Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 35
Текст из файла (страница 35)
К задаче 18.30 К задаче 18.32 К задаче 18.31 18.33. Пос гроить амплитудную и*азовую частотные характеристики для системы с двумя степенями свободы, если заданы кинетическая энергия Т = д~~ /4+ 44~~, потенциальная энергия П = (д~~ + оз~) /2 и диссипативная функция Релся Л = (е)12+ 2д1 42+ 4422)/2. На систему ( О действует внешняя периодическая сила Ч1г) = ~ .~ )~, где Р'(г) = = Асйпв1, 18.34. Эллиптический маятник (см. рисунок) состоит из ползуна массы т, который соединен пружиной жесткости с с неподвижной стенкой и может скользить Ф по гладкой горизонтальной нат ф правляющей, и материальной точки такой жс массы т, подвех шенной к ползуну на невесомом Ю стержне длины 1. К ползуну приложено воздействие Г (1) = = А сйпр1. Параметры системы К задаче!8.34 удовлетворяют условию 2тя = = сй Найти движение системы, считая отклонения от положения равновесия малыми.
18.35. Используя условия предыдущей задачи, выяснить, при какой частоте воздействия р ф О и при каких начальных значениях хо, хо, уо, фо ползун во все время движения будет неподвижен. Найти закон изменения во времени координаты у в этом случае. 18.36. Точка 01 подвеса двойного математического маятника (см, рисунок) совершает горизонтальные колебания по закону 001 = = а, вш Ы. Найти колебания маятника в линейном приближении, приняв ез = 8'/П 318. Вынужденные ноасбпи н. Частотные характеристики 191 18.37.
Два одинаковых однородных стержня длины 1 и массы т каждый (см. рисунок) соединены пружиной жесткости с. Расстояние между точкой подвеса и точкой закрепления пружины для каждого маятника равно и, длина пружины в ненапряженном состоянии равна расстоянию между точками подвеса маятников. Точки подвеса маятников совершают горизонтальные колебания по одинаковому закону А 31 и рб. Найти движение системы, считая углы отклонения стержней от вертикали малыми.
О 01 К задаче 18.37 К задаче 18,36 18.38. При каких частотах р возможен резонанс в системе, описанной в предыдущей задаче? 18.39. Детская игрушка состоит из двух одинаковых шариков массы т (см. рисунок), связанных между собой пружинкой жесткости с; верхний шарик с помощью такой же пружинки подвешивается на руке. В недеформированном состоянии длина каждой пружинки равна 1.
Шарики приводятся в движение вертикальным покачиванием руки по гармоническому закону с амплитудой А и частотой и (х = А йпМ). Как меняется расстояние шариков от руки? К задаче 18.39 К задаче 18.40 18.40. Два груза массами т и 2т (см. рисунок) связаны между собой и с неподвижной опорой одинаковыми пружинами жесткости с. 2. А политическая механика 192 На груз массы 2гп действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости груза (коэффициент пропорциональности 8), а также периодическая внешняя сила 1г(г), зависимость которой от времени показана на графике. Найти вынужденное движение системы, если ос+ 6(т — т) = О. 18.41. Три одинаковых математических маятника массы гп и длины 1 (см. рисунок) связаны пружинами жесткости с, которые при вертикальном положении маятников педеформированы. Точки подвеса 01, 02, Оз маятников совершают горизонтальные колебания по закону а1 з1псо1, а2 гйпю1, .аз гйпоз1 соответственно. Найти значения а,1, а2, аз, при которых резонанс в системе возникает только при = гк7~:Т А О К задаче 18.41 К задаче 18.42 18.42.
Система (см. рисунок) состоит из п одинаковых стержней длины 1 (см. рисунок), шарнирно закрепленных на горизонтальном стержне АВ. Между собой стержни связаны пружинами так, что в положении, когда все стержни вертикальны, пружины ненапряжены. Стержень АВ совершает горизонтальные колебания по закону О А = а гйпю1. Рассматривая движение стержней в линейном приближении (т.е. при малых углах отклонения стержней от вертикали), найти, при каких значениях частоты ю в системс возможен резонанс. 18.43.
В следующих задачах динамические системы заданы своими уравнениями движения. Для каждой из координат системы найти частотные характеристики от указанных внешних воздейсгвий ) и построить графически амплитудно-фазовые характеристики на комплексной плоскости. а) х = — 2х+у — з+ Агйпю1, у = х — у, 4 = х+у — з; б) х+2х+х — у = О, у+у+Зу — х = Аз|пЫ; в) х = — х+Агйпю2, у = — 2у+2х, 4 = — с+у; и ) Нечетность порядка некоторых систем связана с тем,что иногда в качестве параметров, характеризующих систему, вместо обобщенных координат выбирают обобщенные скорости; так, например, поступают при исследовании динамики турбин, где основным параметром является угловая скорость, а не угол поворота.
118. Вынужденные нолебан и. Частотные характеристики шз г) х+2х+х = Аэ1пеэб, д+д+д = х 2+21+с = д; д) х+2х+х = — д+Агйпаб, д+д+д = х; е) х = — 2х — д+Ая|псо~, д+2д+д = х. 18.44. Два одинаковых груза массы пе (см. рис, к задаче 18.29), связанные между собой и со стенками резервуара пружинами жесткости с и с1, могут совершать движение по вертикали. Сосуд укреплен на платформе, которая совершает вертикальные колебания по закону х = а гйпЫ. Найти вынужденные движения грузов относительно платформы, если на каждый из них действует сила сопротивления Р; = -Оуе.
Найти также все значения ео, при которых амплитуда вынужденных колебаний груза будет наибольшей. 18.45. Два одинаковых груза массы пе каждый (см. рис, к задаче 18.29) могут совершать движение по вертикали. На каждый из грузов действует сила сопротивления г'1 = — Оуе. Платформа, на которой установлен сосуд, совершает вертикэльныс колебания по закону х = а айпи. Показать, что с течением времена движения грузов относительно платформы будут совпадать. 18.46. Сосуд совершает движение по вертикали по закону х = = ~(1).
Внутри сосуда по вертикали могут двигаться два одинаковых груза, связанных между собой и со стенками пружинами, как показано на рисунке к зада ее 18.29. На каждый из грузов действует сила сопротивления х'1 = — Оуе. Показать, что с течением времени движения грузов относительно сосуда будут совпадать, т. е. что деформация Ь(~) средней пружины при ~ — э ж будет стремиться к деформации Ье, которую она имеет в состоянии равновесия системы при неподвижном сосуде. и 18.47. Кинетическая энергия Т = — 2 ась 1)1 ой и потенциальная 2.
ба=1 п энергия П = — 2 сеьдедй механической системы являются положи- 2. я,у=1 тельно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. На систему действуют силы сопротивления, опредеи ляемые функцией Релея й = — 2, (аань+ Дсеь)1),1)й (а > О, 0 > О, а+ я,й=! + 9 > О). Показать, что с течением времени обобщенныс координаты 9; (1 = 1, п) будут изменяться по одному и тому жс закону, т. е. 91(е) = Чз(1) =...
= Чн(е), если вынУжДаюЩие силы имеют виД аейиедд(1), где иед компоненты амплитудного вектора 1,1=1 в решении системы, которая получается из рассматриваемой при а = = ~3 = О. 7 В.С. Пятницкий и др. 2. Ан литичеекал механика 194 18.48. Кинетическая '1'(с1, д) = д'Ад,(2 и потенциальная П(с)) энергии системы являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все собственные частоты системы а1, оз2,..., а„(а, ~ аь) и соответствующие им амплитудные векторы п1, пз,..., и„, К системе приложено внешнее воздействие Я; = Ь, сйпсоз 1 (4 = 1, и ).
Найти движение системы, если в начальный момент опа находилась в покое. 18.49. В теории линейных цепей рассматривают цепи, состоящие из элемеитов с детектирующим (однонаправлеииым) действием, когда воздействие последующего элемента па предыдущий не учитывается. Найти частотную характеристику участка цепи (см. рисунок) со входом 1 (1) = А ош со1 и с выходом х„„,(1), если этот участок состоит из двух одпоиаправленпых элементов с частотными характеристиками И1(га) и И2(гсо), причем элементы а) соединены последовательно, б) соединены параллельно, в) образуют цепь с отрицательной обратной связью. .(С) =9(С)тз(С) К задаче 18.49 18.50. В условиях предыдущей задачи частотные характеристики элементов И'1(га) и И2(га) представлены соответственно в виде К1(га)101(гоз) и К2(га)102((со), где К (Х) и О (Х) О = 1, 2) миогочлеиы, причем 01(л) и 02(а) являются характеристическими миогочленами элементов.
Найти характеристические полипомы 0(л) соединений а), б) и в). 18.51. Механическая система описывается уравнениями в матричиой форме Ас)+Вс)+ Сс) = с4(1), где А, В и С .-- постоянные 919. Вынужденные колсбан л. Частотные характеристики 195 И'с(гы) ~ Ие (сы) %',(сто) = частотных характеристик системы от входа ? к выходам х1, хз,... ..., х„соответственно задан.
Производится переход к новым переменным х = Яу при помощи неособой постоянной матрицы ф Найти связь между векторами частотных характеристик тт'у(ссо) и вектором Ж,(ио); иначе говоря, найти правило преобразования частотных характеристик при линейных преобразованиях. 18.56. Среднеквадратичным значением сигнала х®, определенного при — оо < 1 < +ос, называется величина х сс ) Гурвицевой называется матрица, все собственные числа которой имеют отрицательную действительную часть. квадратные матрицы размера и, х п, а ф1) -- вектор вынуждающих сил.
Показать, что если положение равновесия с1 = О (при ф1) = О) асимптотически устойчиво, то матрица частотных характеристик (И'дй(ссо)]" Ь 1 системы совпадает с матрицей, обратной к матрице (А(ссо)9+ В(асс) + С). 18.52. Показать, что для частотной характеристики Ис ь(ио) системы, описанной в предыдущей задаче, выполняется соотношение )пп агйИе ь(ссо) = — з аи/2, где л ь положительное целое число. 18.53. Из экспериментальных наблюдений были найдены все частотные характеристики %'(ссо) = [Ие ь(ссо))" ь системы Ас)+ з,а=1 + Всс+ Ссс = ®1), для чего внешние силы ф1) надлежащим образом изменяли по гармоническому закону.
Каким образом идентифицировать систему, т.е. найти матрицы А, В и С, по матрице частотных характеристик Ж(ссо)? Найти выражения для матриц А, В и С, если известны матрицы т1'(алсос) и %'(гозз) частотных характеристик для двух значений частоты сос ~ О и озз ф со1. Положение равновесия с1 = О системы Ас1+ Вс1+ Сс1 = О асимптотически устойчиво. 18.54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
