Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 48
Текст из файла (страница 48)
24.25. Гладкий прямолинейный стержень вращается с постоянной угловой скоростью ео в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня). Методом Якоби найти движение колечка, насаженного на стержень. Указание. Воспользоваться результатом задачи 24.24. 24.26. Гладкая плоскость вращается с постоянной угловой скоростью ео вокруг неподвижной горизонтальной оси, лежащей в этой плоскости.
В плоскости движется однородный стержень массы т и длины 1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби для относительного движения стержня и найти его полный интеграл. Указание. Воспользоваться результатом задачи 24.24. 24.27. Лагранжиан свободной (в отсутствие силового поля) релятивистской частицы имеет вид 1, = — тес 2 где с — скорость света. Составить уравнение Гамильтона- Якоби частицы, определить его полный интеграл и найти закон движения.
24.28. Гамильтониан релятивистской частицы в центральном поле имеет вид Н = с тес +р2+р2+р2 — а)г, где а ) О, =ол4дьл, — р * .. е * ур Гамильтона-Якоби и найти его полный интеграл. По полному интегралу определить уравнение траектории частицы. 2. Ан литинеенал ллеханина Указание. При решении использовать сферические координаты. 24.29. Лагранжиан релятивистской частицы имеет вид ь = — тес 2 ~( т+„г+ з) г2 Методом Якоби найти закон движения частицы в квадратурах.
Указание. При решении использовать сферические координаты. ~л.зе. д р л. =,ЛеГ* д вить уравнение Гамильтона — Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения в квадратурах. 24.31. Гамильтониан системы имеет вид Составить уравнение Гамильтона Якоби, найти полный интеграл и получить из него уравнения движения. В задачах 24.32 24.35 система задается своим гамильтонианом Н(гг, р, г). Подвергнуть систему такому каноническому преобразованию, чтобы в новых переменных полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона †Яко можно было найти методом разделения переменных. Найти этот полный интеграл и закон движения д(г), р(г) в исходных переменных.
24.32. Н = ргрг+ дгдг. 24.33. Н = ргдг+рздг. 24.34. Н = р~+д~+агс$3(р,1д). 24.35. Н = ~ (р~+д~)агсфй(рг(дг). г=! Составить уравнение Гамильтона — Якоби, найти его полный интеграл и найти движение д(г), р(г) в квадратурах для систем, заданных в задачах 24.36 24.47 гамильтонианами. 24.36. Н =(ргдг+2ргрз+дг)/2. 24.37, Н = (ргдг+ргдг — 2дгдг)/2. 24.38. Н = (р, +рз(сов дг)/2+овгпдг. 24.39. Н =(рг+дг соьд1)дг(2+ргсоз(дз)/2.
24.40. Н = Рг+вшд1+ (Ра+Рзсовдг) )дг. 24.41. Н = р', +з|пдг+(ра+ рз дг)') дз 2 2 24.42. Н =Рг+дг+ 2 2 ра+да дг+дг 224. Уравнение Гамильтона — Якоби + Рз+ 2 (Ч1+Ч2) 24.43. Н = 24.44. Н = Р1 + в!и Ч!+Р2+сев Ча Р1 — вьп Ч!+Р2 — сов Ч2 2 2 2 2 2222 Р1Ч1 ! Р242 2 2 В!П~. 2р Ч +ЗР2Ч И).
1 ехр [2(р1+ Ч1)) + ехр [2(р2+ Ч2)) 2 ехр (р1-'к Ч1) -ь схр (р2-!- Ч2) 24.45. Н = 24.46. Н = 24.47. Н— Составить уравнение Гамильтона Якоби, определить его полный интеграл и найти движение Ч(1), р(1) для систем, заданных в задачах 24.48-24.59 своими лагранжианами. 24.48. 1 = ЗЧ12+2Ч22+ Ч22-2Ч12-ЗЧ2 24 49. А = (Ч1Ч1+ Ч2Ч2+Чв)/2 — совЧ1. / 2 24.50. Л = — ~ — 2+Ч2) +Чз — '2Ч,Ч2. Ч! 2 2 2 2 Ч2 24.52. 1. = — [ — +Ч2+Ч ) — Ч Ч .
1~Ч! .2 .2 122 2 2 3) 2 1 2' Ч2 24.54. 1 = Ч! —.+ — Ч2. — ЗЧ2Ч2+1(Ч2), где / — произвольная непре1Ч2 Ч2 рывно дифференцируемая функция. 4 1Ч2 18Ч! 2 24.56. 1 = — 2+ — Ч2с1ЮЧ2+Чз Ч1Ч221пЧ1 Ч1 1 2 .2 2 2 2 24.57. 1 = — [ Ч! 41+ Ч2) — Ч2 сов Ч1. 2 [ совЧ1 ) совЧ2 .2~ 24.58. Ь = — ~Ч1ФКЧ!+ Ч2).
2 1 совЧ! ) 24 59. Л = (Ч1 + Ч2 в!п Ч2)/2 — (Ч1 + Ч2)12. 2. Ан литинеекал механики 266 24.60. Методом Якоби найти закон движения системы с гамильтонианом Н = Ф(Р1,,Ри ~). 24.61. В результате канонического преобразования система с гамильтонианом Н (дгч р;, ~) переходит в систему с гамильтонианом Н1(г11,д2,...,д„,6). Составить уравнение Гамильтона Якоби для преобразованной системы и найти закон движения. 24.62.
Для системы с гамильтонианом и и Н = — ~ ага(г)ргру+~ ЧЖ(е) г 4=1 г=1 составить уравнение Гамильтона — Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения в квадратурах. Указание. Полный интеграл искать в виде и и о' = — ~ г1; ~ аг1(е) 111 + ~ аег1, + 6г(1, ау). г=1 г=1 24.63.
На материальную точку массы т, движущуюся в однородном поле тяжести, в некоторый момент времени начинает действовать сила в' = в'(г). Найти движение точки, используя уравнение Гамильтона-Якоби. 24.64. Опираясь на решение задачи 24.62, найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби системы, для которой и и и Н = —, 2 а,.р,р. + ~ д,гр;(8)+ ~1 р,(;(1). г 1=1 24.65. Для системы с гамильтонианом Н = ~ щ(1)(р2+ д~) сог=1 ставить уравнение Гамильтона-.Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения в следующем виде: Ф = %(г, ау, Р1), Р; = Р, (1, аз, 6 ) (1, У' = 1, п ).
24.66. Для системы с гамильтонианом составить уравнение Гамильтона — Якоби и методом разделения переменных найти полный интеграл этого уравнения. Уравнения гРг(чгч р,) = у; (1 = 1, и) разрешимы относительно р;, причем р; = Чг (Ф г Уг) (1 = 1, и ). 24.67. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби системы с гамильтонианом 124. Уравнение Гав»иаътона-Якоби 261 гДе /„1 = /и 1(...,,/2[/1(»?».,Р»)»?2,Р2[...Ди.»,Ри 1), а система уравнений й»(»1», р») = 6», /й(бй 1, /1й, рй) = бй (й' = 2, п) разрешима относительно р; (г = 1,п), причем р» = »р»(»й»,(»»), Рй = = »Рй(Чй~ Рй~ Рй -1).
24.68. Кинетическая и потенциальная энергии системы Лиувилля имеют вид 1 / и и и / и — 1 7 = ' ~ ~ В„(„)) )~ А»(/;)д'„П = ~- Сй(дй) ~ ~ В,(дй)) й=» 1=1 й=» й=1 Составить уравнение Гамильтона — Якоби и найти его полный интеграл в квадратурах. 24.69. Кинетическая и потенциальная энергии механической системы определяются формулами 1 и 2 и т=- ~Айрзй П= ~ Айпй( й), й=1 й=1 где рй -- импульсы, Ай = —, Ь = 11е1[[»р»й(»йй) [[ (г, й = 1, и), при- 1 д(Ь) /1 д»р»й ' чем Пй(дй) и»р,й(»йй) . произвольные функции.
Показать, что в этом случае переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. 24.70. Лагранжиан некоторой натуральной системы имеет вид и и и — йй( йй) ,') Ай( йй) )й+ ~ Вй(/й) йй+ й=1 й=1 й=1 1 и / и , -1 2~ (~ ( )) й=1 й=1 Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби системы. (Н. Д. Моисеев.) 24.71. Какому уравнению удовлетворяет производящая функция В(»1», »10 1) свободного унивалентного канонического преобразования, которое переводит гамильтонову систему с функцией Н = 0 в гамильтонову систему с функцией Н = Н($, р,, 1)? 24.72. Функция Во(»1;, а», 1) является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби системы с гамильтонианом Но(»1;, р»,1).
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона Якоби системы с гамильтонианом 1 дй'(»»1, 1) » дй'(»1/, 1) Н=Но~~;,.Р;+ д ", ) + д," д»,1 ) где й'(»й;, 1) .— заданная функция. 2. Ан литичссхал механики 268 24.73. При составлении канонических уравнений функция Гамильтона может быть задана с точностью до произвольной аддитивной функции времени <р(г), т. е. движения системы с гамильтонианами Н(д,, Р,, 1) и Н*(д;, Р;, 1) = Н(д;, р,, 1) +~р(г) совпадают.
Установить тождественность движения этих систем методом Якоби. 24.74. Совокупность производящих функций (Н(д,, дб 1)) определяет множество всех свободных канонических преобразований валентности с, переводящих систему с гамильтоннаном Н (д,, р,, 1) в систему с гамильтонианом Й = О. Определить множество канонических преобразований валентности Х ~ с, обладающих тем же свойством. 24.75.
Гамильтониан системы имеет вид г(Р1 .. Р г)+~' дФ~(Ры.. Рп г). Каким условиям должны удовлетворять функции Г(аы..., а„, 1), ~р,(аы..., а„, 1) для того, чтобы функция Н = ~(ам..., а, 1) + 2 длр;(ам, а, 1) г=1 являлась полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби этой системы? 24.76. Уравнение Гамильтона-.Якоби для системы с гамильтониапом Н(дм Р,, 1) ~~ее~ сво~м частным решением функцию л'(д;, 1). Показать, что если начальные значения де, ре связаны соотношением ре = дН(д~,г~))ддч то равенства р, = дБ(д1,1))дд; выполняются во все время движения, т.е.
что поверхности ~;(дэ, р,1) = р,— — дл'/дд;, = О целиком заполнены траекториями системы. 24.77. Основываясь на задачах 23.84, 23.115, 23.127, 23.147, записать дифференциальные уравнения в частных производных, определяющие производящие функции Н(Р,, о.;, г), Н(дм а,, г), Н(Р;, а;, г) и Ф(д,, а,, 1) унивалентного канонического преобразования, которое переводит систему с заданной функцией Н(д,, Р;, 1) в систему с Н = = О, (уравнения Гамильтона-Якоби в (р, д)-, (д, д)-, (Р,Р)- и (д, Р)- описаниях соответственно.) 24.78.
В задачах 23.84, 23.115, 23.127, 23.147 рассмотрены структурные формулы канонического преобразования в (Р,д)-, (д,д)-, (р, р)- и (д, р)-описаниях соответственно. Используя эти структурные формулы, написать соответствующие уравнения, определяющие производящие функции Н(р,, дм 1), Н(д,, дм 1), Ю (Р,, Р,, 1) и Ф(д,, Р,, 1) 124. Уравнение Гамильтона — Якоби 269 упивалентного канонического преобразования, которое переводит систему с заданной функцией Н(9,, р;, ~) в систему с гамильтонианом Н = Е(Ч, +р,) г=1 Составить уравнение Гамильтона- Якоби в (р, р)- описании (см, задачу 23.115), определить его полный интеграл и найти движение )1(1), р(1) для систем, описанных в задачах 24.79 — 24.83.
24.79. Одномерный осциллятор, Н = (р2/от+ сд12) /2. 24.80. Свободная материальная точка в пространстве. 24.81. Материальная точка на равномерно вращающейся пря)ной Н = (р2 — гпзсв2)12)/(2гп) 24.82. Система с гамильтонианом Н = С(р1, ..., рп). 24.83. Система с гамильтонианом Н = Р'()11, ..., д)„). По заданному полному интегралу уравнения Гамильтона Якоби некоторой системы в задачах 24.84-24.89 найти гамильтониан этой системы. 24.84. Н = — а„) /(1) ггг+~ аг д,)ь) — дг)дв 24.85. 8 = — и„')/(!) дИ+~ и — 1 + ,'~ ~ пг — /г(ог)+опЮ'(Чг) <~9г г=! гг гг..д = —,)д)г)ад) дпг.)д.)дд„д и — 1 + ) ~ а)/!()1!) — а)~.1))д!()1!) Йу;. г=1 гг.гд. д = — )1)г)дгд)г)пг,)д )дд,д п — 1 -'- К (дг! — )Г )ь) дь. -1 г ггге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
