Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 45
Текст из файла (страница 45)
23.50. Функции ере(Ч1, р.,1), !ре(Ч., р,1) (1, ! = 1, и) задают решение Ч! = ер;(Ч, р., 1), р; = !р,(ЧЧ, р., Ф) (!', у = 1, и) системы дифференциальных уравнений Ч; = Щ(Ч1, рб, 1), р, = Ре(Ч1, р, 1) с начальными данными Ч!(О) = Ч;, р;(О) = р; (1 = 1, и). Показать, что функции !р;, вй удовлетворяют соотношению 3 23. Канонические преобразовании 243 23.56.
Выяснить, является ли преобразование >«1 = >р(«)е«;, Р; = = ер(«)р« (« = 1, н, >р(«) ф 0) каноническим. Выписать систему, в которую переходит гамильтонова система 6««(е««, Р, «) . ОН(е««, Р, «) в результате применения этого преобразования. 23.57. Каноническое преобразование % = >р«Я>ч Р, «), Р« = = >р«(чзч Р, «) («,,« = 1, и) имеет валентность с. Показать, что преобразование >«,*.
= >р;(п>«з, ОР«, «), Р,*. = >р«(пс«з, 6Р., «) будет унивалентным каноническим преобразованием, если а)1с = 1. 23.58. Каноническое преобразование % = >р«(>«1 Рз «) Р« = = >Р«(Ч>,Р>, «) (>,,« = 1, п) имеет валентность с. Показать, что преобразование Ч«=Р« —,««,Р;,«), Р,*= « -«,,Р,,« является унивалентным каноническим преобразованием. 23.59. Каждое из канонических преобразований, представляющих собой суперпозици>о М последовательных канонических преобразований ~а са( еп.~-1 спз-1 «) еа сп( спз-1 еп-~-1 «) имеет валентпость с и производящук> функцию Р' (е«. ~', р. ~', «).
Найти валентность и производящую функци>о результирук>щего преобразования. 23.60. Доказать, что каноническое преобразование >«« = д«(с«1, р, «), Р, = Р«(с«>ч р, «) (« = 1, н) имеет производящую функцию г'(«), не зависяп«ую от >«;, р„тогда и только тогДа, когДа фУнкЦии >«1 (е«з, Р, «) оДноРоДны по пеРеменным рь нулевой степени, а функции Р«(>«1, р, «) однородны по переменным рь первой степени. 23.61. Найти общий вид канонического преобразования, имеющего ввлентность с и производящую функцию г'(>«, Р, «) = О в одномерном случае. 23.62.
Найти общий вид канонического преобразования, имеющего валентность с = — 1 и производящую функцию Р' = — >«р. 2. А налитинеекал механика 23.63. Верно ли следующее утверждение: суперпозиция любых двух свободных канонических преобразований снова является свободным каноническим преобразованием? 23.64.
Построить два таких свободных канонических преобразования, суперпозиция которых также является свободным каноническим преобразованием. Указание. При построении примера ограничиться линейными ка ионическими преобразованиями. п и 23.65. Из критерия каноничности 2, рэбд1 = с 2 рабд1— ,=1 ' ' ,=1 — Ь$[д,,р;,1) преобразования ду = д1[де,р,1), ру = Р1(д1:р1~1) [1, 1 = 1,п ) получить эквивалентный ему критерий каноничности, записанный через скобки Лагранжа: дд, др, дд, др, [д1 ~ дь] = ~ дд, дда дда дд, 1=1 (ддт др дд„др 1[ 1 др; дра дра др,! 1=1 (дд, дрт ддт дрт ') ~-~,дд, др, др, дде( 1=1 =О, (а,1=1,п), где 51ь символ Кронекера. 23.66.
Каким условиям должны удовлетворять постоянные матрицы А = [о;ь],"„„В = [деь],",=„ С = [сеь]," а „ 0 = [е11ь],"ь 1 А = [акв],"„ В = [Ье„],".„„ П = [4,„],"„,, С = [сев],"ь 1, постоянные матрицы. 23.68. Найти условия, которым должны удовлетворять матрицы А(1) = [а1ь(1)]" ь В(Ф) = [61ь(1)]" ь С[1) = [с;в[1)],"ь=„В(1) = [дев[1)],"а=1 для того, чтобы невырожденное преобразование 11 = Ае1+ Вр, р = = С11+ Вр было каноническим. 23.67.
Найти производящую функцию г'[11, р, 1) и валентность с линейного канонического преобразования «1 = Ас1+ Вр, р = С11+ Рр, где 122. Канонические преобравованил 245 для того, чтобы преобразование с1 = А(«)с1+ В(«)р, р = С(«)с1+ 0(«)р было каноническим. 23.69. Доказать, что преобразование ц, = ц,(ц., р, «), р; = = р«(ц«., р,, «) (г, « = 1, и ) будет каноническим в том и только в том случае, когда существует такая константа с ф О, что для скобок Пуассона выполнены тождества (ц«, ць) = О (р«рь) = О (ц«: Рь) = сх««ко где Ь«ь символ Кронекера. (Критерий каноничности, записанный через скобки Пуассона.) 23.70.
Якобиан преобразования ц« = цс(цц, р, «), р, = р,(ц, ру, «) («, « = 1, п ) представляет собой функцию 1(ц«, р«, «), не равную тождественно постоянной. Может ли это преобразование быть каноническим? 23.71. При каких значениях параметров а«, [1.;, у«, б; преобразование ц« = ц,'р,.', р; = ц~'р,.' (« = 1, п) является каноническим? 23.72. Задана система функций 1;(ц, р., «) («, « = 1, п), для д(~м ~м..., «„) которых якобивн — ' ' — ' —" — ~ О. Любые две функции из указанд(рс ра р ) ного набора находятся в инволюции, т.
е. скобки Пуассона (««, (ь) = О (1, к = 1, п ). Показать, что можно найти такие функции р«(ц, р, «) («, « = 1, и ), чтобы преобразование ц« = 1«(ц«, р, «), р; = ср«(ц., р, «) (г., « = 1., и) было свободным каноническим преобразованием валентности р ~ О. 23.73. Задана система функций ц; = ц,(сы...,с2„,«), р; = = р;(сы...,с2„,«) (1 = 1, и). Найти условия, при которых зти функции определяют общее решение какой-либо гамильтоновой системы. 23.74.
Каким условиям должен удовлетворять набор 2п функционально независимых по переменным ц., р. функций ид = =иц(«, цу, рб) (« =1, 2п, «' =1, п), чтобынашласьтакаягамильтонова система, для которой функции ш«(г = 1, 2п) образуют полный набор ее первых интегралов? 23.75. Показать, что для преобразований вида ди(ц«, рал «) ди(цеь р,, «) скобки Пуассона и скобки Лагранжа совпадают, т. е. что имеют место соотношения [цч ць) = ($,ць), [р, рь[ = (р., рь), [ц., рь[ = (ц«, рь) (?, Й = 1, п). 23.76. Для преобразований д р(ц,, р,, «) дд(ц«, р,, «) др; ' дц, 2.
А налитинеекал механика заданных при помощи функции ер[е1., р ., 1), показать, что для скобок Лагранжа и скобок Пуассона выполняются равенства 23.77. Для системы с одной степенью свободы скобки Пуассона функций Н~(е1,Р,1) н Нз(д,р,1) удовлетворяют соотношению (Ны Нг) = 1. Показать, что если гамильтониан системы равен а) Н = Нз+ Нт1 б) Н = НгНз1 в) Н = Н~/Нз, г) Н = Н, + На, то общее решение соответствующей канонической системы уравнений можно найти, решив относительно о, р систему алгебраических уравнений: а) Н~(ц, Р,1) = с~+1, Нз[д, р,1) = ст-1; б) Н~(д, Р,1) = с~с', Нз[еь р, 1) = сзе ', В) 01(о, Р, 1) = с1 у'2Г+ с,, Н,(Д, Р, 1) = теЛ+ с,; г) Н~[у, р, 1) = с~ в1п(21+ сз), Нт(о, Р,1) = с~сов(21+си).
23.78. даны преобразование $ = у;(ц, Р1, 1), Ре = Р~[% Р1 г) (1, а = 1, п ) и обратное к нему е1; = е1; Я~, Р1, 1), Р ' = Р ' Я1 Ру; е) (г, 1 = 1, п, ). Показать, что матрица Лагранжа Ь, составленная из скобок Лагранжа [о;, еб], [о,, р.], [Р,, р1] [г, 1 = 1, п ) для прямого преобразования: и матрица Пуассона Р, составленная из скобок Пуассона (о;, д~), (Ч;, р1), (р„р1) (г, у' = 1., п ) для обратного преобразования; связаны соотношением 1 Р = — Е, где Š— единичная матрица.
23.79. Показать, что преобразование д; = Ъ(д1,Р1,1), Ре = = Ре[ду, ру, г) (1,,1 = 1, и ) переводит систему с гамильтонианом Н = = 0 снова в гамильтонову систему в том и только в том случае, когда скобкиЛагранжа~дь, еа], [оь, р~], [Рь, р~] (к,1=1, п) независятявно от времени. 123, канонические преобразования 23.80. Какой должна быть функция ер(д, р) для того, чтобы преобразование д = (дз + р~) С 2, р = д(д, р) двумерной фазовой плоскости (д, р) было каноническим преобразованием валентности с? 23.81. Доказать, что любое преобразование фазовой плоскости (д, р): д = ер(д, р, С), р = Ш(д, р, С), сохраняющее площадь, является унивалентным каноническим преобразованием.
23.82. Будет ли преобразование д = р соед, р = р з1пер фазовой плоскости (д, р) каноническим? 23.83. Показать, что в результате применения к канонической системе д; = дНС'ор,, р; = — дН[дде (С = 1, п ) невырожденного преобразования д. = ~р. (хы хз, ...., хо„, С), р.
= ~ру(хы хз, ..., хв„, С) (? = 1, п ) она переходит в систему вн дй '1 [хю х,.]хб+ [х~., С] = — —, (й = 1, 2п), б=> где Н(х, С) = Н(ер(х, С), ~~(х, С), С), а символом [, ] обозначены скобки Лагранжа. Преобразования, допускающие (д, д) -описание (свободные преобразования) 23.84. Невырождснное преобразование д; = д;(дб, рб, С), р; = р,(д, р, С) (С, о = 1, и ) удовлетворяет условию е1еС[дд,,Сдрлиз 1 ~ 0 (свободные преобразования).
Показать, что это преобразование будет каноническим в том и только в том случае, когда существуют производящая функция Я(д;, д„С) и валентпость с ~ 0 такие, что , Я(д,, дб, С) дЯ(д,, д,, С) Оде бд, где р, и р; выражены в силу преобразования через д„де и С. (Критерий каноничности преобразования в (д, д)-описании.) Показать также, что при атом гамильтониан преобразуется в соответствии с равенством Н = сН+дЯ/дС.
Используя критерий каноничности в (д, д)-описании, выяснить, какие из преобразований 23.85-23.105 являются каноническими. Найти для них валентность с и производящую функцию Н(д, $, С) (см. предыдущую задачу). 23.85. д = С С1п[1+(брайпзд)1?"], р=пСсСид(бра|в д)(" Нн[1+фре1п д) С"]. 248 2. А налит ические механика 23.86. Чг = [!П(рг+9Чг) — Ч,],(2, р, = — 2[рг+9Чг], Чг = [1п(рг+9Чг) — ЗЧг]/2р рг = 2[рг+9Ч1~Г3. 23.87.
Чд = агссоя(Ч; ) — Чди р; = — р; (г =1, и). зз.зз. д; = ° (рЕ дЕ, р; =лл/Г-ЬТйч7з" д. И 1, и). 23.89. Чд = [р;)(дг+1)]~( — Чи р, = — р, [г = 1, и). 23.90. Ч; = агс18(рдЧ;), Р, =) [1+(р;Ч;) ]!ПЧг (г = 1, и). 23.91. Ч; = 1пр; — Чди р, = — р, (г =1, и). 23.92. Чд — — (р;(/дгЧ, ) ~г Р, д-г)8 г(рр(8-г)Ф ( е-8-Ф8 23.93. Чд = ) гРг+адгЧг *р* р .гд*д ззлз.д;=д;-др;+л. ° (ланд ), р;=де и=л, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
