Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 51
Текст из файла (страница 51)
26.14. Исключая неопределенные множители в уравнениях Лагранжа, составить уравнения динамики материальной точки массы т, движущейся по инерции по поверхности: а) ха+уз+х =а"; б) хе+уз — хз = аз; в)х ху =ах; г)х+д =а. 26.15. Исключая неопределенные множители в уравнениях Лагранжаг составить уравнения динамики материальной точки массы т, движущейся по инерции по кривой, заданной плоскостью ах+ + Од+ ух = О (а + ф+ у~ = 1) и поверхностью 2-го порядка: а) х~+ у~+ х~ = аз б) х~+д~ =1 26.16.
Неоднородный шар массы т радиуса Л катится по шероховатой горизонтальной плоскости без проскальзывания. Составить уравнения движения с неопределенными множителями, полагая, что центр масс шара совпадает е его геометрическим центром. 26.17. Неоднородное твердое тело сферической формы радиуса г катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Центр инерции тела совпадает с его геометрическим центром. Определяя ориентацию главных осей тела параметрами Эйлера -Родрига Гамильтона, составить уравнения динамики. 26.18. Конек массы т свободно движется по горизонтальной плоскости так, что скорость и его центра масс направлена только вдоль конька. Найти движение конька и определить горизонтальнуго реакцию ггг плоскости.
з 26. Удавненил механики негооономных систем 281 26.19. Диск массы т, катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости так, что его плоскость все время остается вертикальной. Найти движение диска. Определить горизонтальную компоненту силы реакции %. 26.20. Однородный шар катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Составить уравнения динамики в форме уравнений Маджи. 26.21.
Диск радиуса т (см. рисунок) катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Задавая положение диска углами гр, О, гд, составить уравнения, определяющие закон их изменения. К задаче 26.21 26.22. Два тонких соединенных осью диска массы т и радиуса г каждый (см, рисунок) катятся по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Масса оси, соединяющей диски, равна М, ее длина 1. Полагая, что каждое колесо свободно (независимо одно от другого) вращается вокруг оси, составить уравнения динамики и найти движение системы. К задаче 26.23 К задаче 26.22 26.23.
Тяжелый однородный шар массы т и радиуса г (см. рисунок) катится без проскальзывания по внутренней поверхности сферы радиуса й. Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы. 2. А налитичеекал механика 282 26.24. Тяжелый однородный шар массы т и радиуса г (см. рисунок) катится без проскальзывания по поверхности кругового конуса с углом 2п при вершине. Ось конуса вертикальна, Составить уравнения динамики и найти их первые интегралы. 26.25. Два одинаковых симметричных твердых тела (А = В ~ С), вращающихся вокруг своих неподвижных центров масс, соединены гибким невесомым тросом пе допускающим скручивания так, что проекции угловых скоростей тел на их оси симметрии равны. Найти движение системы.
26.26. Показать, что для энергии ускорений системы материальных точек Я = 1 — теи11 имеет место аналог теоремы Ке- 2 НИГа: Я = — Ше+ — ~ ГП11С1,, Гдс Ш1е уСКО- К задаче 26.24 рение точек относйтельно системы координат, движущейся поступательно с началом в центре масс системы. 3 27. Устойчивость движения 27.1. Составить уравнения возмущенного движения для перманен1ных вращений твердого тела с неподвижной точкой в случае Эйлера, вводя отклонения от возмущенного движения х = р — ре, р = а Ч х=г.
27.2. Показать, что для асимптотической устойчивости пулевого решения х = 0 скалярного уравнения х = Х(х), Х(0) = О, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности ~ я~ < е (е > 0) точки х = = 0 были выполнены два неравенства: Х(х) < 0 при х > 0; Х(х) > 0 при х < О. В задачах 27.3- 27.14 выяснить, в какой области функции е(г, х) являются: знакопеременными, знакопостоянными, знакоопределенными.
Какие из этих функций допускают бесконечно малый высший и бесконечно большой низший пределы? 27.3. с(1, х) = е '(х21+хз+... +х2). 27.4. и(1, х) = — вбп (1(х1+х2+... +хи)) 27.6. и(е, х) = 1х, — 2х1я2+ х2. 27.6. и(1, х) = х21 — 21х1хз+1~х2. 27 7 11(1 х) 1 т2 (1 се ~ х2) 1=1 1=1 з 27. Устойчивость дв женив 283 27.8. о(1, х) =1~ х2 г=! 27.9. о(г, х) = х21 — 2х1х2 сов1+ х22.
27.10. в(1«х) = (1+81п2) (х21+х1хв+х22). 27.11. в(х) = (х1+х2+...+хи) +х21. 27.12. и(х) = шах (х2). 1<г<и 27.13. е(х) = шах ((Р, х)2), (1«х) = ~ , '1,х;, гани'01,1,... «1т11= и < т. 27.14. п(х) = шах (ххйьх), Ц = Ьы 1<«г<т 27.15. Функция Ляпунова в(х, 1) и ее производная О(х, 2) в силу системы уравнений в отклонениях х; = Х;(х, 1), К(0, 2) = О, удои и и влетворяют оценкам: а~ х, < о(х,1) < 6 ~ х;, О(т,2) < — с~ х;, «=1 до )и — < г ~ х2, а > О, 6 > О, с > О. Доказать, что нулевое рег=1 шепие х = 0 уравнений в отклонениях зкспоненциально устойчиво, т.е, для любых решений уравнений в отклонениях с начальными условиями хо Е Н, Н = (2,'х~, < р) выполняется неравенство 2 х~(е) < О 2,' хзо ехр [а(ео — е)), где числа а и 0 не зависят от выбора хоЕН.
27.16. Доказать, что тривиальное решение х = 0 системы х = = Р(е)х, Р(е) = (Р11)," 1, асимптотически устойчиво, если матрица Р(1) имеет предел при 2 — «со, т. е. 1пп Р(е) = Ре, где Ро —. гурвицева ! — «оо матрица. 27.17. Указать границы области, в которой может лежать поверхность уровня в = с функции в(х, 1), положительно определенной в С(т, х2 < Н) и допускающей бесконечно малый высший предел, при малых с > О.
27.18. Показать, что поверхности уровня п(х) = с функции о(х), положительно определенной в области 2, 'х2 < Н, образуют семей«=1 ство замкнутых поверхностей, вложенных одна в другую и охваты- ва!оп!их начало координат, если значения параметра с не превосходят величины с* = ппп о(х). 2 хе=и 2. А нааитичеекаа механика 284 27.19. Для уравнений возмущенного движения х = Х(х), Х(0) = = О, существует функция Ляпунова 2 2 1е 2 2 ,2 22 *2 г~= х +- — +...+ — "- 1 — 2 х +- — +...+ — "- 11 ,1 ' ' ' 2 '1 4 ' ' ' 2 полная производная которой 0(х) в силу этих уравнений отрицательно определена в области и > О.
Найти область притяжения начала координат. 27.20. Дифференциальные уравнения в отклонениях х; = = Х,(х1, х2,..., х„,1) (2 = 1, п) заданы во всем пространстве Лн. Асимптотическая устойчивость устанавливается с помощью функции Ляпунова в = (1+81п21) (х21+х2,14+... +х~ /п2), полная производная 0(х.1) которой в силу уравнений в отклонениях отрицательна во всем пространстве.
Найти область начальных условий хе, при которых отклонения х;(х) в возмущенном движении пе превзойдут е и область притяжения х = О. 27.21. Докажите, что пулевое решение х = 0 системы возму- ЩЕПНОГО дВИжЕНИя Х; = ~,' авЬХЬ (2, =1, П,), А = (авив]12 1 — — СОПЭ1 2=1 асимптотически устойчиво, если симметрической матрице (А'+ А) отвечает отрицательно определенная квадратичная форма х'(А'+ +А)х < О, х ~ 0. 27.22. Коэффициенты авва линейной системы с постоянными коэффициентами х = Ах, х = (хе]' 1, удовлетворяют условиям и ]а,„]+ ан < О, 2 = 1, п, строгого диагонального преобладания в=1,в~в по строкам. Доказать, что нулевое решение х = 0 системы асимптотически устойчиво. Указание.
Воспользоваться функцией Ляпунова е(х) =шах1х1, х2,..., х„). 27.23. Все решения линейной системы х = РЯх, РЯ = ]Рву(1)], с ограниченными коэффициентами при начальных условиях ~ , 'хее < 1 равномерно ограничены. Показать, что нулевое 2 в=1 решение х = 0 системы устойчиво по Ляпунову.
27.24. Показать, что нулевое решение х = О, у = 0 системы х = = — ху, у = ух устойчиво по Ляпунову. Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова и = х~~+ у~~. 127. Устойчивость дв женим 27.25. Доказать устойчивость перманентных вращений твердого тела в случае Эйлера около наибольшей и наименьшей осей эллипсоида инерции (А < В < С). Указание. При построении функции Ляпунова воспользоваться условиями сохранения кинетической энергии и кинетического момента. 27.26.
Используя теорему Н. Г. Чстаева, доказать неустойчивость перманентного вращения твердого тела в случае Эйлера около средней оси эллипсоида инерции (А < В < С). Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова в = — ус, где переменные х = р, д = а — вс, е = г определяют отклонения от невозмущенного движения р = О, у = уо, г з— а О. 27.27.
Рассмотрим пример стационарной системы 2-го порядка 2х , , 2у 2х 22+ У1 д (1 +, 2)2 ' (1 + )2 (1 ч 2)2 ' Для этой системы существует положительно определенная на всей плоскости функция Ляпунова г(х, у) = х /(1+ х ) + д, полная производная которой й = — 4[х /(1+х ) +д /(1+х ) ) отрицательно определена во всей плоскости.
Принципиальное значение этого примера состоит в том, что он показывает, что выполнение критерия асимптотической устойчивости Ляпунова во всем пространстве может не обеспечивать асимптотической устойчивости нулевого решения системы в целом, т.е. при любых начальных отклонениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
