Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Уравнение оси винта имеет вид у =- иоа/~в~ тазг, г = (а/ао)х, угловая скорость равна Зуагааг,линейная скорость иоао/З»»Р-~~",. 1. Кинематика и динамика 306 4.45. Винтовое движение с угловой скоростью ч 2 х и с поступательной скоростью (2е — ха)/ъ'2 вдоль оси винта, уравнение которой: т = а +гг/х, у = = а/24- о/х.

7' 4.46. я = е —, е ~ — —,— —, — -). г' 'Л 2' 2 чг2) 4.47. Уравнение оси винта г = а, у = 2а, угловая скорость я ( — —,О, 0), линейная а скорость ч(о,0,0). 4.48. Уравнение оси винта х + у = О, г =- а/2, угловая скорость равна я =- ч'2 = чей — е, е ( —:, — —, О), линейная скорость ч .= — ее. а ' 1чг2' чг2' )' 2 4.49. В системе координат х, у, в с осью Ав, совпадающей с АВ, должны удовлетворяться условия: (ед, — оо )/ус =- (ооо — идо)/хо =- я, е„=-О, г = А, В, С.

Уравнение оси вращения х =- — ело/м, у = ол /м. 4.51. ч гооч = О. 4.53. В системе координат с, гн ь с ортами т, и, Ь уравнение оси винта имеет вид 3аЬ вЂ” вс = О, л = а, угловая скорость равна Ь, линейная скорость с. 4.55. ш = О Ч сов (Ч/2) яп (О/2) 4.57, сов — = сов — сов —, аг =- 2 2 2' в1п (Ч/2) вш (О/2) яп (Ч/2) сов (О/2) аг.=- ~ аг = где Е и а, — угол и направляющие косинуСы оеи конечного поворота. 4.61.

а) Х = — а/2.~-х, х — любой вектор с модулем ~х~ = чгЬ вЂ” аг/4; б) при Лхх=.О ргшениевещественно: хг =-О, хо =1,при Лхк~ О решений не существует; в) Х = Л. 4.66. Угол поворота а = 2 агссов Ло, направляющие косинусы 7, =Ц(1 — Лг), г = 1,3, где Ло = сов — сов г~г ., О Ч~Е 2 2 О ч — е О ч — х О, у+о Лг = в!и — сов, Лг = яп — яп, Лг = сов — яп 2 2 ' 2 2 ' 2 2 4.67.

Угол поворота е = 2 агссов1/(2ч'2), направляющие косинусы оси поворота (ЧгЗ/Т, Чг1/7, ЧГЗ/7) 4.68. г =1г О-(ъ'3/2)1го-(1/2)1в. 4.69. Ло = Лг = Лг = О, Лг = — 1. 4.70. Угол поворота а = 2 атосов Ло, направляющие косинусы 7, = Л/~ф — ~Я, г =-1,3, где Ло =- (1/ъ 2)яп(к/(2ъг2)), 84. Движение твердого тела с неподвижной точкой 307 1! = (1/ъ'2) я!и (к/(2ъ)2)], 18 = — (1/ъ 2) соя [к/(2ъ'2)), аз = (1/ъ 2)соз(к/(2у2)).

4.71. Параметры Родрига — Гамильтона искомого кнатерниона зе =- соя (О/2) соя(О/ъ 2) О (1/ъ 2) я!п (О/2) 8)п (О/ъ)2), 1! =8!П(0/2)8!П(0/ъг2), 18 = ( — 1/ъг2)соз(0/2)8!П(о/ъ)2), 18 = я!П(0/2) соя(о/ъ)2) — (1/ъ)2) сов(о/2) 8)п(0/ъ 2), о =- ) й(з) дт. о !р о ю . !р . о . 'р СОЯ СОЯ СОЯ -)-8)П 8)П Б)П 2 2 2 2 2 2' р, о р, р о, с соз — я!и — соз — -Ь 8!и — соя —, 8!и —, 2 2 2 2 2 2' р о р р, о, 8)П, СОЯ СОЯ вЂ” СОЯ Я)П Я)П 2 2 2 2 2 2' р, о ю у о,,р — 8!и — Яш — соз —, О соз — соз —, 81п —. 2 2 2 2 2 2 480 )о)= р о с р, о р соз — гоз — соя — — я!и —, 8!и — я!и —,, 2 2 2 2 2 2' уо.р.д.од соя — соя — зш — -)- я!п — я!и — соз —, 2 2 2 2 2 2' ц, о, р, р о р СОЯ вЂ” 8)П вЂ” 8)П вЂ” -1- 8)П вЂ” СОЯ вЂ” С08 —, 2 2 2 2 2 2' о р ц о р соз — 8!и — соз — — 8!п — соя — 8!и —. 2 2 2 2 2 2 4.81.

1С = л! = !'01 1 . з з . !'01 4.72. )о = сов(~роз-)-дог!) соз — — 8)п(;~р~~рдо~1) 8)п ъ)2 ъ'2 ъ'2 1! =- — соз (Ъ!Ро + дз) 1) 8)п —, 18 = — 8)п (Ъ) Ро + до !) Я!и — —, 18 = — сов( Ъ)рз+дз1) 8!и — +Я!п~ !!р'+доз) соз —. 4.75. ъ = — !)/ъ)3 — )з/ъ'3 — Ь/ъ'3, а = 120'. (8!Пз-Ьгоз!)/ъ3 (созе — 8)п!)/ъ'3 1/ИЗ 4.77. 8=- (сов! — 8)п!)/ъ/2 — (соз!+Я!и!)/ъ'2 0 (соя!-ЬЯ!и!)/Ъб (соз! — 8!п!)/ъ'6 — Ъ)2/3 4.78. и! = — 1/ъ'3, )о„= О, мр = ъ/2/3, й! = О, йз = О, йз = — 1.

1 г' 11 — ))'з 479. Ро = — (1+ ) (1 — я!п1), 1! =Сов![2 (2+ъ)2) (1 — 8)ПС)1 —,2) = !' ° ! †!)(! ~Др 2л)! — ! !)) =- -(р(- ))- ))"' 1. Кинематика и динамика ЗОВ й 5. Динамика точки "'со г ( Ксози 5.2. (~)=-,, ( Е(1-1-Зсозги) Л тио ГЗ» Г, — 2 5 4. 2-1-1 ~ух + (х у — х у )3 ~215пз-~уу' = О (х', у', х", уа — первые и вторые производные от функций х(з) и у(з) по параметру О). 5.5. со > 2КН(1 — 2У2-~-ЗУег')22(1т422).

5.6. и > 2»' 2''2 22 222 — 22 . 2'з 5.7. 1 = — — — ~ — + — — — — — агсвп 2)( 1пп 1(Н) .= Н„~25 ~ 2 Нтй )2 НтН )' и-2 »22» — 22! 2 ния. 5.В. ~ ~х'„+ — ~ Р(Ь)дЬ~ уз =-1 — Ьп О *О ту 22 Ох 1 тух Е 2 59. У=, 1и 1- т +Н; пуир->О У-ОН-- —,х. тсо) Ос 2и н — 12И 1» 510 2= 2 -Ы1-Дн-з'+2КН2 1гог-)з "' дг )г гг г г — 222 — 1гн П вЂ” 21 г 1.

-12О! 1 1гн Дф(»»)д»» О о 2 2 С* О 5.12. с = —; е = 1пп е(1) =,, где Л= и О-2тЛОСЬЛ1 ' 2 и-1-2тЛ' 2т аг аг еН 5.13. х = Ьг — — сов(х1 т и), у = Ьг Š— вп(М т и), 2 = 62 и агз, где х =— и го ст' а аг, аг, Ьг, Ьг, Ьз н и — произвольные постоянные. 5.14. В системе Охуг, где Ох направлена вверх по вертикали, а Ох — по вектору напряженности Н, уравнения движения имеют вид х1 4.82. Ло(1) = Лосоз— 2 Ы Лг(1) = Л» соз— 2 и1 Лг(1) =- Лг соз —, 2 ш1 Лз(1) = Лзсоз— 2 где ».о, Лг, лг, Л, 1 х1 — — (Лг О»2 -1. Лг хг + Лз из) вп —, ОЭ 2' 1 х1 Х вЂ” (Лов»+Лонг — Лзхг)вп —, О» 2' 1 хг »- — (Лохо+ Лзоп — Лг хо) вп —, в 2' 1 ш1 т — (Ло из + Лг хг — Лг хг ) в и —, го 2' — параметры Родрига-Гамильтона кватерниона Л(О).

В 6. Изменение импульса и момента импульса системы 309 зе 1/. у'(. 81 х = хз + хзв, у = уз + — (1 — созыв ) + — уе + — яп я1 — —, я ю я я' 1/ зо з = за — — (уст — ) (1 — совх1) т — япЫ, где я= еН((тс) (с †. скорость света). .з г+ уз 5.15. з,„=, где х =- еН((тс) (с — скорость света). Л т () еегмз -~ уг 5.16.

Ь >, где я = еН)(тс) (с — скорость света). 5.17. Высота Н определяется из уравнения 2туН вЂ” (тез -~- еЕеве) Н -~- еЕззз — тге (сз — 23Н) = О. ео го = гл (гз х тз) — — — (с — скорость света), а угол 20 при вершине опрев г деляется углом между векторами а и ге. В сферических координатах движение определяется уравнениями с=в гз 1 го (гз т ге1) т = — агссб х аЫ т 0 == агссов— а 5.22. а) Хй +2ХО = (9/т) (16 — и япи), ну (16 — и япгв) б) (йт2бв— 8 6. Изменение импульса и момента импульса системы 6.1. Эллипс.

6.2. Эллипс. 6 3. хг = — (тг/тг) асИ, уг = — (пгг/тг) Ьв51; хз = асЫ, уз = Ьв1гб 6.4. уг > утДМ +т). 6.5. т = 3Мюе/(2ше ту). 6.6. Р = — тт. 6.7. 1 = 2ияпаЯ(1 — 1)), Л = гг~в!п2аДу(1 — Х)). 6.8. Я =го((бсове — егяпе — ягяпе), Яз — — т1(20хсове+йв1пе), й. = т(8 — )вяпе — 10'сове). (гзззс Ьзыо (гггзс Кггзс 6.11. нг = М вЂ” — — —, рг = М вЂ” —, нз = М вЂ” —, Рл = М вЂ” — — —, ('ггзз 1'ягз зязл )'ггзл где М вЂ” масса всей системы, ('из, — объем тетраздра, образованного точками з, г, Й, з = 1, 4.

5.18. Движение происходит по конусу, ось которого направлена по вектору а = 17. Изменение кинетическоа энергии. Смешанные задачи 311 9 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи Т.1. Т = (1<2) тио(1+в 1 )+(1<<2) тавсоз (1<6)(та + М1 )в . Т 3. Т = — (МФЗт)1 <о<+ —. тг вот —. тг (вг твг) т т1гв<вгсоявгс. 1 г г 1 г г 1 г г 7.4. Т =в [р(1-<-г — р) -~-(3<<4)т1 -~-(1<6)МЦ. й — 1 г 75. Т= — (~ тй[г<+2~~~г,-~-гй) т — ~ тйх й=< =г й=г х [гй т( — 1)" ой' [с<+2 ~; г<)1 + — М [г< -~2 ~; г,-рг„) ~<цг<. 7.6.

Т = — ~~ тй [ г< -~- 2 ~ г, -<- гй) -~- — М [г< -<- 2 ~ г -~- г ) 1 во-<- й=г <=г =г й-й г г -[- — ~, тй вогй -~- ( — 1) г<(<о< — ого) -[- — т<г<вг. 4й г 4 7.7. р = т< (1 — г6)г+РФ<, Кд = — тг(1 — гФ), Т = — т(1 — гФ)г+ — (гфг. 2 4 2 Т.9.

А = -аяаг. 7.16. Г, = сопяс (г = 1,3). 7.19. П = Ф(а<в+ агу-~-азг), где Ф(3) = ~У'(4) <Ц, а постоянные а, пропорцио- нальны а, Ь и с соответственно и удовлетворяют условию а, + аз+ аз =- 1. г г г 7.20. Увеличится на тт то. Т.21. А< —— 0,92Аг. Т.26.

с = , где у — постоянная тяготения. За 2т31(я[и <ро — яяо <р) — саг(сЯЗС вЂ” с13то)г. [« 7.28. и</ег = (7<гт511г — 10Нг)[[7(а — г)г); Л = 2<'. =</<Зл<<< <. — <, гд<й — <<<<с ~й') 7.32. <Зр = — тто, <ЗТ = — топ~,<2, где тс — скорость центра инерции фигуры до закрепления.

7.35. <У =- ту(Зсоят — 2сов<ро). .[(~/* ' и<'- з)<««[< при во» <<г(~7а) Е ы гз агссоя [33 <(ах~~) ). 1. Кинематика и динамика 312 7.40. Кг- '' б'-1'б-р (2дР-К')=0, тба 2/тба — ~$Ю ГСО. 2т 7.41. и— 7.42. а„, =- агссоз ((7ее+106г),((176г)). 7 43. а = агссоя ((7ее -Р106(гсояб+1я1пб)) 1(176г)).

зй+ ЗЗг" г — 1 4 7.44. р< 2агс16; е= — 6(Я вЂ”; — г)(1 — совр); ДР =- тб(7сояе — 4)/3; Р— -- т6 я1пе/3. 7.45. Отрыву при качении без проскальзывания соответствовал бы угол = агссоя(4/7). 7 46. ео = )/261юпао (274юп ао) р'6. 7.47. мо = 4 7А8. Т =. (1/3)тбб. 7.49. Т =- А~Д4таа) 7.53. Для величин Т(т)2), Т и Т(Т) выполняются неравенства Т(т(2) < Т < < Т(1'), поскольку 'Г =- (т/6) (еог -~- ег 4 ееег), 7'(т/2) =- Т вЂ” (т/24) х х(ег — ео)г, Т(1) =Тм(т/12)(ег — ео)г 7.54. П вЂ” — (Ъ'2тТ вЂ” тес) /Р. Х 7.58. Решение. Согласно теореме о вириале 2Т = — 2 г, гн где 7' — средняя =1 кинетическая энергия системы, Уг — сила, действующая со стороны стенки сосуда, и г, — радиус-вектор г-й молекулы. По условию задачи 2Т = 2%с; здесь 71' = и Ъ'— общее число молекул во всем объеме г' сосуда.

Характеристики

Список файлов книги