Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 34
Текст из файла (страница 34)
518. Вынужденные ноаебан а. Частотные хари«терн«тини 185 18.3. Точка подвеса математического маятника длины! движется по горизонтальной прямой по закону е = ас" /2+ А81пе»1. Найти движение маятника в системе отсчета, движущейся по закону е = = асР/2; исследовать случай резонанса. 18.4. Груз массы т (см. рисунок) движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости (коэффициент пропорциональности 8). На груз действуют упругая сила пружины жесткости с и возмущающая гармоническая сила р(с) = А гйп се~.
Найти частотную характеристику И'(»т) системы. Построить графически амплитудную Л(ез) = ~ И'(ио) ~ и фазовую ср = агя И'(«ез) характеристики в зависимости от частоты ез. Найти частоту со*, при которой амплитудная характеристика Л(ез) имеет максимальное значение Й Р'(1) К задаче 18А К задаче 18.5 К задаче 18.7 18.5. Построить амплитудно-фазовую, амплитудную и фазовую характеристики груза массы т (см.
рисунок), подвешенного на пружине жесткости с, если на груз действуют возмущающая гармоническая сила р(~) = А эш Ы и сила сопротивления хг = — Оп. Рассмотреть следующие значения параметров: а) с/т = 1, Д/т = О, 1; б) с/«и = 9, |3/т, = 10; в) предельный случай Π— > О. 18.6. В условиях предыдущей задачи найти частотную характеристику И'(ма) системы, считая «входным» воздействием силу р(1), а «выходом»: а) скорость груза и; б) комбинацию а с+ бю. 18.7. Шарик массы т (см. рисунок) может двигаться внутри шероховатой трубки, которая вращается с постоянной угловой скоростью П вокруг оси А В. На шарик действуют упругая си,та пружины жесткости с и возмущающая сила г'(1) = А81пЫ. Коэффициент трения скольжения шарика о поверхность трубки равен р, с > тйэ.
При недеформированной пружине центр п1арика находится на оси вращения. Пренебрегая действием силы тяжести, найти частотную характеристику И'(гез) шарика, считая «входным» воздействием силу Е(1), а «выходом» вЂ” координату х шарика. 18.8. Построить амплитудно-фазовую, амплитудную н фазовую характеристики изображенного на рисунке электрического контура 2. А налитичеенал механнаа 186 от входа Е(1) = А э)поз( к выходу и„„,(1). Рассмотреть также предель- ный случай Л -о О.
К задаче 18.8 К задаче 18.9 18.9. При какой частоте р = ро синусоидального генератора (см. рисунок) в ЛВ С-контуре амплитуда В вынужденных колебаний для указанного и„н„(1) будет максимальной? Найти это максимальное значение амплитуды В „и сдвиг фазы д на частоте р = ро. 18.10. Для изображенных на рисунке электрических контуров найти аналитически и построиты рафически частотныс характеристики от и„(1) к указанным и„„„(1). ле е ...ле а 18.11. В некоторой системе выходной сигнал х(() выражается через возмущазощсе воздействие 1(1) (~(1) = 0 при 1 ( О) при помощи линейного оператора вида х(1) = й н„„(1) = )' Н (1 — т) 1(т) ~й. Показать, что чай и-«) О б стотная характеристика И'(Йо) этой системы от входа 1(е) к выходу х(е) Ь выражается равенством И'((оз) = С ее й н-.(1) = ) Н(с) е 'елеЦ, т.е.
представля- О ет собой фурье-изображение функ- К задаче 18ЛО ции Н(с). 18.12. Для идентификации системы, т. е. определения массы груза т, жесткости пружины с и коэффициента вязкого трения О, (см. рис. к задаче 18.б) к грузу прикладывают гармоническое воздействие 2'(1) = А э(поз( и определяют амплитуду В и фазу у вынужденных колебаний груза при различных частотах сь Найти выражения для т, с и (3, если на частотах ез1 ~ 0 и оз2 ~ оз1 найдены величины В1, у1 и В2, д2 соответственно. 18.13.
Найти частотную характеристику И'((со) элемента с запаздыванием, поведение которого определяется уравнением х„мз(1) = = х„,(е — т). Построить графически амплитудную и фазовую характеристики элемента. н„„(1) 118. Вынужденные ноаебан а. Частотные характеристики 187 18.14. Два груза (см. рисунок), сосдиненныс невесомой пружиной жесткости с, могут двигаться по гладкой горизонтальной направляющей. Длина пружины в недефор- е мированном состоянии равна 18, масса одного из грузов равна гп. Под действием внешней силы координата другого груза меняется по закону х = А сйпсо1.
К задаче 18.14 По какому закону меняется расстояние 1 между грузами? 18.15. В тот момент, когда линейный осциллятор массы гп (без затухания) с собственной частотой изс имел положение хс и скорость хс, к нему была приложена постоянная сила Г. Через какое минимальное время т нужно снять воздействие, чтобы дальнейшее движение осциллятора происходило с первоначальной полной энергией? Проиллюстрировать результат на фазовой плоскости.
18.16. Линейный осциллятор массы т, с собственной частотой тс под действием возмущающей силы совершает гармонические колебания с частотой р и амплитудой а. Какую работу совершает возмущающая сила на интервале времени 1ес, 1)? Показать, что работа, совершенная этой силой за половину периода вынужденных колебаний, равна нулю. 18.17. Найти вынужденные колебания груза массы т, подвешенного на пружине жесткости с, если на него действуют возмущающие силы Р1(1) = Авшеа11 и Рз(1) = Всов2шз1, а также сила сопротивления г' = — Ош 18.18. Найти закон изменения во времени заряда на обкладках конденсатора емкости С в изображенном на рисунке контуре. Рассмотреть следующие случаи: а) В = О, т ф 1/~(т'С, и ~ 1/(2ъ?ХС); б) ?? = О, сз = 1( Д С (резонанс); в) й ~ О.
К задаче 184 8 К задаче 18.19 18.19. При учете запаздывания восстанавливающая сила в осцилляторе, изображенном на рисунке, меняется по закону Е = = — сх(г — т), где т ) О время запаздывания. Найти вынуждснныс колебания оспиллятора под действием гармонической силы г" (е) = = А сйпсо1, а также частотные характеристики системы (амплитудную и фазовую).
2. А налитичеекал механика 188 18.20. Груз массы т, (см. рисунок к предыдущей задаче) соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткости с. В положении равновесия груза при Ь = 0 ему сообщается скорость ио и прикладывается возмущающая сила г" (г) = гояп(йг+ не), которая действует лишь в течение половины периода собственных колебаний. Считая, что частота собственных колебаний болыпе частоты П, и пренебрегая трением, найти такую силу г'о и фазу ~у, чтобы за время действия силы груз пришел в положение равновесия с нулевой скоростью. 18.21. Тело массы т, прикрепленное к неподвижной стенке пружиной жесткости с, совершает движение вдоль горизонтальной направляющей Ох под действием силы тг'(г), испытывая сопротивление — Ох, пропорциональное скорости.
Найти движение тела при начальных условиях х(0) = хо, х(0) = хо в следующих трех случаях: а) бз = 2тс; б) бз = Атс; в) бз = 6,25тс. 18.22. Сохраняя условия предыдущей задачи, найти закон движения х(Ь) тела при Ь > О, если сила г'(Ь) задана следующим образом; ) ОприЬ<0, ( а при 1 > 0 (ступенчатое воздействие). ГГри 1 = 0 тело находится в покое, т.е.
х(0) = х(0) = О. 18.23. Сохраняя условия задачи 18.21, найти закон движения х(Ь) тела при Ь > О, если сила г'(Ь) задана следующим образом: 0 при А<0, Гг(1)= Ь/Т приО<Х<Т, 0 при 1 > Т, где Т вЂ > 0 (импульспое воздействие). При Х = 0 тело находится в покое, т. е. х(0) = х(0) = О. 18.24. Показать, что любое финитное движение системы с лае) а1 еа ° 2 2 2 гранжианом Г = †,, — †, + -- представляет собой периодическое 2д~ 2д~ д движение с периодом 2к/са.
Указание. При решении задачи перейти к новой обобщенной координате г = 1/еГ. 18.25. Грузы с массами т1 и те (см, рисунок), подвешенные на невесомых пружинах жесткости с1 и сз, могут двигаться по вертикали. К грузу массы т| приложена вертикальная сила г" (е) = а81прГ. При заданных см т1 и р найти начальные условия системы и значения се и тз, при которых амплитуда вынужденных колебаний 1-го груза равна нулю (успокоитель колебаний без трения).
З 18. Вынужденные нооебаи а. Частотные характеристики 189 18.26. Решить предыдущую задачу, считая, что на груз массы гп~ дополнительно действует сила сопротивления Г = — 391. 18.27. В изображенном на рисунке контуре подобрать начальные условия, емкости С22, С2 и индуктивность Х 2 таким образом, чтобы выходное напряжение и,„„было равно нулю при заданной частоте генератора р = рв (поглотитель колебаний). = о бирс К задаче 18.29 К задаче 18.25 К задаче 18.27 18.28.
Как изменится искомое соотношение между параметрами схемы в предыдущей задаче, если учесть омическое сопротивление 17 в 1-м контуре? 18.29. Платформа (см. рисунок), на которой жестко укреплен ящик, совершает вертикальные гармонические колебания по закону х = А гйпы1. Внутри ящика могут двигаться по вертикали два одинаковых груза массы ш, связанные между собой и со стенками ящика пружинами жесткости с и с1 соответственно. При каких частотах колебаний платформы в системе возможны резонансы? 18.30.
Два груза массы т каждый (см. рисунок) соединены друг с другом и с неподвижными опорами пружинами жесткости с. На верхний груз действует вертикальная сила Г(с) = Азшиз1, на нижний — сила сопротивления Е = -3и2. Найти частотные характеристики системы. 18.31. Два одинаковых диска с моментами инерции,1 каждый (см. рисунок) связаны между собой и с неподвижной стенкой двумя валами, жесткость на кручение которых равна с. На левый диск действует внешний момент М = ЛХ9 зшсоб, а на правый — момент сил сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (коэффициент пропорциональности равен 3).
Найти частотные характеристики системы. 18.32. Найти амплитуду А и сдвиг фазы ~р вынужденных колебаний заряда на обкладках конденсатора С2 в изображенном на рисунке контуре, если ЭДС генератора меняется по закону Е(1) = Еввшсо1. 2. А нааитичеекаа механика 188 Задаваясь конкретными значениями параметров системы, построить амплитудную и фазовую характеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
