Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. г«"вр ! гор з у М~ 3 '1 г Отаат: т= — ьв, у=- —, ьтв, где,Ув,== ~ — +-М1~(К вЂ” г) . ВМч, 2!!М, ~ ~, 3 2 Рещение. Расчетная схема — на рис. 38.52.2. Применим тсорему об изменении кинетической энергии в дифференш1альной форме: ИТ= ~~ ИАь' + ~~т т!А„.. а ь 5, Теорема об изменении кинетической енегггии Кинетическая энергия Т Т = Т1 + Тъ где "~от г Мг (22 г) — *й/', —.
2 6 ыы Мггго,То, мг — +— 2 2 р е. за.ь».г Здесь Мгт-г гго, й — г г~о, -- чФ-г), То,= —, 2 ' г г Поэтому Мг(Д г) г, Мгг Я г) г 2 -щ+ ., гр, =- 4 г- р р г + -Мггг =- — ы,, 2 т' 2 где приведенный момент инерции /М~ 3 Тр = ~ — +-Мг )(22 — г') рр ДиФференциал оТ Хпрг4Р~ Йр~ Так как механизм расположен в горизонтальной плос нир О гладкий, то ,'р АА„.' =О. Из-за наличия постоянного момента М,р сил трения н» ос ~~г г2А~,'г =. дА(М ) = -М,р»щп т(г г2ф = -М, яйп ф . ф Ф где угол ггг = у~+угг — угол поворота сателлита относится '~'-г. ) В .
й М! =!А+чуг(= А+ —.Ф~~ = — '(М =— так как Зуг не меняет знак при движении,мелвинам».;; АА(М ). = -М -григ:Ю ~;:;-М~' -'.:4рг М~ (22 — г)г Т= — — «а, + 6 ы, г , (М~ = — ( — г) ( кости и цгарр ЩМ и сателлита Ог = -М,р(г(г(Ф~ „~, . фаэнение-движения механизма 'принймает вид: Хррщ.йу~ = ' М Ф~оо ч) Проинтегрируем уравнение (1): о р~ .Ур~ы г( ~ = — 1 М вЂ” А(р ьь о угол поворота кривошипа 1 г,барр УМ, 3 у~ — — - — гро. где Х = ~ — + -Мо~(Я вЂ” г) . 2ВМ,р 'х 3 2,l Для определения времени торможения кривошипа т перепишем уравнение (1) в виде: Я 1,рьл йо~ =- — М,„— и~ пг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
