Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Показать также, что 121. Варггационные принципы механики 221 действия по Гамильтону па окольном пути Ио, и на прямом пути 11 И'пр свЯзаны Равенством И',1 — — И'ггр+ — ~ ~г, а;ЬглЧ,глЧЬ 121, пРичем оба=1 со 21Ч,(2) = Ч" ,(2) — Ч,"Р(1) и ЬЧ,(ге) = 21Ч,(11) = О (а =1, и). 21.27. Показать, что для натуральной системы < п п 1 = 1 2+ В1+ Ьо, б2 = ~ ась(Ч)Ч;Чь > О при ~ Ч2 > О где=1 г=1 действие по Гамильтону на прямом пути не может быть максимальным по сравнению с любыми окольными путями, имеющими такие же граничные точки, как и у прямого пути.
21.28. Точка В(11(1)г11) прямого пути с)(1), соединяющего ее с начальной точкой А(111о), 2в1 в (и+1)-мерном расширенном координатном пространстве, является кинетическим фокусом, сопряженным для точки А. При этом на пути с)(1) нет других кинетических фокусов, сопряженных начальной точке. Показать, что значение действия И1„р на прямом пути с)(1) связано со значением действия И'„ на лгобых других близких путях (окольных и прямых) неравенством Иг„р < И1„г т.
е. на прямом пути действие локально минимальное ) . 21.29. Если в выражении действия по Гамильтону И' = 1, = ) 1(с),с)) сгг сделать переход к новому времени т в соответствии 1о с равенствами 1 = 1(т), то в результате получим 11 1 1 И' = 1 Ч1,Чо,...,Ч„г —,, —,,...,—,) 2 д~, Ч1 Ч2 Чп 1 го где штрихом обозначена операция дифференцирования по т. Введем 11 в рассмотрение систему с лагранжианом В 11, —,) 1, рассматривая 1 как новую (и+1)-ю обобщенную координату. Найти обобщенный импульс рс, соответствующий координате 1. 21 30. Прямой путь Ч1 = Ч; (1) (2 = 1, п ) системы с лагранжианом ь(11, 11, 2) проходит через точки А(с1(~), 1е) и В(с)(~), 21) (в+1)-мерш>го ) Локальная минимальность понимается а следующем смысле: существует такое число с ) О, что при 1,' 22Ч~(1) Е 1,' ггЧ~(1) < р., 1о < 1 < 11, выполняется *=1 =1 неравенство И' > Иг р,' 2.
Аналитическая механика 222 расширенного координатного пространства. Для одпопараметрического семейства кривых щ(1,а) = д,(1) + ад;(1), д;(1о) = си(1г) = 0 (1 = 1, и), проходящих через точки А и В, найти выражение для и второй вариации 32И'(и) действия по Гамильтону И' = ~ ь(с1,с1,е)ей ео на прямом пути, которому соответствует а = О. 21.31. Обратимое преобразование (и+ 1)-мерного расширенного координатного пространства о1 = у, (с1, 1), 8 = ~у(с1, 1) (1 = 1, н) переводит каждую кривую ц = ц(1), представляющую движение лагранжевой системы с функцией 1 (ц, с1, 1), в соответствующую кривую с1 = = ц(с). Опираясь на принцип Гамильтона, показать, что функцию В(с1, е1с1/ей, 1), задающую лагранжеву систему с решениями с1(Е), можно вычислить следующим образом: ,ц,~~ сн =а Я, 11 где и; = ан(с1, 1) — обратное преобразование.
21.32. Материальная точка движется по инерции по оси Ох. и Рассмотрев действие по Гамильтону И' = ~ Ь(х) Ж на трехпараметеа рическом (параметры по, ан п2) семействе кривых х(ао, ам аз, 8) = = по+п11+а21х/2, пРоходЯщих чеРез точки А(хе,Це = О) и В(хг,11), найти такие значения параметров ао, ан а2, определяющие кривУю х(ао, аы а2, 1), чтобы И(ае, йы се2) < И(по, иы а2) (пРЯмой метоД приближенного отыскания экстремалей вариационных задач в заданном классе функций). 21.33. Лагранжиан Цс1, с1, 2) некоторой системы является выпуклой функцией относительно (д,, д; ) (1 = 1, п ), т.
е. для любого Х Е (О, Ц выполняется неравенство 1Р. (')+(1-2.) 00 2. (0+(1-2.) (2) 1) < Доказать, что в такой системе значение действия по Гамильтону па прямом пути И'ир и значение И;„на любом окольном пути, проходящих через точки А (с1~~1, 1о) н В(с101, 11) расширенного координатного пространства, связаны соотношением И'„, > И„р. 12К Варссационнне нринцинн механики 223 21.34. Материальная точка массы т движется в однородном поле тяжести. Выписать выражение для действия по Лагранжу И'". В трехмерном координатном пространстве частицы найти все кинетические фокусы (сопряжепные для начальной точки (хо,уе,хе)), которые возникают при рассмотрении принципа Мопертюи-Лагранжа.
21. 35. Согласно принципу Ферма луч света в неоднородной среде распространяется таким образом, что вариация где п = п(х, у, х) — показатель преломления среды. Найти потенциал П(х, у, х) силового поля, в котором траектории частицы будут совпадать с траекториями светового луча (оптико-механическая аналогия). 21.36. Используя ошгико-механическую аналогию, найти траектории светового луча в среде с коэффициентом преломления п(х, ус, х) = а(х +у +х ) 21.37. Задано некоторое однопараметрическое семейство Я путей с)(а,2), проходящих через точки А(с)о,се) и В(с)с,2с) (и+1)- мерного расширенного координатного пространства (с)с, с)2,..., ссн, 2).
Действие по Гамильтону механической системы с функцией Лагранжа ) (с(, с), 2) на семействе Я определяется функцией И'~(а). Верно ли утверждение: из условия ]бИс~(а)] —, = 0 следует, что путь д(а*., с) является прямым. 21.38. Функция Лагранжа 1(с),с),2) некоторой системы является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей с)с, т.е.
]д2Ц(дс)с дчь)]," „при всех с), с), 2 является матрицей положительно определенной квадратичной формы. Пусть через любые две точки (с)е,2е) а (с)с,2с) (и+ 1)-мерного расширенного координатного пространства, не лежащие в гиперплоскости 2 = сопв$, проходит единственный прямой путь.
Показать, что в этом случае действие по Гамильтону И'„> И'ир для любых окольных путей, соединяющих начальную и конечную точку. 21.39. Функция Лагранжа 1 (о, с), с) системы такова, что любые две точки (о, уе), (6, 2с) (и+1)-мерного расширенного координатного пространства можно соединить единственным прямым путем. Показать, что в переменных с), р, 2 на прямом пути с)(с), проходящем с, через а и 6, достигается минимакс пппшах ~ (~ рсс)с — Н(с), р,с)] с(г д(с) р(с) с со 2. А налитинеекал механика 224 (т. е.
выполняется условие минимакса). Гамильтониан при этом яв- ляется строго выпуклой функцией переменных р,(е): < д2 и — „— еа,а~~и, «= ° «, «и), др' дрь на которые пе налагается никаких ограничений. 21.40. С использованием условия задачи 21.31 для системы с лагранжианом Цх) = тхз/2 (свободная одномерная частица) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным у = = хеа, х = 1ез'. Убедиться в справедливости равенства Иу1 е«х /сЫ Ь 1 — ) — = 1 < — ( (вариационная симметрия). ~4.) а '~дг( 21.41. С использованием условия задачи 21.31 для системы с лагранжианом Ц1, х, х) = тхз/2 — евах" /2+ хЯ) (возмущенный осциллятор) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным у = х+ ав1пеи', х = 1.
Убедиться в справедливости равенства Ь т,у,— --=Ь гчх,-- где Л(е, х, и) некоторая функция (дивергентная симметрия, см, задачи 20.66, 20.67). 21.42. С использованием условия задачи 21.31 для системы с лагранжианом 7 (г, г, ер) = гп(гз+г~уР)(2+а7г (кеплеровазадача) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным г=ге, <р=ер, К=ге Убедиться в справедливости равенства (кк) где с(а) некоторая функция (конформная симметрия). Преобразование («) и равенство (**) обосновывают третий закон Кеплера. й 22. Интегральные инварианты 22.1.
В расширенном фазовом пространстве одномерного осциллятора с лагранжианом Ь = (дв — еоздз)/2, движущегося по закону д = А в1п (еа1+ а), найти уравнение поверхности трубки прямых путей, соответствуюьцей заданной постоянной амплитуде А и изменению фазы и от 0 до 2х. Изобразить эту трубку в перспективе, показав 1 22. Интегральные инварианты на ней прямые пути. Непосредственным вычислением показать, что значение интеграла у 1р Ьд — Н Ь2) по контуру С, лежащему в плоскости 2 = 11, не зависит от 2!. 22.2. В расширенном фазовом пространстве (де,р1,2), 1 = 1, п, выбира- С! ется замкнутый контур Се, по которому строятся трубки прямых путей двух гамильтоповых систем с функциями Н1(де,р;,2) и Н2!д,,р1,1) соответственно (см.
рисунок) . На каждой из трубок выбираются контуры С! и С2, согла- Ч с сованные с Со ) . Как связаны между собой значения интегральных инвариантов К задаче 22.2 1, = ~~~'~ребде-Н,Ь2~ и 1,= ~ ~~ 'р;Ьд;-Н262~2 с с, 1=1 Выяснить, какие из криволинейных интегралов задач 22.3 — 22.8 являются универсальными интегральными инвариантами. 22.3. 1 = — Ьд+(д+1пд)Ьр . 224. !=12 )гг; — ' гр;~р; (гр;)гг~. 1, 2 / 1=1 22.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
