Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Показать, что преобразование К задаче 20.30 поворота относительно оси хз удовлетворяет всем условиям теоремы Нетер для системы с лагранжианом 1 = = ~(х1~ + х2+ хз) + П(1)(х1х2 — хзх1). Найти соответствующий первый интеграл. 20.38. Система материальных точек с массами ты т2,..., т„ совершает движение в силовом поле с потенциалом П=~ а;ге~ ~ 6;ге) в=1 2=1 где х;, у;, з; - декартовы координаты точек; гз = х~+у2+з2, а,, 6," постоянные числа.
Подобрав числа а и 6 так, чтобы однопараметрическое семейство преобразований (с параметром а) х; = х;еке, у; = = У, е"', зе = яцеке, Е= 1ене УдовлетвоРЯло УсловиЯм теоРемы НетеР, 120. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Петоер 211 показать, что функция и и т;(х;х;+у;у;+з,зе) — 2 ~ ~'т;(х, +д; +я,)+2П 1=1 1=1 является первым интегралом системы. 20.
39. Движение механической системы определяется лагранжи- и аном 1 = — 2 ' дз — П(д,). Показать, что если первый интеграл этой 2 1 системы найден при помощи теоремы Нетер, то оп имеет следу!ощий вид: д; ~ад!+ ~ Ь; д. + с;) — ~ — ~и дз+ П(д,) (2аб+ 4), 1=1 2=1 ни! где а., с;, а — постоянные величины, а (Ь;.),".. ! кососимметрическая постоянная матрица. 20.40. Движение механической системы описывается лагранжи- и апом 1 = — 2 д1 — П(д;). Показать, что для этой системы первый г=! интеграл можно получить при помощи теоремы Нетер в том и только в том случае, когда потенциальная энергия П(д) системы удовлетворяет уравнению '! дП ( ад!+ ~'ЬПд +с;) — +2аП = О, 1=1 1=1 дде где а и с; — постоянные величины, а (Ь; )," — — кососимметрическая постоянная матрица.
20.41. Движение механической системы определяется лаграни жианом 1 = — 2 Цд — П(д), где Ц вЂ” постоянные гюложительные 2. 1=1 числа. Используя результаты решения задач 20.39 и 20.40, получить вид первого интеграла, который можно найти для этой системы при помощи теоремы Нетер, и записать уравнение, которому должна удовлетворять потенциальная энергия П(д). 20.42. Ответить на вопросы предыдущей задачи в случае, когда ! механическая система имеет лагранжиан Л = — ~, а!бдедб П(д)~ где (а;.),"..
- постоянная симметричная матрица такая, что соответствующая ей квадратичная форма является положительно определенной. 2. А нани тинеекак механика 212 6! и с, постоянные величины. 20.44. Используя условия предыдущей задачи, показать, что система имеет т независимых первых интегралов вида 2, быЧ, (!е = 2=1 = 1, т) тогда и только тогда, когда потенциальную энергию можно представить в виде П ~ СМЧб ~ СзгЧг'~ ° ° ° ~ ~ Си — т еЧ! е=! 2=1 20.45.
В условиях задачи 20.43 построить такое однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нетер. 4 20.46. Механическая система с лагранжианом Л = — ~ , 'Ч2 — П(Ч) 2 ! !=э имеет первый интеграл а(Ч~Ч2 — ЙЧ2) + ЩЧзЧА ЧзЧа) где и и Р постоянные параметры. Найти вид потенциальной энергии системы П1Ч). 20.47. Используя условия предыдущей задачи, построить такое однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нетер.
20.48. Показать, что механическая система с лагранжианом ! = 1 и ° 2 = — ~, Ч2 — П(Ч) имеет первый интеграл з=1 (Чзз — 1Ч2! Ч2! — 1Ч2~)~ г ~ ~и!2~ е=1 в том и только в том случае, когда потенциальную энергию можно пРеДставить в виДе П = Е(хм х2,..., х„!), гДе х! = Чьч 2+Чзеэ 2 2 сеть Ч1Ч2ье2 Ч2Чзьэ-м Х2~ — 1--! = Чзги!~ г =1,г, lе=1,г — 1, ! =1,п — 2г. 20.43. Движение консервативной системы определяется лаграна жианом 1 = — ~„а,Че — П(Ч).
Показать, что система имеет первый 2! интеграл вида ~ 6,Ч; в том и только в том случае, когда потенци2=1 альную энергию П(Ч) можно представить в виде П(Ч) = Е(хм 22,... ..., гн о), где х; — линейные фоРмы: гм = ~ с;.Ч . ПаРаметРы а;, 1=1 120. Первые интегралы. Сиобии Пуассона. Теорема Петер 213 20.49. Используя условия предыдущей задачи, построить такое однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нетер.
20.50. Показать, что механическая система с лагранжианом 1 = 1 ° 2 — аед, — П(д) имеет первый интеграл 1=1 и !1 и — ~'а;де(д;+Ь,) — 1~ — ~'а;д2+П(д) 1=1 1=1 тогда и только тогда, когда потенциальная энергия П(д) обладает следующим свойством: если П(д) представить в виде П(д) = г'(д1+ +Ь1,дз+Ь2,...,д„+Ь„), то функция Г(с1,зз, ...,си) является однородной степени — 2. Параметры аг и Ь, - постоянные величины. 20.51. Используя условия предыдущей задачи, построить такое однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нетер.
20.52. Найти однопараметрическое семейство преобразований д,*. = гре (д, 1, а) и 1* = 1у(д, 1, а), удовлетворяющих условиям теоремы Нетер, при помощи которых можно получить следующие законы сохранения: а) закон сохранения энергии в консервативной системе; б) закон сохранения импульса и момента импульса системы точек, движущихся в потенциальном силовом поле с потенциалом П = = г []ге — гб]], где ]г; — г ] расстояние между 1-й и у-й точками; в) закон сохранения импульса в системе с циклической координатой.
20.53. Динамическая система описывается системой уравнений те = 71(к) (1 = 1, п ). Для каждой начальной точки к(0) = и сущет 1 ствует временнбе среднее !пп -- ] я(х(и, 1)) сй = 1у(а), где в(л)— т О некоторая функция. Показать, что функция у(л) будет первым интегралом системы. Убедиться, что для любого первого интеграла 1!1(л) найдется такая функция Ь(л), что ее усреднение дает 1у(а). 20.54. Для каждой начальной точки (дО, РО) гамильтоновой системы Н = О(д, р) существует временнбе среднее 7' 1 ,1, ] ив[де(до:РО~Ь)тре(до;РО~1)]111 = ер(до~ РО)~ 1де оо(д,Р) 7' — гсо О заданная функция, а функция гр(до, РО) — непрерывно дифференцируемая функция.
Показать, что для скобки Пуассона выполняется ( р(д, Р), О(д, р)) = 0. 2. Аналитическая механика 20.55. В качестве динамической системы в условиях предыдущей задачи берется гармонический осциллятор (Н(Ч, Р) = (р +са~Ч2)/2), а в качестве фУнкЦий и выбиРаютсЯ Яг — — Чг, вг — — Рг, аз — — ЧР. Непосредствеиным вычислением показать, что соответствующие средние имеют Вид Ч>1 = са Н(Ч, Р ), Ч>2 = Н(Ч, Р ), еаз = О. 20.56.
Показать, что для одномерного осциллятора средиее зпат 1 е 1;„, "ял (,0 Ре 2)Р(,0,0 2)1л~ 2с( 0 „0) Т-час Т 0 ции д(Ч, р) является функцией одного переменного Н = (р2 + саг Чг) / 2, ,, е что гс(,0 Ре) ,[(РО'+„2,0') ~2) 2057. Показать, что функции ~р~ = Рг (Чг и ~Р2 = (Рг — Чг) ехр ( — с) являются первыми интегралами системы с гамильтонианом Н = 2 = РъЧ2 — РгЧг+Чг. Построить полную систему первых интегралов и с ее помощью найти закон движения. 20.58.
Доказать тождество (Г',~р) = 1,~р) + 1 Г', ' (, где 2", ~р функции гамильтоповых переменных, (г", ~р) — скобка Пуассона. 20.59. Динамическая система описывается системой дифференциальиых уравнений х; = Г,(х, 2) (г =1, и ). Движение системы задается фуикциями х; = ф,(хв, 20, 2), где хе = х(се). Показать, что при любом фиксированном 20 функции Чч(х, с, 20) задают полный набор функционально независимых первых интегралов динамической системы. 20.60. Первые иитсгралы (';(Ч;,р;,1),..., )' (Ч;,р„г) канонической системы находятся в ивволюции, т. е. скобки Пуассона ф, гь) = = О (2, к = 1, пг). Показать, что первые интегралы вида Фф, Гг,... ) и Р'((м 22,..., 2' ) также находятся в ииволюции. 20.61. Вычислить скобки Пуассона (<р(и), у(и)), где и = и(Ч, р, 1) и е = и(Ч, р, 2). 20.62. Показать, что скобки Пуассона (~р,~г) двух функций ер = = <р(~г, ~2,..., ~,1) и м = у((м гг,..., 1, с), где ~ь = ~ь(чг, р;, 1) (к = 1, т, 1 = 1, .п, ), выражаются равенством 20.63.
Заданы функции <р = <р(ЧП..., Ч„, рм ..., Р„, 20..., 2т) и у = ~с(Чы ..., Чич Рм..., р„, (ы..., 2 ), где 2; = ~2(Ч, р, 1). Пока- 120. Первые ннгиегралы. Снобнн Пуассона. Теорема Пегиер 235 зать, что скобки Пуассона этих двух функций выражаются равен- ствами (теорема В. П Имшенецкого) т (гт)=(че-:-г [ ' О,э)" г М 1 )]" а=1 ~- (дд ду де ду'1 ~ дТ', дТг д~г дТ',) ( " где первые скобки вычисляются при фиксированном Д.
20.64. Каждой функции у(д, р) гамильтоновых переменных можно поставить в соответствие оператор Хт по следующему прави/ д, д д, д ~ лу: Хе = 2 [ — — — ). Доказать тождество [Хт', Хт'] = др' дрл дй' др' = Х(ты"з), где [Х,У] = ХУ вЂ” УХ -- коммутатор операторов, а (~ры д2) скобка Пуассона. 20.65. Если в линейном пространстве ! каждой паре элементов а Е В и Ь Е В по некоторому правилу поставлен в соответствие элемент ) (коммутатор) с = [а, Ь], принадлежащий Х и удовлетворяющий следующим условиям: 1.
[иаг+)За2,Ь] = а[аыЬ]+ фаз,Ь], а, 6 = соней (дистрибутивность), 2. [а, Ь] + [Ь, а] = О (аптикоммутативность), 3. [а, [Ь,с]]+ [Ь, [с,в]]+ [с, [а, Ь]] = О (тождество Якоби), то пространство В вместе с операцией коммутирования называют алгеброй Ли. Показать, что следующие пространства с определенным в них коммутатором являются алгеброй Ли: а) трехмерное линейное векторное пространство, в котором определено векторное произведение с = а х Ь; б) пространство вещественных матриц А = (аеу,),"ь порядка п ), где коммутатор естественно определяется равенством С = = А — ВА; в) пространство вещественных функций а(д, р), где коммутатор определяется через скобки Пуассона; и г=1 ') Соответствие с = [а, Ь) обычно называют бинарной операцией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
