Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 44
Текст из файла (страница 44)
23.14. Доказать, что у канонического преобразования валентность с определяется однозначно, а производящая функция г" (Ч1, р;, 2) лишь с точностью до произвольной аддитивной функции 1 (1). 23.15. Условия каноничности преобразования Чз = Ч1(Чз~ Рзч 1)~ Рз = Ре(Чзч Рзч 1) (1~,1 = ~ и) (*) можно получить при помощи следующей идеи ) . В результате пре- образования (*) лзобая гамильтонова система переходит в систему Чг = сьз;(Чзч рз, 1), Рра1 = Р1(Чз, рзч 1) (1, 2 = 1, и) (а*) ') Эта идея и была использована С, Ли в его работе 1877 г. по каноническим преобразованиям (см.
(17, с. 404-424)). 2. Аналитическая механика 236 где функции Я, и Р| зависят от выбора исходного гамильтоииана Н (д, р ., 1). Для того чтобы система (*«) была гамильтоновой, иеобходимо и достаточно выполнение равепств (|, 1 =1, п). дР, дрь Ре Р| дР» дд Условия, при которых эти равенства выполняются при любом выборе функции Н(д., р, 1), и будут являться искомыми условиями канопичиости преобразования (е). Получить с помощью этих рассуждеиий условие канопичиости преобразования (*) в виде тождества ~ р;Ьд; — с ~ р;Ьд; = — ЬГ(д, р, 1), |=1 где с ~ 0 некоторое число (валевтность преобразования (*)), а Ьд, и ЬЕ вычисля|отея при «замороженном» времени.
23.16. Задан гамильтопиаи Н(д, р, 2) системы с одной степенью свободы. Найти условия, при которых преобразование д = д(д, р, 1), р = р(д| р, 1) переводит эту конкретную гамильтонову систему снова в гамильтопову. 23.17. Вычислить квадрат якобиапа юзиоиического преобразоваиия валентности с: д; = дс(дд, р.,1), р, = р;(д, р,1) (|, ! = 1, п).
23. 18. В механической системе с лагранжиаиом 1 (д;, д|, 1) совершается переход от обобщенных координат д| (| = 1, и ) к обобщенным координатам д! при помощи пеособого преобразования д! = с!||(дз, 1). Используя соотношения из условия задачи 22.53, найти соответствующий этому переходу закон преобразования обобщенных импульсов Р| = |!||(дзч Ру. г) (|;! = 1 и ) и доказать каноничность преобразоваиия д! = с!|«(дз, !), р; = |!с|(дз, ру, 1).
Найти также валеитность с и производящую функцию Р этого преобразования. 23.19. Найти закон преобразоваиия гамильтоиианов при каноническом преобразовании, о котором шла речь в предыдущей задаче, считая, что обращение формул исходного преобразования д, = = д| (дз, 1) приводит к равенствам д| = ~! (ду, 1) (| | ! = 1| и ). Приведенные в 23.20-23.24 выражения х; = х;(д, 1) (| = 1, 3) определяют переход от декартовых координат к другим обобщеш|ым координатам. С использованием решения задачи 23.18 найти соответствующие этому переходу формулы преобразования обобщенных импульсов Р,, = Р,,(д! | дэ, дз, и|, Р2, Р2,1). Устаиовить кавопичпость преобразования х; = х,(д|| дз, дз 1) ря| = Рх,(д|,дэ дз,р|,Р2 Рз г) (| = 1, 3), найти его валептиость с и производя|цую функцию Р.
23.20. х! = рсовср, х2 = рв|пср, хз = з. 3 23. Канонические нреоброэования 237 23.21. х1 = гяпО сову, хз = гяпО япгр, хв = гсовО. 23.22. х1 = Ч1 — г11, хз = Ч2 — с21, хз = Чз — г31. 23.23. х1 = Яц сов ер, хз = Яц яп гр, хз = (Д вЂ” ц) 12.
гг.г4.*, = г~(~ -цр-гч..г,*,= г7е'-Щ:гз хз = псц, и = сопв1. 23.25. Задано каноническое преобразование Чг =,);(Ч1, рб, г), Р; = ер, (Ч., р., 2) (1, 1 = 1, и ). Найти общий вид функций гр,(Ч1, рб, 1) (ег 1 = 1, п), обеспечивающих каноничность преобразования Ч,* = = 1г (Чб Рб б) Р, = грг (Чу, Р,, 1) (1, 2 = 1, п ). Иначе говоря, как можно изменить формулы, задающие «новые» импульсы, нс меняя формул, задающих еновыег координаты, чтобы преобразование осталось каноническим? 23.26.
Привести пример, показывающий, что не для любых функций 1;(Че, р., 1) (г, 1 —.. 1, и) можно найти такие функции гр,(Ч1, рб, $)г чтобы преобразование Чг = ~;(Чб, рб, 7), Р, = = гр,(Ч, р., б) было каноническим. 23.27. Описать совокупность всех канонических преобразований, обладающих следующим свойством. Для любого решения (Чб(1), рб(е)) исходной гамильтоновой системы найдется такое решение (Чб(е), Рб(е)) преобразованной гамильтоновой системы, что функции Чу(1) и Чб(1) будут связаны соотношением Че(г) = = г;(Че(1), 1) (е, 7 = 1, п ). Заданные функции Р;. (Ч., 1) таковы, что преобразование ул = Р;(хе, ~) однозначно разрешимо огносительно хм ~ хп.
23.28. Задана цепочка преобразований 1,(Ч;, Ч;, 1) + В(Ч;, Р;, 1) -"+ Й (Ч;, Р;, 1) -~ й(Ч1, Ч,, 1), где преобразование А переводит лагранжевы переменные в гамильтоповы, преобразование С переводит гамильтоновы переменные в лагранжевыг а В является каноническим. Функция А и каноническое преобразование В таковы, что к системе с лагранжианом 1 можно перейти и непосредственно от системы с лагранжианом 1 с помощью точечного преобразования обобщенных координат Че = Фе(Ч., 1) (1 г 1 = 1г и ) (см, задачу 21.31). Найти вид канонического преобразования В. 23.29.
Задано каноническое преобразование Чг = ере(Ч,, р ,2), Рг = Шг(Ч1 Ру 1) (1,,2 = 1, и ). Каким условиям должны удовлетворять функции 11(1) и 12(1) для того, чтобы преобразование Ч* = = е'1(2)%(Че Ру е) Р, = 12(б)%(Ч1, Р1,1) было каноническим? 2. А налиигинеекал механика 238 23.30. Показатьг что преобразование дФ(Ч,, е) Чг = Чгз р, = ггр, — ' (1, 1 = 1г и) дЧ, является каноническим при любой непрерывно дифференцируемой функции Ф(Ч, 1) (у = 1, и ) и у = сопв1 ~ О.
Найти также валент- ность с, производящую функцию К(Ч., Р, 1) этого преобразования и закон преобразования гамильтонианов. 23.31. Гамильтопиап Н(Ч;, Р,, 1) некоторой системы удовлетвод'Н 1 ряет условию е1е1 ~ ~ О. В результате применения канониар' рт; 1=1 ческого преобразования $ = Ч;, Р; =?Р; + дФ(Ч., 1) (дЧ; (1, ? = 1, п ), т = сопв1 ф О, эта система переходит в систему с гамильтонианом Н(Чг г ргз 8). Показать, что если исходной гамильтоновой системе соответствует лагранжева система с лагранжианом 1 (Ч;, Ч;, 1), то новой гамильтоновой системе будет соответствовать лагранжсва система с лагранжиапом 1,(д,, Чы 1) = ?1,(д;, Че, 1) + ггФ(Ч„г) 23.32. Какому условию должны удовлетворять функции Чч и гу; для того, чтобы преобразование Чг = Чг г Рг = гРг (Р1г ° » Рп, 1) + гег (Чг г ° °, Чп, 1) (1 = 1г П) было каноническим преобразованием валентности с? 23.33.
Установить условия, при которых преобразования Ч; = = Ч,(Ч., Р., 1), Р; = Р,(Ч1, Р., 1) (1 = 1, и ) переводят лк>бую систему дифференциальных уравнений вида д К(ч„рг, 1), дК(чт, рач 1) Чг = г Рг = + Орг др; ' дЧг в систему такого же вида, вообще говоря, с другой функцией К и другой постоянной а. 23.34.
В результате преобразования, определенного в задаче 23.33, любая система ак , ак Чг= Рг= +п1Рг (1=1,п) дР;' дЧ; переходит в систему такого жс вида. Какими будут в преобразованной системе функция К(Ч;, Р;, 1) и постоянная пз? 3 23. Канонические преобразования 239 23.35. Преобразование д = д, р = рз/6 применяется к гамильтоновой системе с гамильтонианом; а) Н1 = рэ/2, б) Нз = (рз+ + еу ) /2, в) Нз = деР', г) Нз = е"'. Составить уравнения движения в новых переменных и выяснить, являются ли полученные системы гамильтоновыми.
23.36. Заданы преобразование о = рз !2, р = д и две канонические системы с гамильтонианами Нг = р и Нз = (р +у~)/2. Показать, что указанное преобразование первую систему переводит в каноническую, а вторую — — в неканоническую. 23.37. Систему с гамильтонианом Н = (р+ д) ехр 12(р+ о) ] + 2(р — д ) ехр 1(р+ е1) ] + 2(р + е! ) подвергнуть преобразованию д = р+еу, р = 2р[ехр(р+еу) +1]+29(ехр(р+9) — 1]. Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти гамильтониан преобразованной системы. 23.38.
Систему с гамильтониапом и и Н = а,~ ]р~+(д, — у;11п(р,у;1))~]+~> у;р;1п(р;у;1) е=1 е=1 подвергнуть преобразованию о! = о, — у;1! и (реу;1), р; = ар, (г = 1, п ). Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти гамильтониан преобразованной системы. 23.39. Систему с гамильтонианом Н = рдз/(21) подвергнуть преобразованию д= — а+1п(!рай ), р=ро 11+1ехр — !. 1 3 —, 3 Ч Ч Убедиться, что это преобразование является каноническим.
Найти гамильтониан преобразованной системы. 23.40. Систему с гамильтонианом Н = — Э д, агсв1п е,! — — р; 3=1 подвергнуть каноническому преобразованию дг = — еуг агсе!п ~/ — — ре, Р! = 2цг1 (1 = 1, и). у 29е !' Найти гамильтониан преобразованной системы. 123, канонические преобравованив 241 где (Ч„Н) и (р;, Н) —. скобки Пуассона, а б|(Ч,Р,1) =~~> д, бЧ!+,~,д„бр! " ОУ " дУ 1=1 и и ~1 !р!йре — с(г) ~ р!ЬЧ! = — Ьг (Чб, ру, г), 1=1 1=1 где с ф 0 и Р .. некоторая функция, в том и только в том случае, когда справедливы равенства Р, = — +а(1)ре дК дК др,' ' дЧ! (г =1, н), 23.46.
Каким условиям должно удовлетворять преобразование (может быть, и не каноническое) Че = Че(ЧЧ Р1 1) Р =Ре(ЧЧ Ру о) (1, у = 1, п) для того, чтобы оно переводило систему с гамильтонианом Н = 2, (сев Чь + 61рь), и = сонэ!, 6 = сонэ!, снова в гамильтонову Ь=1 систему? 23.47. Построить каноническое преобразование, переводящее систему с гамильтонианом Н = (р1+ юзЧ2)!!2 (осциллятор) в систему с гамильтопианом Н! = ю(р + Ч2)/2.
Найти также валептность с и производящую функцию Р этого преобразования. 23.48. Найти движение оспиллятора с гамильтонианом Н = 1 — (рз+ еоеЧ1). Показать, что закон движения системы Ч; = 21 = Че(Чо1 Ро, г), Ре = Ре (Че, Ре, 1) можно рассматривать как унивалентное каноническое преобразование, т.с. движение системы в фазовом пространстве представляет собой процесс непрерывного канонического преобразования начальных данных. Найти производящую функцию преобразования и гамильтониан Н осциллятора в переменных Чо и Ра. 23.49. Показать, что закон движения свободной точки массы т в однородном поле тяжести можно рассматривать как унивалентное каноническое преобразование г = г(го, ро, 1), Р = Р(го, Ро 1) Нанти производящую функцию этого преобразования и гамильтониан Н точки в переменных го и ро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
