Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 38
Текст из файла (страница 38)
19.70. В сферических координатах лагранжиан релятивистской частицы в поле тяготения имеет вид 2. А нааитпичеекаа механика 206 19.74. Найти функцию Якоби Р частицы массы т в однородном поле тяжести. 19.75. Составить уравнения движения частицы массы т в однородном поле тяжести в форме уравнений Якоби. Найти первые интегралы полученной системы. 19.76. Лагранжиан точечного заряда е и массы т в электро- 2 2 2 е магнитном поле имеет вид 1 = —,— (х~+ у~+ йг) — ееа+ -~еч х А), с 2 е скорость света, у и А скалярный и векторный потенциалы поля.
Найти гамильтониан заряда и составить канонические уравнения движения. 19.77. Функция Гамильтона релятивистской частицы во внеш- нем электромагнитном поле имеет вид И = + ееа, с скорость света, р = (р, рю р,) импульс частицы, А и ег векторный н скалярный потенциалы электромагнитного поля. Найти лагранжиан частицы.
19.78. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения осциллятора с вязким трением, функция Ла- г1 гранжа которого равна Ь = — е тх +бхай — ~с — — ) х, где 2 ~ 1, 2т) коэффициент сопротивления. 19.79. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения осциллятора с вязким трепнем, функция Лагранжа которого равна 1 = е~е1~[тхг — схг)/2. Показать, что функции 1 и Ь из задачи 19.78 связаны соотношением Ь(д, д, 1) = = 1(д, д, 1) + е1Р(д, 1)/Ю (см. задачу 19.57).
9 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нетер 20.1. Вычислить скобки Пуассона (К., р;), (К;, К ), (Кг, К.), (хе, К1) (г, / = 1., 3), где хы хг, хз, Ры Рг, Рг декаРтовы кооРдинаты и компоненты импульса частицы; Кы Кг, Кз компоненты ее момента импульса относительно начала координат, а К = Кг~+ + Кг + КЗ ' В задачах 20.2-20.13 для заданных функций ер(д, р, $) и Ш(д, р, 1) вычислить скобку Пуассона (ер, ш). 20.2. ее = д~+р~, хе = агс18(р/9). 20.3. ер = ер(р +е1~), Ч = агс18(р/д).
20.4. ер= е1;, у=Чу(й, Ч рг . Р е). З 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Педтер 207 20.5. ср = р;, ду = ду(од, ..., дн, рд, ..., р„, 1). 20.6. др = сд;, ду = рь (д, й = 1, и,). 20.7. др= дд;, ду= оь (д, Л = 1, п). 20.8. др= р;, ду=рд.„. (д, 1 =1, п). 20.9.
др = ср(ддд, Рд), ду = Р'(др(цд, Рд), д72,..., он, Р2,..., Р„, с). 20.10. до = дсоводД+ — в|пЫ, до = рсоводс — сдсовдпадД. Р . 20.11. р= рф(р,'+02))., у=4У,(Р,'+ ф~. и и 20.12. др = сов ~~(р2+02)~, ду = вдп ~~ (рз+02)~ д=д д=д 20.13. др = д д (К(гдд., Рд)), Чг = д 2(К(ддд1 Р;,)). 20.14. С помощью скобок Пуассона записать канонические уравнения Гамильтона.
20.15. Соотношения Х(д) = ~ Хд(хд,хз,,хн), У(г) = = ~; У,(хд,х2,...,х„),, где /(хд,..., х„), Х;(хд,..., х„) и У,(хд,..., х„) - непРеРывно диффеРенциРУемые фУнкции, зададот линейные дифференциальные операторы Х и У соответственно.
Непосредственной проверкой показать, что коммутатор е (/) = = Х(У(/)) — У(Х(/)) является снова дифференциальным оператором 1-го порядка: 2(/) = ~ Я,(хд,...,х„), причем Я; = '" ах,' = Х(У;) — У(Х,). 20.16. Используя решение предыдущей задачи, доказать тождество Пуассона (( р, Ш), /) + ((~у, /), М+ ((/, р), у) = О, где др = ер(д, Р, с), ду = ду(д, р, с), / = /(дд, р, 1).
20.17. Показать, что фУнкЦии дРд = Рд + <Ь, с02 = Р2+ Чд, д0З = 2 2 2 2 (сгд, др2), где (дрд, др2) - скобка Пуассона, являются независимыми первыми интегралами системы с гамильтонианом Н = рдр2+ ддд2. 20.18. Функция др(дд, р, с) является первым интегралом обобщепно-консервативной системы. Показать, что функции дгр/дс, дзс0/дс2,...
также будут первыми интегралами этой системы. 20.19. Функция др(о, р, с) является первым интегралом гамильтоновой системы с циклической координатой ддь. Показать, что функции ддр/дддь, дддр/ддь2,..., дндр/дддьн также будут первыми интегралами этой системы. 208 2. Ангигиигичеекая механика 20.20. В гамильтоповой системе с п степенями свободы координата Ч1 является циклической. Показать, что 2п независимых первых интегралов системы можно представить виде И1 = Ч1 — гг(Ч1, Р„е), И; = Р,(Чг, Р„2) (г = 2, 2п), где функции Р1.
(Чг,р„1) (Й = 1, 2п) пе зависят от циклической координаты Ч1. 20.21. В гамильтоновой системе с п степенями свободы координата Ч1 является циклической. По первым интегралам, указанным в задаче 20.20, построить такой первый интеграл И' системы, чтобы 2п независимых первых интегралов определялись равенствами И', дИ'гд дви 1И'ггд 2" ' 20.22.
Используя результат задачи 20.21, для гамильтоновой системы с циклической координатой Ч1 построить два таких первых интеграла, при помощи которых можно получить полный набор независимых первых интегралов системы, используя только скобки Пуассона. 20.23. Показать, что для системы с гамильтонианом Н = 11 1Ч1 ~ Ч2~ ° ° ) Чек~ Р1 ~ Р2~ ~ Реа)~ Чтпг1~ . ~ Чн~ртаг-1~ .
~ Рп~ е1 ФУН1ЕЦИЯ 1(Ч1, Ч2 ° °, Чтн, Р1, Р2,..., Р ) ЯВЛЯЕТСЯ ПЕРВЫМ ИитЕГ- ралом. 20.24. Показать, что для системы с гамильтонианом Н = Р' юг 1Ч„Р,),...., х„1Чи,. Р„), 1) функции ~р,(Ч1, Р;) (1 = 1, п) являются первыми интегралами. Считая, что система уравнений у; = ~р;(Чг, Р;) разрешима относительно импульсов р, = щ(Ч1, у;), (1 = 1, и), найти движение системы (в квадратурах) . 20.25. Показать, что для системы с гамильтонианом Н=ГИ '1" ЫЫЧ1,Р1),Ч2,Р2),":Ч. Р ),1) функции 11(Ч1, р1), угф 1, Ч;, р,) (1 = 1, п ) являются первыми интегралами.
При п = 2 найти (в квадратурах) движение системы. Считать, что система уравнений у1 = 11(Ч1, Р1), у2 = 12(п, Ч2 Р2) Разрешима относительно импульсов: р1 = ~11(у1, Ч1), Рг = Ш2г1н, у2 Ч2). 20.26. Показать, что для системы с гамильтонианом и и ~ — 1 Н = ',~. Л (Чг, Рг) ~ ~ В (Чг, Рг)~ 1=1 1=1 функции 11(Ч1, р,) — Нгрг(Ч1, р,) являются первыми интегралами. 20.27.
Показать, что для системы с гамильтонианом и и ~ — 1 Н = У(1) ~ угг~г(Ч1, Рг) ~ бггР1(Чг', Рг) 1=1 1=1 120. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Петоер 209 где у; и бг - постоянные, функции Чч(д;, р,) являются первыми интегралами. 20.28. Найти (в квадратурах) движение системы, гамильтониан которой задан в следующем виде: и а) Н = — ~',(р'+со'Ч'). 2=1 б) Н = [р21(р2+Ч2)+Ч~~]/2; в) Н = (р~1+Ч~~)/(р2+д22); г) Н (Р1+Ч1)г' (Р2~: Рп~ о) 20.29. Функция Иг(д, р, 1) удовлетворяет соотношению дИг/де+ + (Иг, Н) = /(1), где (Иг, Н) — скобка Пуассона.
Построить первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н(д, р, 1), используя функции Иг(д, р, 1) и /(с). 20.30. Две механические системы с одной степенью свободы каждая имеют гамильтонианы Н1(д, р) и Н2(д, р) соответственно. Известны конечные уравнения движения д(Ч0, ро,, е) и Р(Ч0 ро с) одной из этих систем.
Найти конечные уравнения движения системы с гамильтонианом /(Ны Нв), если скобки Пуассона от функций Н1(д, р) и Н2(д, р) равны нулю. 20.31. Найти ошибку в следующих еправдоподобныхи рассуждениях. Материальная точка массы т начинает движение в плоскости уа из состояния покоя в однородном поле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Ое. Следовательно, импульс точки р„ сохраняется, т.е. ра = сопэ1. Производная момента импульса Ксэу точки относительно оси Ор равна нулю, так как единственная внешняя сила сила тяжести пересекает ось Оу и, следовательно, не создает момента относительно этой оси.
Поэтому Ксэу будет первым интегРалом, т. е. КСу = сопв1 пРи Движении точки. ИспользУЯ теоРему Якоби Пуассона, получим, что р, = сопв1, так как (р„Ксэу) = р,. Этот «вывод» находится в очевидном противоречии с уравнением изменения импульса р, = гпй. 20.32. Гамильтониан Н(д, р, 1) некоторой системы удовлетворяет условию с1еФ(д2Н/(др; дрв)),"„1 ф О.
Показать, что соответствующая гамильтонова система не имеет нетривиальных (т.е. отличных от константы) первых интегралов вида /(Ч, 2) = сопят, зависящих только от координат Ч и времени 1. 20.33. Найти зависимость гамильтониана Н(д, р, б) от обобщенных импульсов р, (1 = 1, и ), если соответствующая система канонических уравнений допускает и функционально независимых первых интегРалов виДа /1(д, 1) = пм /2(Ч,1) = пв, ..,, /н(д, 1) = ан, не зависящих от обобщенных импульсов. 2. А нани тичеекак механика 210 20.34. Система дифференциальных уравнений де = А,(д, р, 1), р; = В;,(ч, р, 1) (1,2 = 1, и ) имеет в некоторой области 2и, независимых первых интегралов И'ь(дз, р., 1) (6 = 1, 2и). Доказать, что эта система является гамильтоновой тогда и только тогда, когда скобки Пуассона (И'ь, И'"~) любой пары интегралов также являются первым интегралом.
и 20.35. В лагранжиане Ь = — 2; а, (д)д;д1 — П(д) консерватив- 2. 61=1 ной системы функции а; . (0) являются однородными функциями одного и того же порядка й, а потенциал П(д) — однородной функцией порядка 1. Как должны быть связаны числа 6, 1, а и 6, чтобы однопараметрическое семейство преобразований (с параметром а) аз = = а, ехр(аа) (г = 1, и), Е=1ехр (и6) удовлетворяло условиям теоремы Нетер? Найти соответствующий первый интеграл системы.
20.36. Система состоит из и материальных точек с массами тм т2,..., т„(см, рисунок), которые могут перемещаться по гладкому горизонтальному кольцу. Массы соединены пружинами, как показано на рисунке. Подобрав преобразование а, = = а, (д, а) (г = 1, и ), не меняющее лагранжиана системы, показать, что в силу теоремы Нетер система имеет первый интеграл ез 2 т;а,. В качестве обобщенных координат й=1 а, (г = 1, и) принять расстояние по дуге окружности от некоторой неподвижной точки до точек системы. 20.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
