Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Задана матрица ттс(гсо) = (И'дй(сто))".ь . Каким условиям должна удовлетворять эта матрица для того, чтобы она могла быть матрицей частотных характеристик стационарной системы вида Ас)+ +Вц+Сц=Ц(1)? 18.55. Динамическая система описывается уравнениями х = = Ах+Ьс(1), где А = (ор,)„"„1 постоянная гурвицева матрица 1), а Ь постоянный вектор. При гармоническом воздействии ) (1) = = А сблюй вектор 2.
Ан литичеенал ллеханина 106 T 1пп — ) х2(т) ит. Показать, что среднеквадратичное значение 7'-чае 2Т 1, периодического сигнала х(е+т) = х(г) равно 1 ~Сь~~, где Сь ь=о коэффициенты Фурье: Сь = -~х(1)еиа е11, аз= —. о 18.57. Найти среднеквадратичное значение (см. предыдущую задачу и рисунок к задаче 18.5) координаты груза массы т,, подвешенного на пружине жесткости с и совершающего вертикальные колебания в среде с сопротивлением. Сила сопротивления Г = -5п, -~-ее внешняя периодическая сила 2(е) = 2, аьее" ', а ь = аю л= — ее 18.58. Найти среднее значение мощности Х, выделяющейся в активном сопротивлении Л, в г11 С контуре, если Е(1) = со гйп ез1, а % = —.2 —.2 = йз', где 1 среднеквадратичное значение тока.
(См. задачу 18.56 и рисунок к задаче 18.8.) 18.59. В условиях задачи 18.29 найти движение системы в случае резонанса. 18.60. В электрической цепи, представленной на рисунке, Е1(6) = = Е2(1) = Г061пЫ. Найти все значения ез, при которых возможен резонанс. К задаче 18.60 К задаче 18.61 18.61. В изображенной на рисунке системе из п связанных электрических контуров Е1(2) = Е2(1) = ... = Е„(6) = пэ1пез1.
Найти все значения оз, при которых возможен резонанс. 1 18.62. Кинетическая Т = — 2 а;ьдедь и потенциальная П = 2 па=1 н — с;ьд;дь энергии консервативной системы являются поло- 2. ЦЬ=1 жительно определенными квадратичными формами с постоянными 119.
Ууааеениа Гамильтона, Рауеа, Уиттенеуа и Якоби 197 коэффициентами. Известно одно из главных колебаний системы, т. е. известны собственная частота ео1 и соответствующий ей амплитудный вектор п1. На каких частотах возможен резонанс в этой системе, если вынужденные движения описываются уравнениями АЧ+ СЧ = = Аигавшса1, где, А = [агут .„С = (сгь)".„ 8 19. Ъ равнения Гамильтона, Рауса, Ъиттекера и Якоби 19.1. По гладкой горизонтальной трубке (см.
рисунок), вращающейся с постоянной угловой скоростью еа вокруг вертикальной оси, может двигаться шарик массы т,, Пренебрегая размерами шарика, составить и решить канонические уравнения его относительного движения. а 19.2. Найти гамильтониан и соста- вить канонические уравнения движения плоского математического маятника.
19.3. Составить канонические уравнения движения математического маятника переменной длины 1 = = 1(1), где 1(1) — заданная функция времени. 19.4. Составить канонические уравнения движения свободной материальной точки в однородном поле тяжести. 19.6. Найти гамильтониан материальной точки в поле с потенциалом П(л, у, г), если за независимые координаты выбраны: а) декартовы; б) сферические; в) цилиндрические координаты. В задачах 19.6 — 19.11 найти гамильтониан и составить канонические уравнения движения механической системы, лагранжиан которой имеет следующий вид.
г г ЗЧг Чг г Чг 19.6. 1, = —, + —, — Ч вЂ” — — Ч1Чг. 5Ч', Ч' 19.7. Л = — — '+ — '+Ч1Чгсоэ(Ч1 — Чг)+ЗсовЧ1+соеЧг. 2 2 Чг + Чу (Чг+ Чг) (Чг+ Ча) 19.8. Ь = — — + — — + 2 4 — 2(Ч~~ + Чгг — Ч1 Чг)— 19 9 1 = (Чй--Чг) + аЧг -- — асов Чг. 2 19.10. А = аЧ1г+(сг+6 соэгЧ1)Чг. 2. Ан литичеекаа механика 128 1911 1=-~ (тт+тЫ +() -)2) +4тть~+ 1~ 1 2 ° ° 2 2 8 ~д1112 + — 6(д1 — д2). Ч1+ 22 В задачах 19.12.19.16 найти лаграпжиан механической системы, гамильтониан которой имеет следующий вид. 19.12. Н = (Р1+Рх)+ 4121 ч2) + 1(21+22) 19.13. Н = 111Р2 — тР1+ а1Р1+ Р2) 19.14.
Н = -, ~Р1+, 2 ) - Ч 2 Р2 2 ~, ззв241) 19.15. Н = — 2 ~+о(й+Ч2). 2 е112+ ч 19.16. Н = р1Р2+ 111 Ф. 19.17. Материальная точка массы т движется в поло притяжения к неподвижному центру. Составить канонические уравнения движения точки, если притягивающая сила является функцией ее расстояния от центра. 19.18. Найти гамильтопиан и составить канонические уравнения движения линейной модели трсхатомной молекулы (см.
рис, к задаче 16.64), которую можно представить в виде трех точечных масс гп1, п22, тз, насаженных па гладкий горизонтальный стержень и соединенных пружинами жесткости с1 и с2. 19.19. Тяжелое колечко массы т (см. рисунок) скользит по гладкой проволочной окружности массы Л1 и радиЯ1 уса й, которая может вращаться вокруг своего вертикального диаметра. Найти гамильтониан, составить т канонические уравнения движения системы и решить их (в квадратурах). 19.20. Два одинаковых шарика массы пз (см.
рисунок), связанные между собой пружиной жесткости с (длина пружины в недеформированном состоянии равна 1о), могут скользить без трения по трубке, К задаче 12.12 ВРащающейся с постоянной угловой скоростью из во- круг вертикальной оси. Найти гамильтопиан системы и составить канонические уравнения относительного движения шариков, пренебрегая их размерами. 19.21.
Релятивистская частица массы покоя тв при отсутствии силового поля в декартовых координатах имеет лагранжиан Ь = = — гпос 1 — (х~+у +12)/сз, где с — скорость света. Локазать, что гамильтониан свободной релятивистской частицы имеет вид Н = 219. Уравнения Гамильтона, Рауеа, Уиттенера и Якоби 199 =с , в частности, что при и = 0 Н = тес (формула Эйнштейна для энергии покоя). Составить канонические уравнения и найти закон движения частицы. 19.22. В сферических координатах лагранжиан релятивистской частицы в поле тяготения имеет вид +— т т 1 = — Гпее 2 где пао — масса покоя частицы, а с -- скорость света.
Найти гамильтониан частицы. 19.23. Составить канонические уравнения движения материальной точки массы т по гладкой сфере радиуса Й в однородном поле тяжести (сферический маятник). 19.24. Материальная точка массы т может двигаться по гладкой сфере, расширяющейся по закону Й = Й(2). в однородном поле тяжести. Найти гамильтопиан и составить канонические уравнения движения точки. 19.25. Составить канонические уравнения движения системы, лагранжиан которой в сферических координатах имеет вид 2 1 = (г2+ г292+ гзу2 91п29) — а~(9) у.
2 где а = сопэФ, а Й(9) произвольная непрерывно дифференцирусмая функция. 19.26. Две материальные точки массами гп1 и т2 связаны между собой упругим стержнем жесткости с и помещены на гладкую горизонтальную плоскость; стержень не работает на изгиб и на кручение и в нерастянутом состоянии имеет длину 19, массой стержня можно пренебречь. Составить канонические уравнения движения системы. 19.27.
Найти гамильтониан и составить канонические уравнения движения системы двух точек массами т1 и т2, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. За обобщенныо координаты принять координаты центра масс системы х, д, 2, расстояние между точками г и углы у и ц~ (широты и долготы), которые определяют направление прямой, соединяющей точки. 19.28. Симметричный волчок массы т (А = В ф С) с неподвижной точкой опоры О совершает движение в однородном поле тяжести. Центр масс волчка находится на оси динамической симметрии О~ на расстоянии а от точки опоры. Составить канонические уравнения движения волчка. 200 2.
Ан лингичеекал механика 19.29. Составить канонические уравнения пространственного движения однородного стержня массы гв и длины 2( в однородном поле тяжести. Найти первые интегралы движения. 19.30. Найти гамильтониан свободного твердого тела массы гп в однородном поле тяжести, если главные центральные моменты инерции тела равны А, В и С.
19.31. Треугольная призма массы ЛХ (см. рисунок) скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Однородный цилиндр радиуса г и массы пг катится без проскальзывания по боковой грани призмы, образующей угол а с горизонтом. Найти 1амильтониан системы, составить канонические уравнения движения и решить их.
К задаче 19.31 19.32. Найти гамильтониан н составить канонические уравнения движения двойного маятника, состоящего из двух одинаковых однородных стержней массы т и длины I (см. рис. к задаче 12.29). 19.33. Выяснить физический смысл обобщенных импульсов р; = = дауду,, для системы связанных электрических контуров (омическим сопротивлением пренебречь). 19.34. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить канонические уравнения состояния электрического контура, изображенного па рисунке.
19.35. Каким условиям должны удовлетворять постоянные матрицы А, В, С и Р для того, чтобы система уравнений 11= Ас(+Вр, р = Сс(+Пр ег(1) Ег(1) была гамильтоновой системой? 19.36. Движение частицы массы т К задаче 19.34 в поле с потенциалом П(д1, д2, дэ) задано в ортогональных криволинейных координатах д1, д2 и дэ. Найти гамильтониан частицы, если криволинейные координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями х = х(д1, д2, дэ), у = у(д1 ~ д2: дз), х = х(д1 ~ д2~ дз). 19.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
