Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 61
Текст из файла (страница 61)
16.106. Из начальных условий имеем с1о =- 2, С,п', ц~ = 2 В,в,п'. Амплитудные векторы, соответствующие различным частотам, ортогональны, если скалярное произведение (х, у) векторов х = (хыхг, ...,х„) н у — (ум уг,..., у ) определяется в соответствии со следующим 3 17. Движение диссипативн х систем 353 равенством: (х, у) = 2, а,ьхсуь. Поэтому (11, пг) = 2, Сг(п~, «г) =. ,1=1 =1 Аналогично имеем В = — — — — =- 2, агьеги х 2, азьиги Яг(пг, и'), ь 1 (,, 1=1 ( 2л т(с при иочгс < яч т; 16.100. т= ™I 7'5' Г '( — к -Р 2 агсюп — () — а — сост — т~б~) ~/ .
7' Г) с з, (,ео с ) тК при еочгс > яигт. 16.110. ( ) = Аз( ) яп(~Злат) +Аз ( 3) яп((( — Стао). "" (") =' (х) П (~":"*'"") -) ~ (~//2 Л(~/~ ). зла. ( ') — з, ( ) ~ ° (~((3 — — +~ -,) 8 17. Движение диссипативных систем 17.1. с — тя > О. г 17.3. Нельзя, так как рассматриваемая система не является системой с полной диссипадией, т.
е. определенно диссипативной системой. 174. (сг 4 со)(тг = (со таз))тз. Ез(С1 Е Сг) Лг(Сз -Р Сз) С1Сг СзСз 17.6. 2сггпг = сгтг или 2сгтг = 3сгтг. д(7 рП) г 17.8. Производная пшгной энергии системы равна Е = = — Охк„. Мно- дз жество 54 тех точек 2п-мерного фазового пространства системы, где Е =- О, определяется уравяением х„= О.
В этом множестве нет других движений системы при 1 > О, за исключением положения равновесия. Действительно, если х„(1) = О, то х„(1) = сопи и последний груз будет находиться в состоянии покоя. Поэтому сила, действующая на последний груз, будет равна нулю. При этих условиях обобщенные силы, действующие на все остальные массы, будут равны нулю, т.
е. система будет находиться в равновесии (см. задачу 14.15). И К.С. Пятницкий ядр. 2. А налптпческал механика 17.9. (и+1с)/2. 17.10. а) 4, 0; б) 4,0; в) 2,2: г) 2,0; д) 5,0; е) 5,0; ж) 4,1; з) 3,2; и) 4,1. 17 11. а) ~ай < 1; б) о < 1, а+ О > 0; в) 0 > О, — (0~+ 3)/(О Э 1) < а < 1; г) — 3 < пб < 1; д) 0(0+1) > О, (0+1)' > 0(1 — и) > О. 17.12. а) Устойчиво; б) устойчиво; в) неустойчиво; г) устойчиво; д) неустойчиво. 17.13. При 1о < — 3 число в = 3; при — 3 < 1о < 1 число в = 4; при к > 1 число в =-2. На плоскости ос строится кривая, параметрически заданная уравнени- Р(гио) Р(ио) ями и = все — —, с = 1ш — —...
0 < х < со. Эта кривая не должна К(ио) К(ио) ' проходить через точку п = — 1, с = О и иметь на отрезке ( — 1, 0) одинаковое число спусков и подъемов при ог > О, (Спуск -- это переход кривой от значений с(м) > 0 к с(м) < О, подъем — переход от значений о(м) < 0 к о(х) > 0.) 17.14. 17.17. При О =- О' характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару чисто мнимых корней или нулевой кОрень. На плоскости пс строится кривая, параметрически заданная уравнения- Р(ио) Р(ггм) ми п =- Не, о = 1ы, — оо < х < оо.
Интервалы, на которые эта К(ио) ' К (10)) кривая разбивает ось и, и будут являться искомыми интервалами. 17.18. Границей областей служит кривая Р(гио) Р(ио) о=Ней=Ве, с=!шй=!ш, — ос<а<ос. К(гио) ' К(ио) ' 17.19. г — гдо ггг =,— ~ ( — ) ~ 17.23. Зс = 2сы 21о = Зуй. хо — 4пйта((сК) (п < (Кохо — йта)((4йтй)). У =- (т /20) х Ъ(т/2) хх ' (2тс+О )х /(40). 17.24. 17.25. В теории устойчивости имеется следующая теорема: пусть для системы уравнений у, .=- У(р ), У(0) =- 0 существует положительно определенная функция 9дУ Ляпунова У(уг), полная производная которой У(у ) =- 2, — У;(у ) < 0 в силу — Др' системы уравнений, причем множество М тех ро для которых У = О, не содержит целых траекторий системы (при 1 > 0), за исключением нулевого решения.
Тогда нулевое репшние у, =- 0 асимптотически устойчиво. Поскольку Е(х„хг) > О, из этой теоремы следует вывод об асимптотической устойчивости положения равновесия рассматриваемой механической системы. Ь !8. Вынужденные колебаи л. Частоптые характеристики 355 В 18. Вынужденные колебания. Яастотные характеристики 18.1.
Ь=Н1— сЬ2 тр272 18.2. В = Н 174 2 18.3. О=Се!и !1 г Ьтп) — г в!вы!+ага!8 —, гдез1 — угол ),у-- —,-- К отклонения маятника от вертикали. О при О~ > 2тс, ггпу:Р7Р *1 -'- =( 18.6. а) гв71(т(гв) +1341+с], б) (о+1Ьв)71(т(гв)~+гбв+с). 18.7. И'(ыо) =- (т(!в) +2тйр(гв)+с — тй ) г 2 21 Л С 21 С 18.9. При 2О > Л С: ро = 2СВ2 ' ЛС 45 — СЛ2 ' 1'2 В Лг) 1р= — ага!в — )! — — —; прн 21 < Л2С: ро =О, Во,о = а, 1р=-О. 1Л!)С 2 )' СЦмо)2 СВ(гаг) -7-гвЛС-!-1' 1 18 16. а) И = — — ------ —; — — — -' б) СЬ(141) -!-моЛС Я 1 1ЛСв СЕ (гв) з-7вЛС-~ ! А(Вгсое121 — Вгсозз1 ] А(Вггогсое4рг — Вггоггсоврг) Вг Вг (вг — вг) Вг Вг (вг — вг) А и!пег — . При практическом определении параметров измерения Вгвг выполняют при нескольких значениях частоты в1, гог,...,в, а затем результаты усредняют.
18.13. И'(гв) = е 2 твохо 18.15. = — ага!в во тваха — Л 18.16. А= (р — ого) (яп рео — яп Р!). 2 12* 18 14. ! = )о Ь аз!од! аубсозЬ! т А о!ив!, где Й = с7т, а о и Ь вЂ” произв~ вг' вольные постоянные. 2. А налитическал меха нина 356 А о.п. = ° ( ю ° ( )) ( - ч)*+)"( В 'о' (2)), (-о ))* сс * где с(а) =-агб(с — пно +фа) В случае н) при достаточно больших 1 Сбег дя о!п (вр-(-о)(а))-(- 18.18 Сбое яп (2 ар а (р(2а) ), С где (р(в) .= агб — — — — — — — — — —.
1 — Сба -рувСЯ х(1) = А[И((в)[яп(вр-)-о)(а)), где И (ув) = [т(ув) -(- сехр( — 1(ог)) (р(в) = агб И~(рв). тсо(в — й ) хй о с Г =, сбу) = — 16 —, с) 2й сон(хй,(2в) ' 2о) ' т 1 а) х(1) = — е и [ухо соо уу т (хо а ухо) яп ф т у 18.19 18.20 18.21 а) х(С) = — [(4рхо-р2о) е '( — (рхо-рхо) е ~я) + зр о а) — [1 — е )((от ууасооуу)), где у= б) —. [1 — (ор-р 1) е ' 1, где а =- у а т 1 Гс а) — чу[3-(- г — 4е ) где 1 ( с — «( г а) — е ' яп,уу, где у = [( —; б) уе ', где а=.
)(( —; 1 а) — (е — е ), где р= — 1( —. р( -)я 1 зр 2 У(гп (у = [1 р А яп (ар т а)) 18.22. 18.23. 18.24. + — е ' Е(т)о)п[у(1 — т))(ус, где у=-(( —; — И) — ) с ')( 2 о б) х(1) = е ' [хо+(хо~-пхо)р)-'г [(1 — т) г'(т)е '( ' (ут, где а= ))( —; о 1 18. Вынужденные колебания.
Частотные характеристики 351 18.25. сг = тгр ° 18.26. сг = тгр ° 18.27. Емкости Ся в Сг и индуктивность Ьг должны удовлетворять соотношв- нию (Сгг-ЬСг)((1 гСгСя) = Рог. 18.28. Не изменится. 18.29. Только при в = угс/т. гп(ио) -~-Огвт2с с 18.30. И'п(ио) =,, И'гг(ио) =-... где гЗ(гго) гг(ио) ' Ь(га) = (т(гв) тргат2с) [т(га) т2с) — с . д(ио) тОга-~-с с 18.31. И'п(гв) =,, ', И'гг(гоэ) =,',, где Ь(гв) Мга) гЗ(га) = [д(га) -ЬОиояс) (д(гв) т2с) — с .
СгСг [1гСг(га) + иСгга-Ь1~ 1832. А = бе ~гр(ио)~, Š— — вгВИ'(гв), где И'(га)— гв(гсг) причем сг(га) = [В! Сг(ио) -~ ВСг(ио) -ь 1[ [Ьг СгСг(ио)' + ЛСг Сг(ио) + + Сг.~- Сг] — Сг [ЙСг(га) -~-1) . 18.34. (1' ) = Сг ( — яп (2.~- ъ 2) — 1-~-аг К 8 -Ь Сг ( ) яп (2 — ъ'2) — 1-~-аг (,гг2) т(28~ — 481р -~1~у~) ( — (р ) 18.35.
р=)) —, хо=О, хо=О; во=О, фа=;Е=- — яп Ц вЂ” Е К + Сг ( ) яп (2~-гг2) — г+аг + — (, ) яп(( — г. ( гг2у 1 [,2) .()=С())И[У ~ ° ) ОСг ( ) Яп — --~- — --г-1-~-аг ";; — - г ЯпРЕ ( — 1) ~ 21 гп)г ~ Зс 21рг (1(' 18.38. р = г,гЗВг (2 1). (ог) с (Зтб+2с1) ао Зьгвг+ ьо ( — Зуг Ч-вг) егпа 2. А налптпческал механика 353 =бфБ — гббб — . * б,б = 1 а-,'Ь 1 18 40.
хо(1) = — — ~ —;Яо(ау)(обо[муз-~-ов (озу)) — в!и[ау(1 — з) абрз(вуЦ, к =1' 1=1 Ко(а) = [Ибо(зв), ео(а) = агбИ'о(за) (14 = 1, 2); с Из( ) 2 4 2 ° 2 2 2т (ио) +бт(ио) -~-5ст(ио) -г26сза-~-с 2 2с — тв И2( ) — 2 4 з 2 2 ° 2т (за) + бт(за)б ->бст(з»1) 4 25сзв~-с 18.41.
аз = — аг, аг = О. 18.42. Резонанс возможен только при в = у/382'21. (1 а ио) 1 4- зв 2-~- ио 18.43. а) Иб = —.—, И'„= — —, И'„= — —, где зз(за) =(за)4-~-4(за) ~- 21(ио) ' 25(за) ' 23(за) ' +5зв+3; б) И', = — —,—, Ибз = ., где 25(зв) =(за)4.1- 1 (ио) 4.2(за)4.1 23(зв) ' б3(зв) -1-3(ио) -~-6(ио) -Губа-)-2; в) И' = —, Ибо =, Иб, = 1-~-ио' " (1-~-за)(2+ ио) ' 2 1 1 1 г) И' . г (14-за) (2 А-ио) (ио) -~-2за-~-1 " Ьз(ио) ' Ьг(за) ' где озз(за) = [(ио) -~-2за+1)[(ио) + ио+1) и озг(за) = 421(за)[(зв) -~-2зв4- (ио) -З иое-1 1 -~-)'Д) * — .
2 .. 2 Ио — . г [(ио) Е-за-Г1)[(ио) 4-2за-Г1)4-1 (за) -~-з»1-Г1 (ио) +2ио-~-1 е) Ибо =,, И'„=, где 23(зв) = [(ио) 42ио-~-1) [ио";2)4 41. 61» ' ("--" б., — ..'б*. б'о сз — тв 1' 111 . 111 з '1 " буо 18.48. бу, =- п,з [ — виоле — — со»азу( 4 2,' н,о — -г »1па11, где буо — эле- 1,2в, 2вз ( „г 'аг — вг менты вектора й =- П Ь. 18.49. а) Из(за)И1(ио); б) Из(за)-~-И 1(ио); в) Ибз (за) 1-б-И'1(за)И'2(за) 18.50. а б) В = Рз(1)Вг(1); в) В = Вз(Х)В2(Х) 4- Кз(1)Кг(1).
18.53. Пусть 1 (за) = [уз» (зв))" „— матрица, обратная к матрице%~(за), и пусть 11(а) и ч(а) — следующие матрицы: П(а) = [Кс Г о(ио))" о 1, Ч(в) =- [1пз у о(за))"„ я 19. Уравнения Гамильтпона, Рарса, Уиттекера и Якоби 359 В этих обозначениях 103ЩО1) — втП(вг) П(т) — П(а~) Ч(ю ) 2 2 032 — а! 031 2 2 В2 031 Ч(оп) Ч(вг) Ч(вз) Ч(во) П(а!) — П(вг) и(вз) — и(а4) 2 2 2 2 а1 В2 033 104 032 — ат 104 — 103 03211(031) 1019(в2) 10411(103) вз~(вз) аг — ат В4 133 П(а) -~-зЧ(а) = %(зв) (оезЧО(ио) ф О). 18.55.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
