Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е, операцией, определенной на паре элементов. ) Размерность этого пространства равна и, по числу элементов матрицы. 2. А нилитинеекал механика 216 г) пространство линейных дифференциальных операторов а = д а,(х), где коммутатор определяется соотношением с = аЬ— деп ' — Ьа, т. е. для любой непрерывно дифференцируемой функции г" (х) с( = а(61) — 6(а1), где а1 = ~~~ а;(х) — —, 6| = ~~~ 6,(х) — --; д) произвольная алгебра при с = а иЬ вЂ” 6 и а, где а и 6 определенное в алгебре умножение. 20.66. Группа а,* = ~р; (д, 6, а), 1' = у(д, 1, .и) называется группой дивсргентных симметрий системы с лагранжианом В(о, а, 1), если группа и система связаны соотношением йд", д1* 1е е1О 1 е1К(О 1 и) 1,(д', †„, 1*) — = 7, а, †., 1 —— ей"' ей ~ ей' ) ей где Л(д, 6, а) . некоторая функция.
Показать, что в этом случае у системы имеется первый интеграл и = " реги(д, 1) — Цд, 1) Н + г(д, 1) = С, е=т где введены обозначения дя; ч = — ' да =о' ди да!а=о' дй в=в да 1а=о' а)п — Ь>0; б)п — Й=О; в)п — Ь(0. Указание. Использовать функцию Лагранжа из условия задачи 19.79 и идею задачи 20.67. р; обобщенные импульсы, Н функция Гамильтона, соответствующая лагранжиану 1 (д, д, 6). 20.67. Убедиться,что группа 6* = ~, х' = х+ агйп(Ы+ 6) при л1обой фазе 6 является группой дивергентных симметрий (см.
задачу 20.66) для возмущенного линейного осциллятора: х+ евах = г'(Ь). Вычислить два первых интеграла (6 = О, 6 = в/2) и общее решение х(1, Сы Сз). 20.68. Для возмущенного линейного осциллятора с вязким трением х+ 2пх+ Ьх = г (е) найти две группы дивергентных симметрий (см. задачу 20.66), соответствующие первые интегралы и построить общее решение х(Ь, Ст, Сз). Рассмотреть три случая: 121.
Вариацпопные принципы механики 217 й 21. Вариационные принципы механики 21.1. Показать, что вариационный принцип Гамильтона дает форму уравнений движения механической системы в потенциальном поле, ковариантную по отпошениео к произвольным преобразованиям координат. 21.2. Используя принцип Гамильтона, показать, что уравнения движения систем с лагранжианом ЬО (с1 Я 2), е 1 (Я с1 ~ е) = 1 О (11~ с1~ ~) + д + — Ф(е1,2), отличающимися на полную производную от произволь- д1 ной функции Ф(с1, 2), совпадают. 21.3. Материальная точка движется по инерции.
Показать, что в расширенном координатном пространстве (х, у, 2,1) через любые две точки МО(хо, уо, хе, 1О) и М1 (х1, у1, 21, 11), не лежащие в гиперплоскости 8 = сопв1, можно провести прямой путь и притом только один. Непосредственным вычислением показать, что на прямом пути действие по Гамильтону И~„р принимает минимальное значение по сравнению с действием на любых окольных путях И'„. 21.4. Материальная точка движется в однородном поле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Оз.
Показать, что в расширенном координатном пространстве (х, у, х, 1) через любые две точки МО(хе, уо, хо, 8О) и М1(х1, у1, г1, 21), не лежащие в гиперплоскости 2 = сопв$, всегда можно провести прямой путь и притом только один. 21.5. В расширенном координатном пространстве (О, 1) линейного осциллятора! = (д — Оз О )/2 описать множество всех тех точек (е1, е71), которые нельзя соединить прямым путем с начальной точкой (ГО ЧО) 21.6. Частота собственных колебаний линейного осциллятора равна еа.
В расширенном координатном пространстве (д, 2) осциллятора требуется провести прямой путь через точки (ОО, 1О) и (д1, Х1). Показать, что а) при 11 — 8О ~ йп/еа (й = = Ы, ~2,...) задача имеет единственное рс- ф ф шенис; б) при 11 — 1О = йп/еп (и = +1, ~2,...) и е11 = ( — 1) е7О задача имеет бесчисленное ь х(Е) В множество решений; в) при 11 — ео = Йп/Оз (й = А = х1, +2,...) и д1 ф ( — 1)пало задача не имеет ц р х решения.
М 21.7. По гладкому горизонтальному К задаче 21.7 стержню АВ (см. рисунок), вращающемуся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью еа(е), может скользить колечко массы т. Показать, что в расширенном координатном пространстве колечка, т. е. в плоскости х1, через любые две точки, не 218 2.
Аналитическая механика лежащие на прямой 1 = сопв1, можно провести прямой путь и притом только один. 21.8. Используя условия предыдущей задачи, показать, что в расширенном координатном пространстве колечка на любом прямом пути, проходящем через две точки, действие по Гамильтону принимает минимальное значение по сравнению с действием на окольных путях, проходящих через эти же точки. 21.9. Плоский математический маятник длины 1 совершает малые колебания (в соотвествие с линеаризованнымн уравнениями). Рассматривая расширенное координатное пространство (ер, 2), где ~р †.
угол отклонения маятника от вертикали, нарисовать прямой и окольный пути. Для различных начальных положений маятника (~ро, 1о) указать кинетический фокус, сопряженный начальной точке. 21.10. Свободная релятивистская частица имеет лагранжиан б = — тес ! — (х~+д~+вв)(сз, гДе с — скоРость света, а х, У, декартовы координаты частицы. Показать, что в расширенном координатном пространстве (х, д, г, 1) частицы через любые две точки А(хе, уе, ло, 1е) и В(х1, у1, а1, 11), 11 ф 1е, проходят прямой путь и притом только один. 21.11.
Частица массы т и заряда е движется в постоянном однородном магнитном поле напряженности Н (вектор напряженности поля Н направлен по оси г) под действием силы Лоренца к' = е = — ~(и х Н), где и скорость частицы, а с скорость свеча. Показать, е что точка (х1, ум аы ~1) будет сопряженным кинетическим фокусом ДлЯ точки (ха, Уо, хо,1а), если х1= хо, У1=Уа, х1= ео+Ьо2втс(ео, 21 = 1е + 2хтс(еН (индекс О соответствует начальному положению частицы, а индекс 1 . конечному).
21.12. Материальная точка движется по вертикали в однородном поле тяжести. Непосредственным вычислением показать, что действие по Гамильтону на прямом пути г = ф2/2 меньше действия на окольных путях вида г = о„1" (и > 1). Рассматривая двумерное расширенное координатное пространство (г, 1), нарисовать прямой и окольные пути системы. 21.13. Одномерный гармонический осциллятор частоты ев при 1 = О начинает движение без начальной скорости из положения де.
Вычислить значение действия по Гамильтону И' на этом прямом пути за период колебаний Т. Вычислить также значение действия на окольных путях вида у(1) = се1(1 — Т) + уо за время Т. Изобразить прямой путь и семейство окольных путей в пространстве (у, 1) и показать, что существуют значения параметра а, для которых а) И,„> > И;,г, б) И'„= И'дг, .в) И'„< И'„р. э 21. Вариацпоyные принципы механики 219 21.14. Точка массы т может двигаться по гладкой вертикальной плоскости хг, вращающейся вокруг вертикальной оси Ов с постоянной угловой скоростью еь Показать, что существует единственная траектория, по которой точка перейдет из заданной точки А(хо, го) в заданную точку В(х1, г1) за фиксированное время Т > О. 21.15.
Сохраняя условия предыдущей задачи, показать, что действия по Гамильтону на прямом пути х(1), е(е) и на окольном пути х(е) + Ьх(е), в(1) + Ье(е) связаны соотношением И'„= И,р+ т 1 +-~"((Лх)2+ю2(лх)2+(Лй)2)а, ли Лх(О) = Ьх(Т) = Л (О) = а = Ьв(Т) = О. 21.16. Материальная точка движется по инерции по гладкой сфере.
Показать, что действие по Гамильтону на прямом пути А В, содержащем точку С, диаметральнопротивоположпую точке А, строго минимально по сравнению с окольными путями, также содержащими точку С. 21.17. Показать, что для системы, описанной в задаче 21.7, действие по Гамильтону на прямом пути имеет строгий глобальный минимум. 21.18. Частица массы т движется в однородном поле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Ое. Показать, что действие по Гамильтону на прямом пути, который проходит через две произвольные точки А и В расширенного координатного пространства (х, р, е, 1), не лежащие в гиперплоскости 1 = сопв1, имеет глобальный минимум по сравнению со значением действия на окольных путях, проходящих через эти же точки.
21.19. Лагранжиан механической системы представляет собой положительно определенную квадратичную форму скоростей В = и — асье);е)ь с постоянными коэффициентами а;ы Показать, что 2. ЦЬ=1 через любые две точки расширенного координатного пространства, не лежащие в гиперплоскости 1 = сопз$, можно провести прямой путь и притом только один. 21.20. Используя условия предыдущей задачи, непосредственным вычислением показать, что на прямом пути, соединяющем любые две точки (с~(~~,19) и (е10~,11), 11 ф 19, расширенного координатного пространства, действие по Гамильтону будет минимальным по сравнению с действием на любых окольных путях, соединяющих эти точки. 21.21. Показать, что в (и+1)-мерном расширенном координатном пространстве (ц, 1) системы с лагранжианом 1 = ь(ц) через лю- 2. Аналитическая механика 220 бые две точки А(с1(0),10) и В(с1(~), 6!), не лежащие в гиперплоскости 6 = сонэ!, можно провести прямой путь и притом только один, если сабе! ~ О.
21.22. Функция Лагранжа системы В = Цг)) зависит только от обобщенных скоростей. Показать, что действие по Гамильтону на прямом пути, проходящем через две точки А(с110г, 20) и В(с1гц, 2!) (и+1)-мерного расширенного координатного пространства, будет минимальным по сравнению с действием на любых окольных путях, проходящих через эти же точки, если матрица Гессе [д Ц(дс)! дс)й)),"й является матрицей положительно определенной квадратичной формы. 21.23. Показать, что для системы с лагранжианом 1 2 2 — [а, г), + Ь;г1,) (а; = сопв1, Ь; = сонэ!) действие по Гамильтону г=! на прямом пути имеет глобальный минимум.
и 21.24. Кинетическая Т = — 2 асйг)гг)й и потенциальная П = 2 г,й=! н — с;йа!г1й энергии консервативной системы представляют со- 2. г,й=! бой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами. Из точки А(с1!0!,10) (и+1)-мерного расширенного координатного пространства выпускаются всевозможные прямые пути, и на каждом из пих находится ближайший (по времени) кинетический фокус В, сопряженный для начальной точки А. Описать множество таких точек В.
21. 25. Решить предыдупсую задачу для консервативной системы, и г и н укоторойТ= — 2,' а,йС!;с)йг П= — 2, 'а;й0сай+ —, 2, '6,6йг2гг2йг где г,й=! г,й=! г,й=! Х ) О и все коэффициенты постоянны. 1 21.26. Кинетическая энергия системы Т = — 2, 'асйг)сг)й пред- 2. г,й=! ставляет собой положительно определенную квадратичную форму от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами а;й (с, /с = = 1, и ), а потенциальная энергия равна П = 2 сс(1)а;. Показать, что г=! через любые две точки расширенного координатного пространства (с1(0), 10) и (с1(!), 1!), не лежащие в гиперплоскости 1 = сонэ!, можно провести прямой путь и притом только один.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
