Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 43
Текст из файла (страница 43)
П!арик массы т движется по инерции вдоль оси Ох и абсолютно упруго ударяется о перпендикулярную направлению движения преграду. На фазовой плоскости (р, х) выбирается область Э 22. Инта«гнал»вне инварианян« 231 начальных данных Ье. Совокупность движений шарика (с начальными данными в Яо) переводит Яо в Яь Проследить (качественно) изменение Я~ с течением времени на фазовой плоскости с учетом соударения с преградой. 22.39. Диссипативная система имеет кинетическун> энергию Г= 'и 1 — д,.
И ПОтвнцнаЛЬНуЮ ЭНЕРГИЮ П = — ~ С;Ьд,цГо С;Ь = СОПЭ1. 2 2,,ь дй Непотенциальные обобщенные силы равны Я; = —, где Л = дд,' а ~., 61ь4щ " функция Релея системы, а б;ь = бы -- постоянные ць=э величины. В 2и-мерном пространстве («1,«1) этой системы выбрана некоторая область Се, объем которой равен $щ Найти объем К~ области Сп в которую переводят область Со движения системы с начальными условиями в Со. 22.40. Найти закон изменения объема Ъ~ диссипативной системы, описашюй в предыдущей задаче, считая потенциальную энергию произвольной дифференцируемой функцией П(«1, .1). 22.41.
Для гамильтоновой системы статистический ансамбль имеет плотность р(«1, р, 1). Показать, что интеграл ) Р(Ч, Р,1) «1«п«1чг .. «1Чп "Ры"Рз . «1Рп является интегральным инвариантом системы. 22.42. Задан статистический ансамбль плотности р(п,, р;, 1) (г = = 1, п ), для которого справедлива теорема Лиувилля др/01+(р, Н) =О, где Н(д;, р,, 1) гамильтониан системы. Этот ансамбль можно интерпретировать как «2п-мерную жидкость», поле скоростей которой задается уравнениями Гамильтона д; = и«, —— дН/др;, Р; = ир, —— = — дН/дд„а плотность совпадает с плотностью ансамбля. Показать, что в этих условиях для «жидкости» будет выполняться «уравнение неразрывности» др/д1+ «йг (рп) = О, где и = (ды, д, Р», ..., Р„) представляет собой 2п-мерный вектор скорости «жидкой частицым 22.43. Используя введенную в предыдущей задаче аналогию между «2п-мерной жидкостью» и статистическим ансамблем, получить из «уравнения неразрывности жидкости» др/д1+41ч(рп) = О уравнение др/д1+ (р, Н) = О, выражающее утверждение теоремы Лиувилля.
2. А налитинеекая механика 232 В теории динамических систем вероятность р нахождения движущейся точки в некоторой области С определяется как предел (если он существует) отношения времени ~ 1, нахождения траектории в области ко всему времени движения Т, т. е. т 1, 1 Г р = !пп — ) 1, = 1пп — ~ уо(х(хе, 1)) ~й, т — ~ее г -эаа е где де характеристическая функция множества С; /1, хЕС, ~ О, х т С. В следующих задачах для конкретных механических систем требуется найти вероятность их нахождения в заданных областях. 22.44.
Тело массы т (см. рис, к задаче 18.19) соединено со стенкой пружиной жесткости с и может скользить по гладкой горизонтальной направляющей. Найти вероятность в нахождения те- 2 ла в области С 0 < х, 0 < р„схг+ — — * < 2Ее фвзовой плоскости т (х, р„), где х растяжение пружины. В начальный момент времени; х(0) = хе > О, х(0) = О.
22.45. Решить предыдущую задачу, считая дополнительно, что па тело действует сила вязкого трения г' = — Ои с постоянным коэффициентом 6 (4тс > Ог). 22.46. Зависит ли вероятность нахождения изображающей точки в области, указанной в задачах 22.44 и 22.45, от значений хе и хе? 22.47. Динамическая система, описываемая уравнениями х, = = ~е(хы хг,..., х„, 1) (1 = 1, и), имеет два интегральных инварианта: 11 — ~ ° ° ° ~ ф(х1, хг,...., ха) Йх1... ихн, 12 = ~ ~Ч(хы хг,..., х„) дх1...
дх„. Показать, что отношение ц(хыхг,...,.х~)/ш(хыхг,...,х„) будет первым интегралом системы. Обсудить в связи с этим задачу 22.21. 22.48. Динамическая система описывается уравнениями х, = = т,(хы хг,..., х„, е). Найти условия, при которых эта система имен ет интегральный инвариант вида 1 = ~ 2, д,(х, 1) дх,, где криволнг=1 Ь 1 22. Интегральные инварианты 233 нейный интеграл вычисляется по любым кривым (в том числе и незамкнутым - абсолютный инвариант по терминологии А.
Пуанкаре), лежащим в гиперплоскости 1 = сопв1 (и+1)-мерного пространства (х, 1). 22.49. Показать, что в условиях задачи 22.48 переменные хы грь (Й = 1, и ) являются сопряженными каноническими переменными, дН . дН т. е. х; =, ер; = —, где Н = ~ гр,(х, 2) (;(х, 2). д'Р ' ' дх ' е=~ 22.50. Функции е1, =Зг,(е1(ег р® 1) р, =уе(гас~ р~е) 2) (1=1 и) описывают закон движения некоторой гамильтоновой системы, причем некоторая конечная область П фазового пространства является ипвариантной (т.е. из (с1щ~, ранг) Е П следует, что при любом 1 выполняется соотношение (еч (с1(ег, р(с~, 1), ~с; (с1~с~, р(е~, 1)) б Й).
Выбирается момент времени Т и неко горая область С Е П, объем которой равен $' > О. Доказать, что найдется такой момент времени 1 > Т, что область СПСг, где Се область, в которую переводится область С траекториями системы, будет иметь положительный объем. (Теорема Пуанкаре о возвращаемости областей.) 22.51. Материальная точка единичной массы движется по инерции по оси Ох. На фазовой плоскости (х, рг) выбирается область Сс — круг единичного радиуса. Совокупность движений точки (с начальными условиями в Сс) переводит Сс в Сь Найти вид области Се для произвольного момента 1.
Непосредственным вычислением убедиться в сохранении фазового объема. 22.52. По гладкой горизонтальной оси может двигаться точка единичной массы. В расширенном фазовом пространстве этой системы построить трубку прямых путей, исходящую из контура Сс, заданного параметрически уравнениями д(а) = вша, р(а) = сова, 2(а) = О, О < а < 2в. Для этой трубки вычислить интеграл Пуанкаре. Сравнить его с интегралом Пуанкаре-Картава по контуру Сы полученному путем сечения трубки плоскостью р — 1 = О. 22.53. В канонической системе, заданной функцией Гамильтона Н(ц, р,е), определен переход к новым координатам и времени ое = = 2; (д, 1), 1 = я(п, 1). Преобразование импульсов р; = Ь; (д, р, 2) определяется в соответствии с равенством гарантирующим гамильтоновость уравнений в новых переменных (обосновать!).
Показать, что переменные о, р, 1, и, р, Е и функции 2. Аналитическая механика 234 Н (д, р, 1), Н(д, р, 1) связаны соотиошеними д1, и†*Рс — Н=Р„, 1=1 " дУ, ддд1 ' дт д1 ' д1 22.54. В декартовых координатах гамильтоииаи релятивистской частицы в поле тяготения имеет вид Н=с где ьче масса покоя, с — скорость света, а С вЂ” гравитационная постоянная. С использованием соотиошеиий, приведенных в условии задачи 22.53, найти гамильтоииаи частицы в сферической системе координат. 22.55.
Для нижеприведенных одномерных систем с использоваиием соотношений из условия задачи 22.53 вычислить функцию Гамильтона в новых перемеиных, если меняются ролями время и коордииата д = 1, 1 = д: а) движение точки по вертикали в однородном поле тяжести Земли; б) линейный осциллятор; в) осциллятор с вязким трением (см. задачу 19.79). 3 23. Канонические преобразования д = ~ азд;, ру = ~ 6;рс Ц =1,п) является каноническим? Считая, что эти условия выполнены, найти производящую функцию г" (д;, р1, 1) преобразования. Установить каноничность и найти валентности с и производящие функции г' преобразований в задачах 23.4.23.9.
23.4. д = д+р, р = 2д(ехр[(д+р) ]+1)+2р(ехр[(д+р) ] — 1). 23.1. Доказать каноничность преобразования д1 = р;, р; = д; (1 = = 1, п, ). Найти валеитиость с этого преобразования и производяшу1о функцию г'(д1, р1, 8). 23.2. Показать, что в одномерном случае невырождеппое лииейиое стационарное преобразование д = ад+]Зр, р = уд+ рр всегда является каноническим. Найти его валеитиость с и производящую функцию г'(д, р, 1). 23.3.
При каких условиях неособенное преобразование 123. Канонические преобразования 235 23.6. Ч = ЧР, Р=)п(Ч20Р16). 23.6. Ч=реа, Р=Ч+е 4+)пр. 23.7. Ч = — Чс1яр, Р = 2!псовр. 236 — — 1 — „— 4( 4 б 6) 23.9. Ч = Ч 2+!п(брЧ3), Р= РЧ3+2РЧ~ехр(1/Ч2). 23.10. Известны валентность с и производящая функция г'(Ч1, р1, 2) канонического преобразования Ч1 = 1(Ч1, р1, 8), Р1 = = 4р(Ч1, р1, 1).
Показать, что преобразование Ч1 = 1(Ч1, Ры 1), ", Ч = РЛ, Р, 2), Р1 =р(Ч1,Р1,2), ",Рп =Ю(Чп, Рп;1) является каноническим той же валентности с. Найти производящую функцию этого преобразования. 23.11. Доказать, что преобразование Ч; = т72Х; сов <рз, р; = = 1/23., 6)п1р1 (1 = 1, и ) является каноническим (т. е. что 11 и ап представляют собой гамильтоновы переменные). Найти его валснтность с и производящую функцию Р'. 23.12. Доказать каноничность преобразования Ч1 =рЧ;+Огр(рз,2)7дрг, Р1 =Р, (1, 7'=1, и). Найти валентность с этого преобразования, его производящую функЦизо Р'(Чз, Р, 2) и закон пРеобРазованиЯ гамильтониапов. 23.13. Доказать, что не существует канонического преобразования с валентностью с = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
