З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Дае гибкие нити об:;:::«~ггаа««й,аокругоднородного круглого цилиндра '";я«««)«евы,;М:-:н:радиуса Ф' так, что' завитки их "-т«вбгаздощены симметрично относительно сред- А .,щй )«««60«спета, параллельной основаниям. Ци:"щщдр„:,йомеп«ен на наклонной плоскости АВ так;,.гто его образующие перпендикулярны ли: нии.:,",:йаибояьц«его ската, а юнцы С нитей здкрерлены симметрично относительно выцю- рис.зв.го.« указанной. средней плоскости на расстоянии =,=.2т от плоскости АВ (рис. 39.20.1). Цилиндр начинает двигаться без '.начальной сюрости под действием силы тяжести, преодолевая гре-"й««е о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен 7.
'Определить путь а, пройденный центром масс цилиндра за время «„ и натяжение Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени нн одна нз нитей не сматывается ло конца. « « аут««вт«а = -д(а«па — 2~соха)г, Т = -Мд(х«па+ ~соха) 3 6 Цилиндр остается в покое, если «я а ( 23. "4" Ре«««вино. Расчетная схема изображена ':~,';,:,;.,, 'на рнс.39,20.2. Силы натяжения ннтеи, нор- хг ~ Т ':,'?'-:-: мааьные реакции и силы трения -- это си- Ш Р 'Г,~ л И~~ "~"" г Р "" Р" «» лев~~ ( у ~ ) б. - 1мг х разуюц«их цилиндра. Поэтому изображенная на рнс.
39.20.2 сила Т вЂ” это равнолеиствуюц«ая двух сил натяжения ннтеи, сила «3— равнрдействующая нормальная реакция, сила . зв.го.г а«я,;:-'-' У вЂ”, равнодействуюшая сила трения скольжения. Составим дифференциальные уравнения плоского движения цилиндра Мгл == Мах«па — Т вЂ” У'„,, 0 -= Б - Мйсоьа, Мт~ — у« = Тт — Р,т 2 Выясним, при каком соотношении параметров будет происходить Каяенне (со скольжением) цилиндра. для этого предположи лп что цили ндр остается в покое (и значит нет скольжения). "у-: 0 Мя в!и а Т Рдр~ (!) =~ !т:= Мясова, Х = Мясова, 1 Р,р — — -Мя в!и а. 2 с учетом нуле- 252 6.
Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела Запишем условие отсутствия скольжения (в состоянии равновесия): ! -Мяв!па < ~Мхсова. 2 Отсюда получаем, что нилиндр остается в покое при !я а < 2Г. Предполагая выполнение условия гяа > 2у, перепишем уравнения (!), учитывая, что Р,„:= ~1т': Мхо =- Мяв1па — Т вЂ” ~Иксово, Ж ==- Мясова, (2) Мгт — ф = Тт — ~МХсова.
г. 2 Воснользуемся тем, что точка Р схода нити с цилиндра — мгновенный центр скоростеи: хо --- фг =-:р хо = ~рг. Мхо = Мяв1па — Т вЂ” УМ~сова, (2) ~ Мт1 йо =2:Ф вЂ” — - =Тт — 2'Мдсова т 2 г 1 3 Т = -(Мдып а+ урсов а), 2 хо = -й(в!па — 2у сова). 3 Так как Т вЂ” равнодействующая двух сил натяжения н равны в силу симметрии, то 1 1 Т! =Тт = -Т =' -Мд(в!па+Усова). 2 6 Для определения нуги в, пройденного цейтром масс' пили грируем дрирференциальное уравнение для коврдйнвтьв хо вых начальных условий. Пахучим 1 в'=' хЩ = -ф(в)па'-";2~-соФаф .
3 ва! !)о) )во ,~!::-;,:,,:::;;:!;-~:-.;";.:::;::: "'::: "' 7:.'ЩМлгМнйм гаафари:лчфовломв :=;-':".':::;:::-;фусвзд~ ивы векторных ироизмденнй, получим Лдгагзв(яд= ОС РЗ1пд. рт~,~ Ж~,> 1200, 0 1б,4яз 15 159,7 (Н). 0,5 ния бегуна на горизонтальное дно чаши складыпического давления Р и силы тяжести бегуна Мд: Мд = 15 159,7 + 1200 9,8 2б 900 (Н) сила давле силы гироско д" =Р+ 26,9 (кН). ален вектор Р,.„п Вниз.
Рие. 40.0.2 Решениа, Расчетная схема — на рис. 40.8.2. Ось прецессии направлена перпендикулярно рисунку, собственный кинетический момент Н ко- 3-" ' лесного ската (гироскопа) направлен по его оси влево по ходу движения. где 7. Приближенная геория гироскопов В соответствии с формулои (4) в этом случае возникает гироскопический. момент ЛХ,, стремящийся совместить векторы Й и аи и направленный перпендикулярно оси колесного ската, вперед по ходу ее движения. Этот момент нагружает внешний и разгружает внутренний рельсы (по отношению к траектории движения ската). Этот момент реализуется как пара сил давления, приложенных к рельсам. Запишем: Р',Е =- Нанз1п90', Отсюда Выг Мрзына~ Е Е угловая скорость вращения колес ы, = г /а, угловая скорость вынужденнои прецессии ог искривления нуги ы1 ю/ЕЕ.
Поэтому ,ее я Мрз — — М ° 0„55аз— а ЕЕ аВ 1400 0,55 0,75.400 Р, = — — — — = 770 (Н). 200 1,5 Так как у ската лва колеса, то сила давления его на рельсы следующая: на внутренний рельс сила давления равна — — Х~ =- 700- 9,8 — 770 6860 — 770 6090 (Н), М8 2 а на внешнии рельс М8 — — + Р~ .=. 700 9,8+ 770 6860+ 770 7630 (Н). 2 г Задача 40.9 (40.9). На рис. 40.9.1 изображен узел поворотной части разводного моста. Вал АВ с шарнирно прикрепленными . к нему под углом сг стержнями СХ7 и Со вращается с угловой скоростью ыа.
При атом А конические шестерни К и Х, свободно на-: саженные на стержни СХ1 и СЕ, катятся без: скольжения по неподвижной плоской'.гориРие. 40.9. т зонтальной шестерне. Определить силу 'Ю- псянительного' линамического давления ше'-: стерен К и Х массы М каждая на неподвижную горизонтальную шестерню, если радиусы всех шестерен равны т;,Йодвижные шгютерни считать сплошными олноролными' дисками.
Й, ось вращения Рис. 40.9.2 (йь' Решение. Расчетная схема — на рис. 40.9.2. Расслютрим одну из цзесгерен. Так как она катится без скольжения, го вектор ее мгновенной угловой скорости й лежит на прямой СР Причем ю=- йетса, - где'Юа — переносная угловая скорость (угловая скорость прецессииЗ, и†",4 ' 'угловая скорость собственного вращения шестерни, направленная по ее %! '. оси симметрии (вдоль стержня СЕ). Величину ы, найдем из нектарного параллелограмма угловых скоростей. Нетрудно убедиться, что полученный 1т., параллелограмм есть ромб. Поэтому ы, = ым "„В" ' В соответствии с формулои (4) за счет вынужденной прецессии с уг- ® ловой скоростью ыа возникает гироскопическии момент Му вт Мг — — Й хЫа, (((." 'который реализуется в виде момента дополнительной реакции Г (силы ги- роскопического давленияЗ в точке У отнссительно негюдвижной точки С: 3 Ф Ныасйпа == Рг Мгз Ныампа ~'~амп Мгы~аыпо г г г 268 ?.
Приближенная теория гироскопов Задача 40.10 (40.10). Клад роной а -= 20 см вращается оси АВ с угловой скоростью оси Е22, совмешенной с диаг ется диск М радиуса г =- 1О стью ы = 300 рад/с (рис 40. ношение дополнительных си на опоры А и В к соответст давлениям. Массой рамы пре А считать равномерно распредел Ответ: 4,32. Рие. 40,10.1 Решение. Расчетная схема -- на рис.
40.10.2. Зададим для определенности направления врашения рамки с угловой скоростью ьЧ и диска с угловой скоростью ы (рис,40.10,2). По условию и» ьп. Поэтому диск рассматриваем как гироскоп, ось ~ которого прецессирует вокруг вертикальной оси р. Собственный кинетический момент Н вЂ” „г — Мг-''ы Рнроскопическии момент Мг в соответствии с формулои (4) стремится совместить векторы Й и ьч. Мг =- Й х йп Вектор Мг направлен перпенликулярно рамке противоположно ее движению. Мг есть момент пары сил дополнительного бокового давления на опоры А и В за счет врашения с угловой скоростью ы~ ." Мг = АВ х Р~ = ~Й х ?г. Поэтому имеем соотношение Мг ыы~ь|п45' =АВ Р Мгтбю! $1п 45' АВ а Определим теперь статические боковые давления в опорах А и. В. Для этого составим уравнения равновесия системы (при отсутствии вращеяия рамки и диска): ~~1 „Е 0 Рис.
40. 10.2 < ~л — ~в =0, -Хд . АВ+ Мд- =- О. 2 Заметим, что лл:- — 2'ю, лд == лв. Силы со штрихом — это реакции со стороны подшипников на систему. Следовательно, ,ст,с~ Мдд ~А Вд 2АВ Получим отношение дополнительных сил бокового давления к соответствуюшим статическим давлениям в опорах А и В: Е Р~ Ме ми~ а1о 45' ° 2 АВ ~Т ~д 4В МР~ гр (0,1~~. 300 2 —. 2 2 4,3. 9,3 0,2 270 7, Приближенная теория гироскопов ~ Задача 40.11 (40.12).
Колесо радиуса а и массы 2М круг горизонтальной оси АВ с постоянной угловой ск АВ враигается вокруг вертикальной оси О2З„проходягд колеса, с постоянной угловой скоростью ыз,' направл С показаны стрелками (рис. 40. лы давления 1тл и йтв на и В, если АО = ОВ:== Ь; ма номерно распределена по его а'ы, Ответ: )т'л =. Мя 1+— я6 в и~ 1'т'в — —. Мд 1— хь Рис. 40А1.1 Н =-,7м = 2Ма ыь т $ Ось колеса ~ прецесспрует с угловой скоростью ьи вокруг неподвижной вертикальнои оси л. Возникает гироскопический момент Мг = Н х ь1з, перпендикулярный плоскости О~а и направленный на нас (см.
рис. 40.11.2). В результате в подшипниках А и В возникает пара дополнительных сил Решение. Расчетная схема — на рис. 40.11.2. Собственный кинетид ческпи момент колеса (гироскопа) равен 7.'ЯэФжжвннагг;-теорий гнгзоокглгрв $ф~',.'::.;;,:'"; ~ФфйкО6Йческог плавления д и Фы Определим их: 2Ма~аггьгташ90 =Р'АВ 2Мв гаггаз. 2Мв лагат Мв аЧыз АВ 2Ь Ь статического давления на подшипники. Для этого вновесия системы (вращения отсутствуют): '>,'К,,=о, ь ,'г Мо,(Г„) =-0.
ь на рис. 40.11.2 в точках А и В изображены силь ки А и В. В уравнения равновесия войдут силь на вал АВ со стороны подшипников, которые : Фл — — -Рл ° Рй =- -Рв Итак, уРавнения Рав ~'л + ~в — 2~В = О. ем, что Гл =- св —— МХ. Выпишем суммарные сг пинки А и В: г Ма ачыг / а ийаз 2 / 2 В+ е.ст + Ьг Ь вЂ” ~,,Ь Мазга,ыз,/ азы,ыг '1 -Р, + Вв- = — — --- + Ый =- МЛ~ 1 — — — --) лЬ ) составим Заметим, что на подшипни -,,:".гг - действукидие ряЮт условиям 1 лавления ~ реакции, удовлетво- новесия: Из них получа ния на подши Фт Чй(2У„= «лы давле- ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
