З.П. Козлова, А.В. Паншина, Г.М. Розенблат - Теоретическая механика в решениях задач из сборника И.В. Мещерского (1115228), страница 26
Текст из файла (страница 26)
р'+ т~ адача 39,6 (39.6). Ось ведомого колеса автомашины движется гоюнтально н прямолинейно. К осн колеса приложена горизонтально правленная движушая сила Е'. Радиус инерции колеса относительно и, проходяшей через центр масс перпендикулярно его плоскости, вен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен Е".
адиус колеса равен т, масса колеса равна М. Какому условию должна овлепюрять величина силы Е для того, чтобы колесо катилось без ольжения? Сопротивлением качения пренебречь. .24 2 т." Е'<ЕМд —. Р Решены По условию е. Расчетная схема движения колеса — на рис. 39.6.1, колесо катится без скольжения. Поэтому в точке касания .;,,»;;;, ы с землей находится мгновенный центр. скоро-:, .зв11 стей колеса и потому яо -— . 9тт.
А также ус = т ~гйа Составим дифференциальные уравнения паос-:...',„.,."'. е=." МфЕ4.=.лФ вЂ” Мй, -:...:-.:.- ..::-,.",.;~~:„-' Мр~ф =..~*,:г,::,. -::..:::,::..:::::::;,."=,—:-::,.-,,' ~"-" 230 б. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого гела !$ Огсголй ат= Ил Етр Е Р' рт + г 2 ' Дщамичеекое условие качения без скольжения ~Р,„~ < ~йг принимает вид. рт + г~ Е( ~Мл Р' Жф. вЬ.
$Щ' вяь РаизЕниЭ. Воспользуемся решением задачи 39.б. С учетом трения качения дифференциальные уравнения качения колеса без скольжения принимают вид: Мас =- е — Р'„„ О=М-Мл тес -:тг Мр — =- Г, г — пт„., г Фй' где момент трения качения гл„=- У,Х Решим уравнения относительно %~' нормальной реакции Ю н силы трения скольжения: В~ Ф: 2 1 йГ=МВ, Р' =(Рф +Угу — г ° Ъсловие отсутствия скольжения прн качении ~Р;р~ <,гЛ' принимает вид неравенства для л' лр2+ ~„.гМЛ 232 б.
Плоскопвраллельное (плоское) движение твердого тела Отсюда движушая сила р< ~М8(рз + г~) — ~„гМ8 Р Задача 39.9 (39.3). Автом с ускорением тле ло остано ном иэ его колес не включ У Коэффи Дано: г радиус ине давления Я 2) Рис. 38.8.1 Решение. Расчетная схема — на рис 39.8.2. Согласно закону ра- .з венства сил лействия и противодействия нормальная реакция на колесо р со стороны дороги равна тт и горизонтальная реакция на колесо со стороны оси равна о. Пусть вертикальная реакция со стороны оси на колесо равна ч. Запишем дифференциаль- .!': ные уравнения движения колеса: з)1 0 = -Мя + )'т + Я„, гпр сз = Р~рг.
Рис. 89.8.2 '$ По условию задачи жс = -тсв. Для дальнейших рассуждений пона- добятся первое и третье уравнения: -нисе =Як+У„„ ~р'-у3 = -2 „г. Следует рассмотреть два случая, 1 . Колесо катитсябез проскальзывания, т.е. точка Р—. мгнованный центр скоростей и жс = Рг. Значит Р = -зле/г. Поэтому, возможно качение без сколыкения. 1словие Кулона ьжения: рт (Р~) < УФ, т.е. т — тиа < ~Ф ~Ф г~ и~а ~— т р~ Прн таком ускорении ма сила рг1, А(= е 1+ -,~- 2'. Колесо катится с проскальзыванием, т.
е. хр т'- О. В этом случае .г' =- -2Ф Вяп хл =- — ~М яяп (хс — ья"). Поэтому уравнения движения приобретают вид: < тхс = о* — 11Ч з1Кп (*с — рг), тр Ф = УЖ агап (хс — дг) - г. Возможны две ситуаиии: 2'.1. хр > О; 2,2. хр < О. Рассмотрим их. 2 .1. хл =- хс — 1рг > О. Тогда из (!) получим: т*с =- .ч~ — И', тр~уз =- у№. (2) Согласно условию задачи хс == -тюе (ма > О).
Тогда из (2) получим: — ттлр .= Я вЂ” ~.Ж, ~Ит 1я(1) = 1р(О) + — 1, хс(1) = хс(О) — е~а1, тр~ 8, = -'яъщ 1-'~ф~!, движ Р =' -т61а — т' — 'тле = ттле 1 +— рт, р ртЪ ' и= та ~ гт~. 234 б. '(7лоскопараллельное (плоское2 движение твердого гела Для скорости точки Р имеем: 12У гз хр(~) — хс(0) — в(вХ вЂ” (р(0)г — — -уев тр у2Уг~ Ъ = Н,(0( — к(0(( — (к~ — р. трз Отсюда видно, что при хр(0) = хс(0) — у(0)г < О имеем хр(8) < 0 (8 > О). Этот случай должен быть отброщен.
А если хр(О) =- хс(0) — (р(0)г > 0„ то эта ситуация продолжается в течение времени хр(0) уу„г,2 ' св+ —,— ш(в При этом имеем о, — — г2У вЂ” тив. Остановка колеса (т.е. точка хс(1) = 0) хс(О) произойдет в момент 1„=- — Ясно, что в(о хс(0) хс(0) — ф(0)г ~багз 1, > г,(, так как — > — где А = —. щ в(в+ А трз Поэтому при 1 6 (г„1,) процесс гюйдет либо с чистым качением (при Р) . ~((г(бь уЖ гз в((( < — — ), либо с проскальзыванием хр(О) < 0 (при п(в > — — ). ~3~ уп ф' т А это есть ситуация 2.'2. Фйа 2"'.2.
хр — — х — д(г < О. Тогда из (1) получим: тхс = е + 72У. тр уз =-у№. Так как хс = — твв, то из (3) слелует: ттвв — 8к + РГ. уФг л(Ф) = уз(О)- — $, хс®=хо(О)- р~, трз Як = -(ти(в+ ТИ), Тогда для скорости точки Р имеем: р(т) < О при всех точки Р влево.
*р(Ц > О при е со скольжением (О) — ф(0)г > О, то изуетсй. саит торможени +.угт). А если 'яс е. ситуаций не реал г — =' А. Тогда, ес рг О, то ар(т) < О ли жс(0) — ог(0)г < ,'~~~;:."': в течение времени тг =- ) ЯО)г — хс(0) -(ес(О) — ог(0)г -(гоо — А) Посмотрим, когда 1, < $г (т. е. сколыкение будет прололжаться весь ин- тервал торможения): лс(0) у(0)г — ас(0) тоо А — зло =г Аас(О) — иоас(0) < д(0)гио — ас(0)го, гс(0) Аас(0) < Ф(0)™о =- гоо > А —.— ' ог(0)г ф(О)г — зс(О) "г = А — тоо а затем уже будет чистое качение вплоть до остановки (хс == О).
Если же лс(0) > ог(О)г, то при гоо < А будем иметь жр(Х) > 0 при достаточно малых т, т. е. ситуация не реализуется. Итак, результат и ответ таковы: 1) ар(0) =- ас(0) — <р(0)г > О. уг"т' гг И гоо> — —; тп рг' ер(0) приО<$<1~ —— происхолит качение со скольжением уу,2 иЪ+— гпрг в точке Р вправо, причем Я, == уЖ вЂ” пгво, г.р(~,) = 0; ес(0) Итак при Ес(0) < Зг(0)г и при А — < гоо < А будет торможение. ф(0)г а4щ ' со скольжением точки Р влево. При лом 5,:= — (тио ь ~Ж). жс(0) ~гуу; Если 0 < гоо < А —,', то такое движение будет продолжаться в теф(0)г ' чение времени 236 б. Ллоскопараллельиое (плоское) движеиие твердого тела хс(0) при ~, < 1 < г„= — происходит качение со скольжением точки Р гло 1 влево, причем Б, = -(2'Ф+пплв).
фВ-", ~у тт !.2. ио < — —; ,т* ~Й1 хр(0) Мр при 0 < т < Г~ == -, происходит качение со скольжением ®4 У1~т~ --"К:: тле +— р фф точки Р вправо, причем Я, = 2Ю вЂ” тглв, к;(Е~) — — О; В$4 ка(0) при 1, < г < г, =- происходит чистое качение (тр = 0), причем ф$ гло 23 фЩ Я т ы о ! 1 ' тт~. ща 2) жт(0) " ас(0) 'р(0)т < О. .-'4Ф йф 2.!. юв >— хДО) Я т фу ~р(0)т тп р2 гйгх кс(О) при О < 2 < т.
== происходит качение со скольжением точки Р;,$: а/в ч'и влево вплоть до остановки (ас — — — О), причем Я, = -(~М + иивв). ас(О) УЮ т (г))а 2 2 тао < —.— фО)т ж р1' .фщ фО)т — жс(0) при 0 < т < 8т = —, (здесь ию(гг) = О) происходит УЖ т' — — — гав пг рф качение со скольжением точки Р влево вплоть до остановки, причем Я„= -(УЖ + тптев); при Гт < г < г.
происходит чистое качение, причем 8,=-гптве ' 1+ — ~, т~ т: ф::т. 3) жт(0) = ас(0) — у(О)т = — О (то, что предполагается, наверное, в. усло- вии задачи). 3.~. и~в > — —; ~И тт Ма гп ф~ при 0 < г < $. происходит качение со скольжением йлейо„. прггчем 8, = -ЦФ+ гпгвв).
~Ю~ 3.2т гав а, '—. Щ р' ;~,'!~: ": 'зон,й:44'4М,' йроисхрдит чистое качение, причем 8, = -зптро 1+ — ~. йо(0) -"~';!!,': .-'- 'гдр,4:,=. —. — время торможения вплоть до остановки. ;„-';;,",-::,.":9ймйч1м1взк 'авдачв ВВ.В. Мы видим, что решение н ответ к данной задаче .«'~ф:::,:Вув1есзвеино жмвови вя1 яачрмрянх уо1рриа движения копеса, в момент начала :д~,;:тррриввения всего прицепа. Кроме того, сама сила я„может принимать значе';-ъ"-':,.".иив 4 шР ЗДà — мь, которое отсугствует в ответе, приведенном в задачнике ~ 1О). Отметим, что значение силы Я, принципиально влияет на движение прицепа -'=;; "': и горизонтальной плоскости, определяя его курсовую устойчивость, Задйчй 39.9(39.9).
Колесо радиуса г катится по прямолинейному ' горизонтальному рельсу под действием приложенного врагцаюшего 5 момента пзрр — — -~Мат, где у — коэффициент трения скольжения, 2 Ж вЂ” масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасакицейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое. ррйшенип.
Расчетная схема движения ко !-'; ' леса — на рис. 39.9.1. Составим дифференциальные уравнения плоского движения колеса: МУс = Кр 0 =- 1'з' — Мя, з- Ф = и"вр г тр ' г Проверим, будет ли прн заданных вращавшем г, моменте рнс. зв.в.з 5 гп„= -~Мкг 91)1 2 и коэффициенте трения скольжения ~ проскальзывание. Для этого предположим отсутствие проскальзывания, учтем в уравнениях (1) связь УС = 1Рг и выРазим нз них Ф н з,р. Полгчим' Мжс — .а р 1з" = Мя, зйс 5 Мт — = -~Мдг — 2Р,р . г г 2 238 б.
Г!лоскооараллельное !плоское) движение твердого юла Составим условие отсутствия скольжения 5 !Р, ! (УЮ, т.е. -~Ма< ~Ма, а Видно, что это условие не выполняется, следовательно колесо катится со скольжением. Поэтому Гр — — ~!У = ~Ма Вернемся к уравнениям (!), учитывая скольжение; Мт р — -- -~Мат — ~Мат. 2 Интегрируя первое и третье уравнения, получим; К ас — — й!+ Сн д =-- -~-!+ Сь 2 т Так как в начальный момент колесо находилось в покое (тса = рв = О), то С, —.- Ср = О.
Поэтому 3 хс =- йс, 97 = -У-С. 2 т ' При нахождении скорости точки А !точки касания колеса с рельсом) воспользуемся теоремой о скоростях точек тела при плоском движении: ЕА =- ЕС + ЕАС ° Спроеиируем векторное соотношение на ось а: з а ЖА=-хс-Фт =~ еА==ХА=-й~--У-~ т=--й$. 2 т 2 Знак .-» говорит о том, что скорость точки А направлена влево, т е. против оси а. М ха' Решение. Воспольауемся решением задачи 39.9. С учетом трдния"-;:-", качения дифференииальные, уравнение примут вид; .;..",!"'З: '::пргзвбфйм':,:буает ди 'скольжение колеса; "1!.' :.
Мжс:=' Рв, Ф:.= Мр, фс, 5 ! Мт'- ' '= - Яхт — -~М!!т — Р, т :2 4 усдввиЕ отсутствия скольжения 9 8 -ИИ < УМК не выполняется. Значит колесо проскальзывает. Дифференциальные уравнения движения при проскальзывании ко- леса ЗИс = УМй, 5 Мт 9! = -~Муг — -~тМд — ~Мдт 1 4 вс = Ух 5й хс = ~яг, 4 т Скорость точки А касания колеса с рельсом: 5Й вА хА хс Фт ' ~Ф г т ' 7яГ. 4 т 4 Знак ь-» говорит о том, что скорость точки А направлена против оси х родныи цилиндр с горизонтальнои осью тяжести по наклоннои шероховатой рения ~. Определить угол наклона ние оси цилиндра, предпола~ая, что жение отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
