Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1 =~[(ар+ ьд)ьд+(сер+ ьд)ьр1 гг г !=ге,!(нг*-'-г.!г!)гг*.~!г г .~н!г'!)гг*! 1=1 22 7 1=~~И'+ьрд+сд')Ьд+(гхр'+ВЧ+И')Ьр) 22.8. 1 = ~(р(р)ьд. 22.9. Вычислить значение интеграла 1 = у [2 , 'реЬд; — Н Ь21, взя- 1=1 того вдоль замкнутого контура, лежащего на трубке прямых путей, по не охватывающего ее.
') Два контура Св и С!, охватывающие трубку прямых путей, называются согласованными, если возможна такая параметризация однил! и тем же параметром а, что при каждом значении а соответствующие точки контуров Се и С! расположены на одном и том же прямом пути. З Е.С. Пятницкий и др. 226 2. А налпгиичеекал механика и 22.10. Показать, что интеграл Н = а~г 2' ,Ч;Ьр;, а ф О, где конг=1 тур С лежит в гиперплоскости ~ = сопй, является универсальным интегральным инвариантом. Найти отноп1енне 1г/г', где 1 = и = ~г ~, р;бЧ; — универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.
п 22.11. Как изменяется интеграл ~г [ ~ Ч;Ьр, + Нбг1 при произ- С г=1 вольной деформации вдоль прямых путей контура С, охватывающего трубку прямых путей? 22.12. Найти общий вид функции Ф(с~, р, 1), для которой интеграл г=))'~ р;гэ — Ф(ч,р,г)гг~ г=1 является интегральным ипвариантом (типа инвариапта Пуанкаре. Картана) гамильтоновой системы с функцией Н(ц, р, «). 22.13. Функция ~(ц, р, 1) является первым интегралом системы с гамильтонианом Н(с~, р, 1). При построении трубки прямых путей системы в (2п+1)-мерном расширенном фазовом пространстве (ц, р, ~) начальный контур Со(ц~~~(а), р~~~(а), цо(а)) выбирается таким образом, что ~~<~~о~(и), р®(а), ~о(а)) = Ог где О фиксированное число. Показать, что значение криволинейного интеграла '=) ~г.р.гг' — ~е(ч,р,г)-'-у(ч,р,г)~а~ С г=1 не будет зависеть от выбора контура С на указанной трубке прямых путей.
22.14. В г,2п+1)-мерном расширенном фазовом пространстве (с1, р, 1) канонической системы с гамильтонианом Н = г [9(Ч1 г Чзг г Чгг Р1г Рзг г Рг) г Чгт1г . г Чпг Рг;1г г Рп, ~) начальный контур Со(сапог рв, ~о) трубки прямых путей выбран таким образом, что 8о — = О, Чг(Ч1ог... г Чго, рш рео) = Ог где О - фиксированное число. Показать, что значение криволинейного интеграла и г'=~~1;р;гг;-~е(ч,р, )-,- (ч,р, )|гг) г=з 2 22. Интегральные инварианты не будет зависеть от выбора контура С на этой трубке.
Изменится ли этот вывод, если условие <р(Ч1о,..., .Ч.о, Р1о, . Рве) = 5 для контура Се не будет выполняться? Предполагается согласованность контуров Се и С (см. сноску к задаче 22.2). 22.15. Каким условиям должны удовлетворять функции А,(9, р) и Ве(11, р) (г = 1, п ) для того, чтобы интеграл 1=~~ (А;бЧ,+В;бР;) Се=1 был универсальным интеграг1ьным инвариантом? 22.16. Функция Р'(Ч, р, 1) является первым интегралом канонической системы с гамильтонианом Н(ц, р, 2).
Доказать, что интеграл 1 — ~... ~У(11 Р 1) ееЧ1 е1Ч2 .. 11Чн егР1 ееР2... '1Р Сгв является интегральным ипвариантом. 22.17. Показать, что в обобщенно-консервативной системе с гамильтонианом Н(й, р) интеграл ! = .. Н(Ч,Р)е1Ч1ЙЧ2...ЙЧ~ЙР1е1рг...др является интегральным инвариантом. 22.18. Показать, что каноническая система с гамильтонианом Н = Н[р1(Ч„Р1), ..., р„(Ч„, р.), 2] имеет следующие интегральные инварианты: ?ь = ~... ()1рь(Чь, рь) е1Ч1 е?Чг... е~Ч„е?Р1 др2... а1р„(?е = 1, и). 22.19.
Показать, что интеграл является интегральным инвариантом канонической системы с гамильтонианом Н(ер(Ч1, Р1), Ч2; Ч Р2: Р ~). 22.20. Показать, что интегралы ~ еР1(Ч1 Р1) ееЧ1 ееЧ2 ееЧ2 егР1 ееР2 егрз, 2. А ниаитич«екал механика »2 ~ ~92(п~ дз Рз) «1д1«1дз «1дз «" Р1 е»рз еерз 228 ое ?з=~...~ Е,дз,рз)д ~д>д др 1 дрз, где а и )3 ..
произвольные постоянные величины, являются интегральными инвариантами канонической системы с гамильтонианом Н = тАт~ю~ (ды р ), дъ рз), дв, рз) 22.21. Система с гамильтонианом Н(Ч, р) имеет интегральный инвариант вида 1= ~ . ~ Р(Ч~Р~ г)'ед> гедз ездке«Р1«хрз при~ г де Р(Ч, р, 1) непрерывная функция, а п число степеней свободы. Показать, что функция Р(Ч, р, 1) является первым интегралом системы. 22.22. Материальная точка (см. рисунок) движется по инерции вдоль оси Ох.
На фазовой плоскости (х, р,) точки выбирается область Со 1у ( хо ( б и( рхо ( Щ. Совокупность движений точки (с начальными условиями в Со) переводит Со в Сь и Найти вид области Се для произвольного момента времени $. 22.23. Показать, что если для системы второго порядка д = 1е1д, р,1), р = = Р(д, р,1) сохраняется «фазовый объ- 7 х ем», то эта система является гамильтоновой, т. е. существует такая функ- К задаче 22.22 ция Н(д, р, 1), что (е(д, р, 1) = дН(др, Р(д, р, 1) = — дН/дд.
22.24. Показать, что из факта сохранения фазового объема для системы д, = (»~;(Ч, р, ~), р; = Р;(Ч, р, 1) (г = 1, п, и > 2), вообще говоря, нельзя сделать вывод о том, что система является гамильтоновой. Привести пример. 22.25. В фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора с гамильтонианом Н = (р + аззд~) /2 выбирается область (до — а) +(1/ев )(ро — 6) < 1, где а и 6 постоянные. Из каждойточки этой области выпускается прямой путь системы.
Как изменяются форма и положение этой области во времени? ! 22. Интегральные инварианты 229 22.26.!"амильтониан многомерного осциллятора имеет вид и = и = — '> (р2+ 2Ч~) И, д й б г г 2п-мерного фазового пространства осциллятора выпускаются пря- мые пути, переводящие Со в Сг. Показать, что Сг представляет собой внутренность эллипсоида и 2, (гге —. (ггг'+ — ',(г.
-г (гг'~ г г, г=1 Хг гг(Х1г Х2г ° ° ° г Хт) (2 =1, т). где и;(1) = а, сов ог,е+ (91/еве) э!пев;2, (1;(г) = — ач э!пв112+ б, созга;!. 22.27. Гамильтониап системы Н(е1„ре) (г = 1, п) и число а таковы, что неравенство Н(г?ог ро) ( а определяет некоторый обьем Се в фазовом пространстве (г?„р;). Из каждой точки области Со выпускается прямой путь системы.
Как меняются положение и форма области Со с течением времени? 22.28. Как меняется во времени величина некоторого об"ьема Со в фазовом пространстве (д, р) механической системы с лагранжианом Ь(11, ц, !), на которую действуют дополнительно обобщенные силы ггг(г) (1 = 1, и)? 22.29. Найти необходимые и достаточные условия сохранения фазового объема в пространстве х1, хг,..., хи для стационарной линейной динамической системы хе = 2, агьхь (! = 1, и).
1=1 22.30. Показать, что фазовый объем линейной стационарной динамической системы х1 = аых1+ пшх2, х2 = амх1+ а22х2 сохраняется лишь в том случае, когда эта система гамильтонова. Выписать выражение для соответствующего гамильтониана. 22.31. Груз массы т движется в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости (коэффициентпропорциональности 3). На груз действует сила пружины жесткости с (см. рисунок к задаче 18.4).
На плоскости (х, х) (х — растяжение пружины) выбирается область Со площади Яо. Совокупность движений груза с начальными условиями в Со переводит Со в Сг. Найти площадь Яг области Сг. 22.32. Движение динамической системы в координатах х1, х2,..., х описывается системой уравнений: 2. А налнтннеекал механика 230 Показать, что фазовый объем этой системы в т-мерном пространстве хы х2,..., х сохраняется в том и только в том случае, когда йкг = еа д~ "=О.
1дх; 22.33. В трехмерном пространстве (р, и, г) угловых скоростей твердого тела с одной закрепленной точкой, движущегося по инерции, выбирается некоторая область СО. Движения твердого тела с начальными условиями в СО переводят эту область в область Сь Найти объем ке области См если объем области СО равен ке. 22.34. Некоторая динамическая система описывается уравнениями х, = ~,(хы хз,..., х,„) (г = 1, т), причем задача Коши для этих уравнений имеет единственное решение. Каждая начальная область СО в т-мерном пространстве хы х2, ..., х траекториями системы х, = х,(хы х2, ..., т,„, 1) переводится в область См если хо б СО. Показать, что интеграл .
1Ф(хы х2 ..., х,„) еХх1пх2 ... пхт сохраняется на траекториях системы (?е =?ее), т. е, является интегральным инвариантом системы в том и только в том случае, когда с11к~Ф(х)Г(х)] = ~, * = О. дх; в=1 22.35. Показать, что в условиях предыдущей задачи выражение 2е = ~..~Ф(хт х2 .. х 1)<Хх1 иехз ..Йх будет сохраняться на движениях системы в том и только в том случае, когда дФ(х, 1)/д8+е11к~Ф(х, 1)Г(х)) = О.
22.36. Два шарика с массами т1 и тз движутся навстречу друг другу со скоростями и01 и и20 соответственно. Рассматривается совокупность таких движений при различных значениях скоростей и1 и и2, заполняющих некоторую область Я~ на плоскости и1из. О О Как изменится площадь области Ьо в результате абсолютно упругого удара? 22.37. Решить предыдущую задачу, считая коэффициент восстановления при ударе равным Й. 22.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
