Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Е = атосов — — — —, Е =- агаев сй(Е/з/8) ъ'Ззй(г/ъ/8) у = ко 421( —,в 14~ — — —— 3 У, Зсй(1/у/2) — 1/ о 11.107. 1) А =  — динамическая симметрия; 2) С = А +  — плоская фигура. /г'/ф+ В с,' ПЛОВ. Е= 18 Сто Ф= А , 9=(А — С) —. А' А — С Угловая скорость собственного вращения тела 9 = в яп а, угловая А = агаев ((А/С) сев а).
11.109. В /рз Е ы =агсяп ,4грг а Вгог.~. Сг~ г А )/ро+ «о Е, = агсяп А'р + В~' 4-С 11.110 11.112. Нельзя. 11.113. гс = Ро = тг воен/В 2таяпа(8 — в асооа) 2 11.114. яп2у =. ( — А) в 11.111. Вращение вокруг неподвижной оси, совпадающей с одной из главных осей для неподвижной точки. 1. Кинематика и динамика 328 ---„'Р. В г, вв=- — —, т8 тда Ь-! с ' (Ь-!-с)' 1 г г . (твг ас — (С вЂ” В)а я!папава), Ь-гс (тгл аЬ-'г(С вЂ” В)а в!посева). г Ь-0с 11.115.
Вв = Вл = — Вне = — -(З — Ь )в!и2а, 24! г1г Влг = — Вв„= (ЗВг — Ьг) я!и2а, 241 11.116. 11.117 11.118 11.119 11.120 11.121 11.122 11.123 18 йЗ-2сояв агссоя(ъ'3/2) < 0 < агссоя(1/ггЗ), а = ((— я!п 0 8' 2-0 2 в!п 0 — БАГЗ сове Ф= Л я!п 0 . г — Сад ~/Сваг -Г (С вЂ” А) тф соя ве 2(С вЂ” А) савве Л т Зг -!- фг1г в!пг ее.
Вынужденная регулярная прецессня. Йв = Вп = 2кнаС)1. Моо = (А — С) (г' в!п 0 сов О, Ме = Сад в!п 0. ОК = (А — С) соя 0/т1. Ме = д Ко/Ж -0 а х Ке 2. АНАЛИТИ'ЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 8 12. 'Уравнения Лагранжа 12.1. и = 3. 12.2. п = 4. 12.3. п = 6. 12.6. а) Интегрируема, р =- 1, 2 =- х -~-у — ху (здесь и далее р — интегрирующий множитель); б), в) неннтегрируема; г) ннтегрируема, р = е', е*(хо+ у + +2 ) =-ссопяц д) интегрируема, р =-1, (х+у) +(х+2) +(у+2) =-сопяФ. з т 2.2 ~'',Н д — П(х(дыд»д,) У(д д» дз) (д двдз) Рй 12.10. а) 1 = — (г -~-т ф то ) — П(гсоя р,гвп р, 2); 2 2 2 2 2 т 6) й = —,(го+ тго + тот~ оса~ о) — П(гвпо соя о, тяспявпт, г соя о) 2 в) Ь = ((ии-~-ий) -~-ие(и — 6) -~-4и~е~ф~) — П с сстигосояср,с/иеря!пт, ).
8ис 2 12 11. Ь = (тСс8дсдо) (дс т до) (дсдс-~-додс) — П ((дс — до)/2„ссдсдо). спс тт2 .2,2,2 тст2 .2, 2 2 2.2 . 2 тото 12.12. Ь = — — — (х .~- у -~- 2 ).~- — — (т -~- г Е -~- г ф вп 0)-р у — — . 2 2(тс -~- тг) с' тс+гп2,2,2,2 тсто 12.13. й (*" + у' т 2') + (т т т 6 т г ср вп" д)— 2 2(тс + тг) С 2 — — (à — ГО), ГДЕ Х, У, 2 — КООРДИНатЫ ЦЕНтРа МаСС СИСТЕМЫ, а УГЛЫ ср 2 и ср (широта и долгота) определяют направление прямой, соединяющей точки.
12.14. д, =- аД -~ 6, (с = 1, п). с 12 15. д, =д~ се 'т [ е 0 Псрс [е"Е, (дс ~-~ус ~)) ссс (с =-1 п). о 12.16. д=-А [~ С(6)ссссо-~-дос-~-до, где А — матрица, обратная к матрице со со А = (а,о)т м 12.17. х = СсагсРс(сссСс) тС2. 12.18. А = — снос )(1 — (т +трао+тосроясп Е) /с~туут. 12.19. х, =адтй, (с =1,2,3). Х ) ССР2 — тСО~СОЯ(МСС+аС) ~ ЗССР2 — тая~вез(хос+ая) у ( — уссрс — твовп(мсстас) ! — т/рс — пиоясвп(сову+аз) ) 2.
А пал итическал механика ЗЗО 1 12.25. тгУ+сх 1 — =О, тзу+су 1 — +тг8 =О гхз ! уг хг ! уг Г 4е, 12.26. 1 = ~ С! яг: Сгр ! Со где Ьо: Ео гпг Сг, Ео — полная знергия системы, Со, Сг, Сг — постоянные величины. хо =О, ус-обус =О, 29-рбв1п2е=О. (311~ + Р)е — 3РЬУ + За~9+ 6ххб — 3877 в1п е+ Зух сове = О, х — 779 — хф -р8в1пз = О. 819г+319гсоя(!рг — !р!) — 31егягп(<р! — !р!) г98в!пд! = О, 21ез+ 319! соя (ег — е!) + 31е~! врп (ои — е!) + Зув1пез = О.
г т1-.з .з з.з г г.з г А =. (4Е! ! Ег ! Зф!Евсея(зг Е!)) + (1 Ф! -~- соя Фз + ео 6 2 т81, -!-21ео!О!Овсов(ег — е!) -~-21ооегв1п(ег — е!)) -р (Зсояе! -!-сояез) -!- 2 4- МЗ(1сояои -~ оорсоязз). (М А-2т! + 2тг) х+ 2(т! — тз)у — 2(т! — тг)8 = О, (М+тг-гтг)У-'г(т! — тг)хтсу — (М-'от!+то)8=0, где х — смещение груза массы т! относительно блока (вниз), а у — смещение блока. 2(т! — тг) х — хо+ хо! т М-'г2тг-~2тг г К х — ф -р (уо — — (1 — совйр)+уо (1 — — ягпйр) ~, 1 '~ й' у =. уосовйб+ в!пйр-'г (1 — совйр), уо.
К йг с(М -Я 2т! 4-2тг) М(М-ОЗт! А-Зтг) А-Зтгтг Центры масс цилиндров 1, 2 и 4 движутся с постоянными ускорениями ш! =- (72!!79)8, шз =- (58!!79)8, ш! = (52/79)8; угловое ускорение цилиндра 3 составляет ез — — (2779)8) г. 12.27 12.28 12.29 12.30 12.31 12.32 12.33 -' 6'" "'"" """ " "о"'"' 12.21. Ц = ~ ~и' Яр!у!с-ь ) п' обуз!, гДе сыглЯРное пРоизвеДе; ! 7! (из,и!) ! (пз,п!) ние (х, у) = ~ ам х,зуь, а и! — нетривиальные решения системы Аи! = ,ь=! =. !!Сиз, А.= (а,ь),", „С = (с,ь)",ь,. 12.22. к~1+( ) ~ р г„* +а 8=0. 12.23. (1+4а хз)х+4абхуу+4азх хо+ 4абхуг+2аух = О, (1-!-4Ь у )у'-Р 4абхухх-94Ь уу -!;4аЬух -~-2буу = О.
я 12. Уравнения Лагранжа 12.34. Зтх| 4 4сх| — 2схг = О, Зтхг — 2сх| + 4схг = О. 12.35. Зтх В-тех+ 4сх = — О, 2тх+Ътг048сге = О. 2|а яп (а-~- О) соя Π— 3(М -~- т) впа 2 (М а-т) япОсояа 12.36. я— 8, яс= К. ЗМвт(3 — 2сов О) ЗМ-рш(3 — 2сов О) 12.37. (Мхт)хРт(й — т)(3сояо — ф в!по) ясх = О, 3(й — т)О-Р2хсовх-Р28в!ох= О. 12.39. (М В |п)х — М1(3япх-р3 совр) .~- сх — (М-р т)8 = О, 413 — Зхвп|р+Здяпо =- О. 12АО. (М-рт)х-рт13сояо — т1ф'я1по+Зсх = О, 1о-расово-равно = О. 12 41.
( М Я т) х Р т (! в!по 1- Ц сов |р) = сопев, 1О -Р х соя ц) 4 21|р В 8 в!0 |р = О, т1-Р та яп |р — т13р~ — тдсов|р 4 с(! — 1а) = О. 12.42. (М -~- |а) 2+ т(!я|по+ 21осояд+ Ц сов |р — 10~ яш|р) -р 2сх = О, 11р-р21о-~-хсовхя8в1пО=О, ш1-ртов!пх — т10г — тЗсояххс|(1 — 1а) =О, 12 43. Ь = ](т+т|-ртг)12]ха+](т|-ртг)/2]1|па(1ррг+ 42хсовт)+ (тг12)1г3г]1гФг+2хсояог+21|3|сов(ог — ог)]+ +(т| + тг)х1| сову| ю тгд1г сов хг — сх . 13 .г,.
12.44. ( — М+т |х — 1тесоя(0 — а) Вш10 вп(0 — а) — (М -,'.т)8в!па= О, 12 10 — асов ( — а) -Р 8яп В = О. 12.45. (ЗМ+2т)х+2т13соях — 2т19 в|пх+2сх = О, 13+хсоя048в100 = О. 12.46. ]М(йг+р )+тря]0 — тр(р — г)3= сопя!... 3(р — г)3 — ре+Здв!по = О. 12.47. (4М+Зт)йе+т(й — тЯ2соя(ф — 0) — 1]ф— — 2т(й — т) яро(|р — 0)д~ -1-2(М-Рш)80100 = О, 3(й — т)1р+ й(2 сов (|р — 0) — 1]0 -~- 2 йе| яп (|р — 0) -~- 28 вп |р = О. 12.48. ((312)М-',ш)й3 — те!ясов|я+тт9'в!пв|=-О, г9 — т3соя|р-(-Зв1п|р = О. 12.49. (ЗМ+2т)(й — т)3+Зт10сов(0 — О) — 2т10~я1п(0 — О)+2(Мат)8в100=.
= О, 10+ (й — т)3соя(0 — О)+(й — т)х~в1п(0 — О) +За!по = О. 12.50. т|Р| — ш|т|3| — с(1 — т| — гг) = О, тгтг — тгтг(0 +агап В) — с(1 — т — гг) — тг8сояе = О, тД| -р2т|4| = О, (тг3г-р2тгфг)юнге — тгфгеяп20 = О, гге+2гге — т|5 в1п20+Зв!пе = О. г 12.51. (т|+т|)йе — т|йф яп20+шг8 — тгхврпе =. О, Оюп В+оеяп20 = О. з г 12.52. й= — (М+т|втг)й В я — й д ят В-~. ~0 — — в!020]д 1 г'г ш| г г г Мй 1 ° г 2 2 41 ~ 2 МЗйЕ 1' ! В'! — тгайсояе — тгдйе— 2 21 (1 — й — -й04йс 332 2. А политическая механика 12.53. Л =- — ) х, — — ~~ (х, — х, <) 4(х< — х„) ~.
<=1 ~ =г 12.56. В углах Эйлера 1 = — (в +ф юп в) + — (6+усове) — ту1сояе. А... С 2 2 12.57. Ь = (т<2)(хг ю уг ю гг) + (т1г,<6) (ег-~-Огюпгв) — туг, где х, у, г координаты центра стержня, а В и у — углы Эйлера (в — угол нутации, <я — угол прецессии). 12.58 1 = — (хг-Гхгег-Ьхгуг 1п'в]+ 2 1 (Мй МН тй г гп1 г, г .г а —,~ + Ю (а Г1)-Г ~(О юп ВЮВ)Ю Мй г <пй г / 2вх < (<ЬсоявА-д) А- (а 4-1) (усове, д+ — ) + 4 4 Ь ) /МН т тх) усово, где х — расстояние от центра гайки до неподвижной точки. г г 12.59. й =.
(х'+ х'(в'+ у'в1п'е)) + ~-(н'я1п'е+ в') + (усове+ е)'~— с г — тдх соя в — — (х — 1о), где х — расстояние от центра диска до точки О. 2 12.69. Ь = — (А(шюп'в ю в') е ~(О-~-Осояе)г) ю — (*' ю х'(аею ю чгя1пге))— 2 2 — у(М1жтх)сове — — (х — 1о)', где х = ОП. с г 2 12.61. й — в (1) х = О, у -Г 3 = О, 2Х Ю в (1) юп 2я< = О.
3 12.62. й = — ~ ~то~ (и, -~-а,ь -~-у,ь) — П(~рь — р„~), где е,(1) — компоненты 2 ь=< ш< скорости то, = го(1) точки 0< в системе Х<, Хг, Хз; величины а,ь з определяются из соотношений ~ а,ье, = Й х рь, е, -- орты системы =з 0< У< Уз Уз, рь — радиус-вектор и-й точки в этой системе. 12.63. х< — вгхг — 2ву<ауМх<(хг< гуго+ г<г)-з<г О у< — в'у< Ю2вх< 61Му<(хо Юуз Юг<о) ~<~ =О, г< Е уМг<(х<,-ьу',-Ьг<)-'~г =О. 12.64.
тй6 — тйв юп2е4 ей(я< — яч) — туюпя< = О. 12 65. х = ая1п(э<11-гр)-г1 ~(усова-~-в~1я1п а) при 2с > твоя<и а; х = Ья1<(эГЛ~-Гу)-Г1 '(усояа+в~1я<п а) при 2с ( пиогюп а; х = (усова 1 <о~1я<п а)1~<<2 + <1<1 1 <1г при 2с = твгюп о, где а, Ь, с<м <1г, К у — произвольные постоянные, а 1= ~2с<<т — в юп а~. г г 12.66. 2т1Š— т1вг я1п2<Π— бс1я1пе(сояо — сеяно) — Зтуюпх .— - О. в 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
