Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 46
Текст из файла (страница 46)
дд=г 1 23.95. Чд = 1п [ — — „(ур;Ч; — !) [ [ щ)1, )аЧг ** 41 1 д' Р! = --[7Р Чг -!) П Ч ) [г =1д ). к=л 23.96. Чг =~др!) ггЧ,, р, = — Ч, (ург)'~г (г =1, и). 23.97. Ч, = [7р,)'(" Ч," ."'", [)лр,)(а,— 1)л'а, 1(гад г)а [г 1 и) рл + ')Чг 23.98. Чд = 1п---.--- — 2Е, рг = — г(рг +4Чг), 1 Рг -)-4Чл 1 Чг = 1и Чгл Рг = 2(рг+4Ч1). 2 3 2 23.99. Чг = [1п(олРг+2Чг) — Чг]/2, Рг — — — 2(аРг+2Чг), 1 [, )РПРг+2Ч~ ! Чг = — — ![асса!п ~ 1+Чг~, рг = — 3[олрг+2Чг).
[, 1 Зрг+Чг Чл 23.100. Чг = и агссоя - — — — - — —,—, рг = — 6рг — 2Чг, 2 а 2' 1, Зрг+ Чг Чг Чг = — агссоа 3 Ь 3' — —, Рг = — 9рг — ЗЧг 125, канонические нреоврозованин 25! где бре бр,, и ог вычисля|отся при 1 = сопв!. Показать также, что закон преобразования гамильтонианов в этом случае имеет вид дг1 т др; дх ~ д! ' где переменные д;, р, в правой части выражены через дб р; в соот- ветствии с формулами преобразования. В задачах 23.117 23.120 выписать формулы канонического преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией У в (р, р)-описании (см.
задачу 23.115). 23.117. !У = 2, '~ре(1)раре е=1 23.118. !У = 2 а; 1п(р;1)!п(р 1). 1= и 23.119. !У = 2 а; ехр[а,(1)р;]ехр[[1,(1)р ]. 01=1 23.120. !У = ~,'(Р;+Р;э1)~, Р„эз =Рп 23.121. Валентность и производящая функция канонического преобразования д, = ере(до, р1,1), р; = цц(ду., ру,1) (г, ! = 1, и) в (р, р)-описании равны св и Пс(р., р., 1). Построить каноническое преобразование валентности с с производящей функцией Цру, р,1) = И~(р,, ро,1) + Г1(ру,1) + [я(ру,1). При решении использовать структурные формулы канонического преобразования в (р, р)-описании. (См.
задачу 23.115.) Используя критерий канопичпости в (р, р)-описании, выяснить, какие из преобразований задач 23.112-23.126 являются каноническими. Для канонических преобразований найти валентность с и производящую функцию Цр., р., 1) (см. задачу 23.115). 23.122. д1 = — (Щ) "*р ", р; =(Хд!)"'рл 1 (1=1, и), (1 а1 23.123. де = — д;Р;, Р, = 1п [-Раед~~ (е' =1, и). 23.124. де = — ур; ехр( — де), р; = ехрд; (1 = 1, п).
23.125. де = — — 'в1п2д„Р; = 1п18де (г =1, и). 23. 126. д; = — уд;, р, = р; + ехр (уд; — 1) (1 = 1, и) . 2. А налитинеекал механика 252 Преобразования, допускающие (д, р) -описание 23.127. Невьгрождспное преобразование гу = е1е(да,ра,1), р, = = Р,(е11г РУ, 1) (гг,2 =1, и ) УдовлетвоРЯет Условиюде$[дРгЕдРД" ,ф ~ О. Показать, что это преобразование будет каноническим в том и только в том случае, когда существуют производящая функция Ф(дгч р,, 1) и валентность с ~ О такие, что ОФ(аг, р;, 1) дФ(а,, р„1) СРг = г г1г' = (а, 1=1, и), дг2г гг Рг гДе Р, и г7г в силУ пРеобРазованиЯ выРажены чеРез г7г, Р и 2.
(КРитерий каноничности преобразования в (г1, р)-описании.) Показать, что при этом гамильтониап преобразуется в соответствии с равенством Й = сН+ дФ/д1. 23.128. Задано преобразование $ = г7,(г1., 1) (а', 2 =1, и). Найти общий вид функций р; = р;(г1~, р1, 1) таких, что преобразование $ = = Чг(ЧОг 1) (г,,2 = 1, и) ЯвлЯетсЯ каноническим. ПРи Решении воспользоваться результатами задачи 23.127. В задачах 23.129 -23.133 выписать формулы канонического преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией Ф в (г1, р)-описании (см, задачу 23.127). 23.129.
Ф= 2,' а; (2)д;р~. гд=з а 23.130. Ф = 2" (а,(1)д, + Б<1Яр;,1)', г=1 при этом р„э з = рм 6„, 1 = Ьз. 23.131. Ф= 2, 'а; 1п(г1;2)ехр(а (1)р ). го=3 23.132. Ф= 2, 'а; соз(г7.;1)з1п(р 1). гд=1 23.133. Ф = 2 , 'г1, 1и р,. г=з 23.134. Валентпость и производящая функция канонического преобразования г7; = гр;(д., р, 1), р, = г1ге (дэ, р ., 1) (1 = 1, п) в (г1, р)- описании равны се и Фе(г7г, р,, ~). Построить каноническое преобразование валентности с с производящей функцией Ф(дгч р;, 1) = = Фо(Ф Р',1)+ Л(г7гг г)+,6(ргч г).
При решении использовать результаты задачи 23.127. 123. Кононинеение преоярозовонин 253 Используя критерий каноничности в (д, р)-описании, выяснить, какие из преобразований задач 23.135 -23.144 являются каноническими. Для канонических преобразований найти валентность с и производящую функцию Ф(д,, Р.;, !) (см, задачу 23.127).
23.135. Ч; = Р',. '"Ч(" -"~', Р! = р'.~'ЧО-и) у' (, =1, ) 23138 Ч! =Че+1пР! — ехр(Р;), Р! =Р! (! =1,и). 23.137. Ч! = 1п(р;!!ад,". !), Р; = д;Р; (! = 1, и ). 23.138. д; = — аеьгур;,~д;+!п((Х/а~)д,неур;Ч!), Р' = (и! а!)Четегуред! (! = 1 и). 23.139. Ч! =2~,[де+!соя(! ~ Я)], Р; =~„ ь=! где Х = сопяЦ 5„ = (! =1, п). 23.140. д; = дд+ 21[у — '- — уехр (2' дз)] х 2Ч! е=! хехр[! 2,' у — — !ехр( — ! 2 дз)], 2дь е=! Р,=,— "-~-~~-~~ ~,'1 ( =1,.). 2Ч; е=! .ж= + — ";-"(;)~) (,), !я Р, = аггеей — сояз(де!) (1 =1, и). 23.142. Ч! = 1 .
(2р, Р, = агссйп ~ ' ехр( — Ч!(! — !я)) (1 = 1, и). ю-!о ~!-Е, 23.143. Ч! = 2сй Чей, Р; = Р;/(!яЬде!) (г = 1, и ). 23.144. Ч! = !од;, Р, = р;д; (! = 1, и ), 23.145. Используя (д, Р)-описание, найти общий вид канонического преобразования, имеющего валентность с и производящую функцию Г(де, р;, !) = О (см. задачу 23.127). 23.146. Показать, что если у канонического преобразования д; = = д;(Ч, р, !), Р; = р;(д, Р, !) производящая функция г'(г) не зависит от д;, р (е, ! = 1, и), то в качестве независимых переменных можно взять Ч;, Р. (е, у = 1, и ), т. е. преобразования зтого вида допус- 123.
Канонические преобразования 255 $ = — ~)п 1 — '! — 61р — с11~, ре = — Х вЂ” 'д1 (1 = 1, п). 1ф (Ре '~ 9-.1)/Р 1ФР(1 — Р)Ф )Р 1)/Р ("ечР 1)/Р 6 = 1 ) абв — а, )а)1 ~12 2+ 2 2)1/2 )2 в ~$ мере 1 2 д1 = . — Р1, р1=7д1 — 2р;р2, 2рзра — 74з 1 2 Ч2 2 Р2~ Р2 792 2Р1Р2. 2рзрг — 742 1Да-1) )'7)2'1 )1=)п Р2 — 7)1 — 1 — 2( ~ 1/1а-1) — /7) 1 Р1= ~ — 2( — Р2+И1, 1Да — 1) 7'12 Ч2 = 1 —, ~ — Р2, Р2 = — Р1 + "И2. 23.155 23.156 23.157 23.158 23.159 Р; = — 17)').2Ч 23.160 23.161 23.162 23.163 В задачах 23.164 — 23.167 выписать формулы канонического преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией Л в (р, Д-описании (см. задачу 23.147). и 11 = 2 ере(1)Р; Ч;.
1=1 2. Аналитическая механика 256 23.165. Л = ~ 18(Ч4(+Р,). и 23.166. я= Е о;,(З)рея . 23.167. В = ~ Яп(Р;з) ехр (и'Ч'З) л=1 23.168. Показать, что канонические преобразования а) Чз = Ч*(ЧЧ, РЧ, (), Р* = Рз(рз, (); б) Ч, = Чз(Чу, р, е), Р, = Рз(ЧЧ, (); в) Ч, = Ч,(Р., (), Р, =Р;(Чз, Р, е); г) Ч; = Чз(Ч,, 1), р, = Р,(Ч,, р., () ((, 2 = 1, п,) допускают формулировку критерия каноничности преобразования в (Р Ч) (Ч: Ч)- (Р, р)-,(Ч, Р)-описаниях соответственно. В задачах 23.169 †.174 установить каноничность преобразова- ния. Из 4п, величин Ч.;, Р,, Члз Р,, связанных формулами преобразо- вапиЯ Чл = Чл(ЧЧ, Р112), Рл = Рл(Чль Рз, е) (г~ 2 = 1, и), выбРать 2п независимых величин так, чтобы среди них не содержалось сопря- женных пар (Чь, рь) или (Чь, рь).
В выбранных переменных выписать выражения для валентности и производящих функций. 23.169. Чз = — пЧы Ч2 =прг, Чз =Рз, Ч4 =Ч4, Р4 Ры Рз Чъ Рз пЧз Ч4 пр4. 23.170. Чл = — аЧ;рз, Р, = — 1пр, (1=1, пл), ЧЧ = — аЧзрз, р =!п(пЧ ) () = пз+1, п). л-и 23.171. Чл =)п(7Ч; — 1), РЧ = ' — —.-2 (1=1, п1), Т ЧЧ = Ч, +ехр( — 7р ), Р, =ур (2 =пз+1, и). 24 172 4Ф (1 — а))з — (н з)!(з (ахн — 4)/з ° Чз = Чз Рз Рз =(зЧ4 Рз (4 — )!т 4(2 — ( -нЗ вЂ” 4)!т (т — 4))2 Ч2 Ч2 Р2 ~ Р2 УЧ2 Р2 (а — 1)/а (а~а — 1)/а — 1/а (1 — а)/а Чз= — пЧз Рз ~ Рз=Чз Рз (аен-1)!н (н-1)/н — (1-а)/н Л/н 2 23.173.
Че =агсяп ', Р, = — 1 — ' япЧ; (4 =1, пз), сов Чл ' соз Ч, 125, канонические преоброэооании 257 д, = — 1 —, совр, яп~ р де р, = агссов, О = пе+ 1, и). ЯпР1 23.174. дя = ехр( — д;), р; = — р;ехрд; (1=1, п7), д. = д, ехр( — р ), р =гхрр., (7' = п1+1, п). 23.176. Найти производящие функции Л(ре, да 1), Я(до, д„1), Г(ро, ру, 2), Ф(ду, рд, 2) канонического преобразования, заданного уравнениягии дт = де(е1о ро 1) ре = ре(е1о, ро, б) (е = 1, п), которые можно рассматривать как уравнения движения системы с гамильтон пивном Н = — ~ (р2+юйд2) в (р,д)-, (д,д)-, (р,р)-, (д,р)-описаниях т=! соответственно. 23.176.
Показать, что тождественное преобразование де = д;, р, = р, (1 = 1, и) является каноническим. Найти его валентность с и производящую функцию г'(д;, р,). 23.177. Показать, что преобразование, обратное к каноническому преобразованию де = де(д., р, 2), р; = р,(д,, р,2) (е, 7' = 1, п) является также каноническим преобразованием.
Найти валептность с и производящую функцию ей'(д;, р;, 1) обратного преобразования, если валентность и производящая функция исходного преобразования равны Х и Ф(д,, р,, 1). 23.178. Производящие функции и валентности двух канонических преобразований д,* = д,*(ду, р, 2), р,* = р,*(доз р, б) и дя = = д;(д,р.,б), р, = р;(д;,р.,б) (е, 7' = 1,п) равны г7(у;,р,,б), Е2(д;, р;, 1), с1 и с2 соответственно. Показать, что суперпозиция этих преобразований является каноническим преобразованием.
Найти его валентность с и производящую функцию Г(д, р;, 1). 23.179. Доказать, что совокупность канонических преобразований образует группу преобразований. 23.180. Суперпозиция двух преобразований д; = д; (д, р, 1), р; = = ре(де, ро, б) и д,* = д,*(д,, ро, 2), р,* = р,*(д,ч ро, 1) (е, 7' = 1, п ), из которых одно каноническое, является каноническим преобразованием. Будет ли и другое преобразование также каноническим? 23.181. Показать, что любое каноническое преобразование валентности с можно представить как суперпозицию некоторого унивалентного канонического преобразования и преобразования вида дт = = сдтз ре = р, (1 = 1, и ).
23.182. Показать, что валентность с преобразований, принадлежащих однопараметрической группе канонических преобразований, которая может содержать и неунивалентные преобразования, зависит 9 В.С. Пятницкий и яр. 258 2. А налитииеекал механика от группового параметра а, следующим образом: с = ехр (аа), где а- постоянное число. 23.183.
Показать, что совокупность линейных канонических преобразований образует подгруппу группы канонических преобразований. 23.184. Показать, что множество С1 канонических преобразований, у которых производящая функция удовлетворяет условию ? (д,, р,, 1) = О, образует подгруппу С1 группы канонических преобразований. 23.185. Показать, что множество Со унивалентных канонических преобразований с производящей функцией Р'(а;, р„1) = 0 образует подгруппу Се группы канонических преобразований.
23.186. Доказать, что подгруппа Се есть нормальный делитель в группе Сг (С1 и Со определены в задачах 23.184 и 23.185). Что представляют собой элементы факторгруппы С~ /Со? 23.187. Показать, что множество С* канонических преобразований, имеющих одну и ту же производящую функцию Р'(д;, р;, 1) и одинаковую валентность с, есть правый смежный класс по подгруппе Се (см. задачу 23.185), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
